182ffcom人与野兽:【精品】2019年人教版高中数学必修4同步教学课件★2.4 平面向量的数量积_图文

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【精品】2019年人教版高中数学必修4同步教学课件★ 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 复习与提高 返回目录 1. 向量的数量积是怎样计算的? 它是一个向 量还是一个数量? 2. 向量的数量积的几何意义是什么? 3. 两向量垂直的条件是什么? 4. 向量的数量积有哪些运算定律? 实数的运 算定律是否有不适合向量的数量积的? (一) 数量积的物理背景 在物理学中, 如果一个物体在力F 的作用下产生 位移 s, 那么力F 所做的功为 F W = | F |· | s | cosq, 其中 q 是 F 与 s 的夹角. q s 功W是一个标量, 它是由矢量 F 与 s 的运算结果. 为解决类似由矢量计算标量的问题, 数学中引入 了向量的 “数量积” 概念. (二) 向量的数量积 定义: 已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为q. 我们把数量 |a| |b|cosq 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积), 记作 a· b, 即 a· b = |a| |b| cosq. 即两向量的数量积, 等于两向量的模与夹角的余 弦的乘积. 又规定: 零向量与任一向量的数量积为 0. 练习: (课本106页) 第1题 补充练习 已知向量 |a|=1, |b|=2, a· b= ? 2 . 则 a 与 b 的 夹角 q = . 练习: (课本106页) 1. 已知 |p|=8, |q|=6, p 和 q 的夹角是60? , 求 p· q. ? ? ? ? 解: p ? q = | p | | q | cos 60? = 8? 6? 1 2 = 24. 补充练习 已知向量 |a|=1, |b|=2, a· b= ? 2 . 则 a 与 b 的 夹角 q = 135? . ? ? ? ? 解: 由 a ? b = | a |? | b | cosq 得 ? ? a ? b? cosq = ? (常用形式) | a |? | b | ? 2 2 ? cosq = =? . 1? 2 2 则 q =135?. 问题1. 向量的数量积与向量的数乘有什么区别? 向量的数量积是向量还是数量? 向量的数乘是一个向量, 而向量的数量积是一个 数量, 是三个数量的乘积. 几何意义: ? ? ? | a | cosq 表示 a 在 b 方向上的投影 (如图), ? |OC | = | a |cosq . ? ? ? ?A a a 方向上的投影, | b | cosq 表示 b 在 D ? | OD | = | b | cosq . ? ? ? ? q 即 a ? b =| a |? | b | cosq ? B O C b =OC· OB =OD· OA. 例1. 已知 |a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 q=120? , 求 a· b 及 a 在 b 方向上的投影. ? ? ? ? 解: a ? b = | a | | b | cosq ? = 5?4?cos120? a =??10. ? ? a 在 b 方向上的投影为 C O b ? | a | cosq =5cos120? = ? 5. 2 ? ? OC即为 a 在 b 方向的投影. 练习: (课本106页) 3. 已知 |a|=6, e 为单位向量, 当 a、e 之间的夹角 q 分别等于 45?、90?、135? 时, 画图表示 a 在 e 方向 上的投影, 并求其值. 解: 各图中的投影用OA表示. ? | a |= 6 (1) 当q =45? 时, ? | a |= 6 ? 2 45? OA = | a | cos 45?= 6? O ? 2 A e =3 2 . ? (1) O e (A) (2) 当q =90? 时, ? ? (2) OA = | a | cos 90?=0. | a |= 6 ● (3) 当q =135? 时, ? OA = | a | cos135?= 6? (? 2 ) 2 = ?3 2 . A (3) ? Oe 问题2. 非零向量 a 与 b 的数量积 a· b 在什么情 况下为正? 在什么情况下这负? 在什么情况下为零? ? ? ? ? ? a ? b = | a |? | b | cosq , ? ? ? cosq ? 0, ? a ? b ? 0. ? ? cosq ? 0, ? a ? b ? 0. ? ? cosq = 0, ? a ? b = 0. 即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零. 两非零向量垂直 ??数量积为零. 练习: (课本106页) 2. 已知△ABC中, AB =a, AC =b, 当 a· b<0 或 a· b=0 时, 试判断△ABC的形状. ? ? ? ? 解: ?a ? b =| a |? | b | cos A, ? ? 当 a ? b ? 0 时, cosA < 0, 则角A为钝角, ∴△ABC为钝角三角形. ? ? 当 a ? b = 0 时, cosA = 0, 则角A为直角, ∴△ABC为直角三角形. 两非零向量垂直??数量积为0. (三) 数量积的运算律 问题3. 下列等式是否成立, 为什么? (1) a· b=b· a: (2) (la)· b=l(a· b)=a· (lb) (l为实数); (3) (a+b)· c=a· c+b· c; (4) a2=|a|2. (5) (a· b)· c=a· (b· c). ? ? ? ? ? ? ? ? 分析: (1) a ? b = | a | ? | b | cos q , ? ? ? ? ? a ? b = b ? a 成立. b ? a =| b |? ? | a | cosq , ? ? ? | cosq , (l ? 0) ? ? | la |? |

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