函数一第四讲

第四讲

函数的性质

一、知识提要
提要 定 知识 义 知识与能力的要求 1. 会用定义法或导数法判断函数 的单调性. 2. 掌握证明方法与步骤. 3. 会求函数的单调区间. 4. 会求简单复合函数的单调性.

增 函 数 减 函 数 奇 函 数

f ( x) 是增函数 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 .
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 .

f ( x) 是减函数 ?

f ( x) 是 I 上 的 奇 函 数 ? 对 于 任 意 的 x ? I ,都有 f (? x) ? ? f ( x) .

偶 函 数
既奇又 偶函数

f ( x) 是 I 上 的 偶 函 数 ? 对 于 任 意 的 x ? I ,都有 f (? x) ? f ( x) .

f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 的定义域关于原点对称.
设 f ( x ) 是定义在 I 上的函数 . f ( x ) 是 以 T 为周期的周期函数 ? ?T ? R ,使得 ?x ? I ,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立.

周 期 函 数

1. 理解奇函数与偶函数的定义域 关于原点对称的必要性. 2. 能由定义判断函数的奇偶性. 3. 掌握奇函数、偶函数、既奇又 偶函数的图象特征. 4. 会根据 f ( x ) 与 g ( x) 的奇偶性 判 断 或 f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) 的奇偶性. 5. 掌握几个重要的奇函数与偶函 数. 6. 熟悉常见的奇函数与偶函数. 1. 理解周期函数的定义. 2. 会用周期函数的定义判断一个 函数是否周期函数,并能指出 周期函数的(最小正)周期. 3. 会用周期函数的性质解题.

二、例题选讲
例 1 ( ) A. a ? ?1 B. 1 ? a ? 4 C. ?1 ? a ? 4 D. a ? 1 若函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1在区间 [ a , 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
2

分析:求出函数 f ( x ) 的单调递减区间,把 [ a, 4] 置于 f ( x ) 的单调递减区间内,然后判 断 a 的取值范围. 解: 函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1 的图象是一条开口向下的抛物线, 其对称轴是直线 x ? 1 ,
2

则 f ( x ) 的递减区间是 [1, ??) .因为函数 f ( x ) 在 [ a, 4] 上是减函数, 所以有 [a, 4] ? [1, ??) ,

从而 1 ? a ? 4 . 答案:B. 点评:也可以用求导的方法来求函数 f ( x ) 的单调递减区间: f ?( x) ? ?2 x ? 2 . 令

f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .则 f ( x) 的单调递减区间就是 [1, ??) .
例 2 ( ) A. e2 x ? 1 B. e 2 x C. e2 x ? 1 D. e2 x ? 2 若函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? ln x ? 1 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ?

分析:由题意知 y ? f ( x ? 1) 与 y ? ln x ? 1互为反函数,则我们可以按这样的思路解 答本题:根据 y ? ln x ? 1求出其反函数 y ? f ( x ? 1) 的解析式,再根据 y ? f ( x ? 1) 的解 析式求出 y ? f ( x) 的解析式. 解: 求出 y ? ln

x ?1的反函数为 y ? e2( x?1) .由题意知 y ? f ( x ? 1) 与 y ? ln x ? 1互

为反函数,故 f ( x ?1) ? e2 x?2 ,从而 f ( x) ? e2 x . 答案:B. 点评: 由于本题是一道选择题, 我们也可以考虑用“特殊值法”来解答.在 y ? ln x ? 1中, 令 x ? e ,得 y ? 2 ,则 y ? ln x ? 1的图象过点 (e , 2) ,其反函数 f ( x ? 1) 的图象过点
2

2

(2, e2 ) ,从而 f ( x) 的图象过点 (1, e2 ) .显然只有 B 项满足这一点.
例 3(2009 广东) 若函数 y ? f ( x) 是函数 y = a x 的反函数,其图象经过点 则 f ( x) ? ( A. log 2 x ) B. log 1 x
2

(

a, a ,

)

C.

