人教版高中数学全套教案导学案1.4.1正弦、余弦函数的图象

1.4.1 正弦、余弦函数的图象

教学目标:

知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的

形状;
(2)根据关系 cos x ? sin(x ? ? ) ,作出 y ? cosx, x ? R 的图象; 2
(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题;
[来源:Z。xx。k.]
能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、 余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函 数、余弦函数的图象的方法;
德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工 作精神;
教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 一、复习引入:
1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。
2.正、余弦函数定义:设? 是一个任意角,在? 的终边上任取(异于原点的)一点 P
(x,y)

P 与原点的距离 r( r ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 0 )

P (x,y)

则比值 y 叫做? 的正弦 记作: sin? ? y

r

r

r

?

比值 x 叫做? 的余弦 r

记作: cos? ? x r

3.正弦线、余弦线:设任意角α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线,

垂足为 M,则有

sin? ? y ? MP , cos? ? x ? OM

r

r

向线段 MP 叫做角α 的 正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线.

二、讲解新课: [来源:ZXXK] 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角
函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情 况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初 学者对曲线形状的正确认识.
(1)函数 y=sinx 的图象
第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴
的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. (预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应).
[来源:学_科_Z_X_X_K]

第二步:在单位圆中画出对应于角 0, ? ,? ,? ,…,2π 的正弦线正弦线(等价于“列 6 32
表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x ∈[0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移 动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象.
把角 x (x ? R) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正
弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象

探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函

数的图象?

根据诱导公式 cos x ? sin(x ? ? ) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 ? 单位即得

2

2

余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平移曲线” )

-6? -5?

-4? -3?

-2? -?

y y=sinx
1 o?
-1

2? 3?

4? 5?

6? x

[来源:Zxxk.]

y y=cosx
1

-6? -5?

-4?

-3?

-2?

-? -1

?

2?

3?

4?

5?

[来源:]

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?

6? x

2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (描点法):

正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( ? ,1) (?,0) ( 3? ,-1)

2

2

(2?,0)

余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) ( ? ,0) (?,-1) ( 3? ,0)

2

2

(2?,1)

只要这五个点描出后,图象的形状 就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五

点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.

优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以

3、讲解范例:

例 1 作下列 函数的简图

(1)y=1+sinx,x∈[0,2π ],

(2)y=-COSx

●探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来

得到

(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象;

(2)y=sin(x- π /3)的图 象?

小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。

● 探究3.

如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y

=-cosx ,

x∈〔0,2π 〕的图象?

小结:这两个图像关于 X 轴对称。

●探究4.

如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕 的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=

2-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象?

小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象,

再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。

●探究5.

不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标

系中画出它们的简图,以验证你的猜想。

小结:sin( x - 3π / 2 )= sin[( x - 3π /2 ) +2 π ] =sin(x+π /2)=cosx

这两个函数相等,图象重合。

例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

(1)sin x ? 1 ; 2

(2) cos x ? 1 , (0 ? x ? 5? ).

2

2

三、巩固与练习

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系
五、课后作业:


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