【最新资料】四川省成都七中高三“一诊”模拟考试数学(理)试题(含答案)

高考数学最新资料
成都七中高一诊模拟数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟总分:150 分 命题人:张世永刘在廷审题人:巢中俊
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.)
1.已知集合 A ? ??1,0, a? , B ? ?x | 0 ? x ?1?,若 A B ? ? ,则实数 a 的取值范围是()

A?1?

B (??, 0)

C (1, ??)

D (0,1)

2.复数 i ? (1 ? i ) 的虚部为( ) 1? i

A -2

B -1

C0

D1

3.定义行列式运算: a1 a3

a2 a4

? a1a4

? a2a3, 将函数

f (x) ?

1

3

cos x 的图象向左平移 m sinx

个单位 (m ? 0) ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是()

A 2?

B? C? D 5?

3

386

4.阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14,则判断框内可填写( )

A.i<6 ?

B.i<8 ?

C.i<5 ?

D.i<7 ?

5.二项式 ( 1 ? x x )n 展开式中含有 x2 项,则 n 可能的取值是() x

A5

B6

C7

D8

6.已知命题 p : ?x ? (??, 0), 3x ? 4x ;

命题 q : ?x ? (0, ? ), tan x ? x 则下列命题中真命题是( ) 2
A p ? q B p ? (?q) C p ? (?q) D (?p) ? q

7.已知正项等比数列{an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 。若存在两项 am , an 使得

aman

?

4a1 ,则

1 m

?

9 n

的最

小值为( )

8

11

A

B

3

4

14
C
5

17
D
6

8.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD沿着对角线 BD 翻

折成 ?A/ BD ,则在 ?A/ BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A/C 与平面 BCD 所成的最大
角的正切值为( )

1

A1

B

2

3
C
3

D3

9.已知 f (x) 、 g(x) 都是定义在 R 上的函数, g(x) ? 0 , f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) , f (x) ? a x g(x) ,

f (1) ? f (?1) ? 5 ,则关于 x 的方程 abx2 ? 2x ? 5 ? 0(b ? (0,1)) 有两个不同实根的概率为()

g(1) g(?1) 2

2

1

2

3

4

A

B

C

D

5

5

5

5

10.已知 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。当 x ?[0, 1]时,

2 f (x )? f (x ),

f ( x) ? 1? f (1? x )





5

f (? 150 ) ? f (? 151 ) ? ? f (? 170 ) + f (? 171 ) ? ( )

2014

2014

2014

2014

A ? 11 B ?5C ?6D ? 27

2

5

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。)
11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________ cm3

12.若 sin(? ? ? ) ? 1 ,则 cos( 2? ? 2? ) ? ___________

6

3

3

13.已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点,

P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP)2 的最小值为_____________;

14.已知偶函数 f ( x) 满足对任意 x ? R ,

均有

f (1 ?

x) ?

f (3 ? x)且

f (x) ?

?m(1 ? ?

x2 ), x ?[0,1],若

? x ? 1, x ? (1, 2]

方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则实数 m 的取值范围是_______;

15.已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 , AC1 与

平面 A1BD , CB1D1 交于 E, F 两点。给出以下命题,
其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)
①点 E, F 为线段 AC1 的两个三等分点;

D1 A1



ED1

?

?

2 3

DC

?

1 3

AD

?

1 3

AA1



DE

③设 A1D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则直线

A

MN 与面 A1DB 有一个交点;

④ E 为 ?A1BD 的内心;

⑤设

K



?B1CD1

的外心,则

VK ?BED VA1 ?BFD

为定值.

C1 F B1
C B

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.)
16.已知 O 为坐标原点, OA ? (2sin2 x,1),OB ? (1, ?2 3 sin x cos x ?1) , f (x) ? OA ? OB ? m .(Ⅰ)若
f (x) 的定义域为[? ? ,? ] ,求 y ? f (x) 的单调递增区间; 2
(Ⅱ)若 f (x) 的定义域为[? ,? ],值域为[2,5] ,求 m 的值. 2

17.成都七中为绿化环境,移栽了银杏树 2 棵,梧桐树 3 棵。它们移栽后的成活率分别为 2 , 1 且每棵 32
树是否存活互不影响,求移栽的 5 棵树中: (1)银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵的概率;
(2)成活的棵树? 的分布列与期望.

18.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD是平行四边形,PG ? 平面 ABCD,垂足为 G ,G 在 AD

上且

AG

?

1 3

GD



BG

?

GC



GB

?

GC

?

2



E



BC

的中点,四面体

P

?

BCG

的体积为

8 3

.

(1)求二面角 P ? BC ? D的正切值;

(2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值;

(3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 600 ,若存在,确定点 F 的位

置,若不存在,说明理由.

P

A

G

D

B

E

C

19.已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? x2 ? ax . 3
(1)若 f ( x) 在区间[1, ??)单调递增,求 a 的最小值;

(2)若

g( x)

?

x ex

,对 ?x1

?[1 2

, 2], ?x2

?[1 , 2] ,使 2

f

?( x1 )

?

g( x2 ) 成立,求 a

的范围.

20.已知数列{an },(n ? N ) 满足 a1 ? 1 ,且对任意非负整数 m, n(m ? n) 均有:

am?n

?

am?n

?

m

?

n

?1

?

1 2 (a2m

?

a2n ) .

(1)求 a0 , a2 ;

(2)求证:数列{am?1 ? am }(m ? N * ) 是等差数列,并求 an (n ? N * ) 的通项;

? (3)令 cn

?

an

?

3n

?

1(n

?

N

*

)

,求证:

n k ?1

1 ck

?

3 4

21.

定义函数

fk(x) ?

a ln x xk



f ( x) 的 k 阶函数.

(1)求一阶函数 f1( x) 的单调区间;

(2)讨论方程 f2 ( x) ? 1 的解的个数;

(3)求证: 3 ln n! ? 1 ? 23 e ? 33 e2 ? ? n3en?1(n ? N * ) .

成都七中高一诊模拟

数学试卷(理科)(参考答案)

1-10:DCABD

DBCBA

11. 7 ? 12. ? 7 13.1 ? 6 14. (? 8 , ? 4) ( 4 , 8) 15.①⑤

3

9

3

3 3 33

16.解:(Ⅰ) f (x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? m

=1 ? cos 2x ? 3 sin x ? 1 ? m = ? 2sin(2x ? ? ) ? 2 ? m ………………3 分 6

由 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k? (k ? Z )

2

62

得 y ? f (x) 在 R 上的单调递增区间为[k? ? ? , k? ? 2? ] (k ? Z )

6

3

又 f (x) 的定义域为[? ? ,? ] , 2

∴y

?

f (x) 的增区间为:[? ?

?? , ? ],[

, 2? ] (中间若用“

”扣 2 分)……………7 分

2 3 63

(Ⅱ)当 ? ? x ? ? 时, 7? ? 2x ? ? ? 13? ∴ ?1 ? sin(2x ? ? ) ? 1

2

6

66

62

∴1? m ?

f (x) ?

4

?

m

,∴

?1? m ??4 ? m

? ?

2 5

?

m

?

1

………………………………12



17.解:(1)设 A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活 2 棵”



Ai (i

?

0,1, 2)

表示“银杏树成活 i

棵”;

P( A0 )

?

1 9



P( A1 )

?

4 9



P( A2 )

?

4 9

Bk (k ? 0,1, 2, 3)

表示“梧桐树成活

k

棵 ”;

1 P(B0 ) ? 8



3 P(B1 ) ? 8



3 P(B2 ) ? 8



P ( B3

)

?

1 8

………………………………………………………………3



P(

A)

?

P(

A2

)?

P(B2

)

?

3 18

=

1 6

……………………………………………5



(2) ?

可能的取值: 0,1, 2, 3, 4, 5

P(?

?

0)

?

P( A0 )P(B0 )

?

1 72

同理: P(? ? 1) ? 7 ; P(? ? 2) ? 19 ; P(? ? 3) ? 25 ;

72

72

72

P(? ? 4) ? 2 P(? ? 5) ? 1 …………………………………7 分

9

18

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

4

5

P

1

7

72 72

19

25

2

1

72

72

9

18

…………………………………………10 分

∴ E? ? 17 …………………………………………………………………………12 分 6

18.解:(1)由四面体

P

?

BCG

的体积为

8 3

.∴

PG

?

4

设二面角 P ? BC ? D的大小为? GB? GC ? 2 E 为中点,

∴ GE ? BC 同理 PE ? BC ∴ ?PEG ? ?
∴ tan? ? 2 2 ……………………………………………………3 分 (2)由 GB? GC ? 2 ∴ ?BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K, ∴ DK ? 面BPG

由平面几何知识可知: DK ? GK ? 3 PD ? 41 设直线 DP 与平面 PBG 所成角为?

2

2

∴ sin? ? DK ? 3 82 …………………………………………………………8 分 DP 82
(法二:建系)
(3) GB,GC,GP 两两垂直,分别以 GB,GC,GP 为 x, y, z 轴建立坐标系

假设 F 存在且设 F(0, y, 4 ? 2 y)(0 ? y ? 2) D(? 3 , 3 , 0),G(0, 0, 0), C(0, 2, 0) 22

∴ DF ? ( 3 , y ? 3 , 4 ? 2 y),GC ? (0, 2, 0), 又直线 DF 与 GC 所成的角为 600 22

∴ cos 600 ? | DF ? GC | ? | 2 y ? 3 | ? 1 化简得: y2 ? 7 y ? 23 ? 0

| DF || GC | | DF || GC | 2

2

y ? 7 ? 3 不满足 0 ? y ? 2 2
∴这样的点不存在………………………………………………………………12 分
19.解:(1)由 f ?( x) ? x2 ? 2x ? a ? 0 在[1, ??) 恒成立

得: a ? ?( x ? 1)2 ? 1 而 y ? ?( x ? 1)2 ? 1在[1, ??) 单调递减,从而 ymax ? ?3 , ∴ a ? ?3 ∴ amin ? ?3 ………………………………………………6 分

(2)对 ?x1

?

[

1 2

,

2],

?x2

?[1 2

, 2] ,使

f

?( x1 )

?

g( x2 )

∴[

f

?( x)]max

?

[ g( x)]max

f ?( x) ? ( x ? 1)2 ? a ? 1在[1 , 2]单调递增 2

∴ f ?( x)max ? f / (2) ? 8 ? a …………………………8 分

又 g?( x) ?

e x ? xe x e2x

?

1? x ex

∴ g( x) 在 (??,1) 单调递增,在 (1, ??) 单调递减

∴在 [ 1 2

, 2]上,

g( x)max

?

g(1)

?

1 e

∴8

?

a

?

1 e

则 a ? 1 ? 8 …………………………………………………………12 分 e

20.解:(1)令 m ? n 得 a0 ? 1 ,…………………………1 分 令 n ? 0 ,得 a2m ? 4am ? 2m ? 3 ,∴ a2 ? 3 ……………………3 分

(2)令

n

?

1 ,得:

am?1

?

am?1

?

m

?

2

?

1 2

(a2m

?

a2

)

?

2am

?

m

∴ am?1 ? am ? am ? am?1 ? 2 ,又 a2 ? a1 ? 2 ,

∴数列{am?1 ? am } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.

∴ am?1 ? am ? 2m(m ? N * )

m?1
? ∴ am ? a1 ? (ak?1 ? ak ) ? m(m ? 1) ? 1(m ? N * ) k ?1

∴ an ? n(n ? 1) ? 1(n ? N * ) ………………………………9 分

(3)

cn

?

an

? 3n ? 1 ?

n2

? 2n(n ? N * ) ∴ 1 cn

?

1 n(n ? 2)

?n


1 ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

c k ?1 k 2

324

?

1 n

?

n

1 ?

) 2

?

3 4

?

1 2(n ?

1)?

1 2(n ?

2)

?

3 4

…………13



21.解:(1)

f1 ( x)

?

a ln x

x

(x

?

0)

,

f1?(x)

?

a

? a ln x2

x

?

a(1? ln x2

x)

(x

?

0)

令 f1?(x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e.

?当 a ? 0 时, f1(x) 无单调区间;

当 a ? 0 时, f1(x) 的单增区间为 (0,e), 单减区间为 (e,??) .

当 a ? 0 时, f1(x) 的单增区间为 (e,??) ,单减区间为 (0,e) .

4 分.

(2)由

a ln x2

x

? 1,



a

?

0

时,方程无解.当

a

?

0

时,

ln x x2

?

1 a

.

令 g(x) ? ln x (x ? 0). 则 g?(x) ? x ? 2xln x ? 1? 2ln x . 由 g?(x) ? 0 得 x ? e,

x2

x4

x3

从而 g(x) 在 (0,

e) 单调递增,在 (

e, ??) 单调递减. g(x)max ? g(

e) ? 1 . 2e

当 x ? 0 时, g(x) ? ?? ,当 x ? ?? g(x) ? 0.

?当 0 ? 1 ? 1 ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. a 2e

当 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解 a 2e

当 1 ? 1 , 1 ? 0 或即 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一解. a 2e a

综上,当 a ? 2e 时,方程有两个不同解.当 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解.当 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一

解.

9 分.

(3)特别地:当 a

?

1 时由

f3 ( x)

?

ln x x3

(x

?

0)



f3?(x)

?

x2

? 3x2 x6

ln

x

?

1? 3ln x4

x

.

1
由 f3?(x) ? 0 得 x ? e3 ,



1

1

f3(x) 在 (0, e3 ) 单调递增,在 (e3 , ??) 单调递减.

f3 (x)max

?

1
f3 (e3 )

?

1. 3e

?

f3(x) ?

ln x x3

?

1 , 即 3ln x ? 3e

x3 e

.又 x ? 0 时, ex

?1. ?3ln x ?

x3ex?1

令 x ?1,2,3, ,n ,

则 3ln n! ? 3ln1? 3ln 2 ? 3ln3 ? ? 3ln n ?1? 23e ? 32 e2 ? ? n3en?1

12 分. 14 分.


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