1 2x

D. x 2

分析:解答本题的关键是求底数 a 的值.根据 y ? f ( x) 的图象过点 个关于 a 的等式,再考虑解方程即可. 解:函数 y ? f ( x) 的图象过点

(

a , a ,可得到一

)

(

a , a ,则其反函数 y = a x 的图象过点 a, a ,故

)

(

)

a = a a ,得 a =

1 .则 y ? f ( x) 是函数 y = 2

骣 1÷ ? ÷ 的反函数,所以 f ( x) ? log 1 x . ? ? 桫 2÷ 2

x

答案:B. 点评:本题考察反函数的性质,要求理解原函数与反函数的关系.由于本题是选择题, 我们也可以这样考虑:因为 y ? f ( x) 的反函数是指数函数 y = a x ,故 f ( x ) 是对数函数, 答案要在 A 和 B 中选.把 a ? 2 与 a = 例4

1 a 分别代入等式 a = a 验证即可. 2
)

设函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,并且 ?x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则( B. f (1) ? f (0) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (0)

A. f (0) ? f (1) ? f (3) C. f (0) ? f (3) ? f (1)

分析: f (0), f (1), f (3) 都是 f ( x ) 的函数值,可以考虑用 f ( x ) 的单调性来比较它们的 大小. 解:因为 ?x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称 . 又因为函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象是一条开口向上的抛物线,故 f ( x ) 在区间 (??,1] 上 是减函数,在区间 [1, ??) 上是增函数.所以 f (1) ? f (0) ? f (2) ? f (3) . 答案:B. 点评:解答本题的关键是根据已知条件确定 f ( x ) 图象的对称轴,从而确定 f ( x ) 的单 调区间.之后,我们也可以这样考虑:由于 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象是一条开口向上的抛物 线,则自变量离对称轴 x ? 1 越远的,其函数值越大. 我们有下面的命题. 命题 1.3 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, a 和 b 都是常数 . 如果 ?x ? R ,都有

f ( a ? x) ? f ( b? x),那么 f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2

特别地,当 a ? b ? 0 时, f ( x ) 就是偶函数, f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴) 对称. 证明:设 M ? x0 , f ( x0 ) ? 是 f ( x ) 的图象上任意一点,则点 M ? x0 , f ( x0 ) ? 关于直线

x?

a?b 的对称点是 N ? a ? b ? x0 , f ( x0 ) ? .因为 ?x ? R ,都有 f (a ? x) ? f (b ? x) ,所 2

以对于 a ? b ? x0 ? R ,有

f (a ? b ? x0 ) ? f ? a ? ( x0 ? b) ? ? f ?b ? ( x0 ? b) ? ? f ( x0 ) ,
于 是 点 N ? a ? b ? x0 , f ( x0 ) ? 也 是 f ( x ) 的 图 象 上 的 点 . 从 而 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线

x?

a?b 对称. 2
例5 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,则函数 f ( x ? 1) 与 f (1 ? x) 的图象( B. 关于直线 x ? 1 对称 D. 关于直线 x ? 2 对称 )

A. 关于点 (1, 0) 对称 C. 关于点 (2, 0) 对称 答案:B. 我们可以用下面的命题来解答这道题. 命题 1.4 关于直线 x ?

设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,则函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 的图象

a?b 对称. 2

证明: 设 M ? x0 , f (a ? x0 ) ? 是 y ? f (a ? x) 的图象上任意一点, 则点 M ? x0 , f (a ? x0 ) ? 关 于 直 线

x?

a?b 2

的 对 称 点 是

N ? a ? b ? x0 , f (a ? x0 ) ? . 因 为

f ?b ? (a ? b ? x0 ) ? ? f (a ? x0 ) ,故 N ? a ? b ? x0 , f (a ? x0 ) ? 在 y ? f (b ? x) 的图象上.
? ? ? ? 设 M ? x , f (b ? x ) 是 y ? f (b ? x) 的图象上任意一点,则点 M ? x , f (b ? x ) 关于

?

?

?

?



线

x?

a?b 2
?











N ? ? a ? b ? x ? , f (b ? x ? ) ?

.





f

?

?a ( ? ? a

b ) ??

? ? ? x ( f ?) ? b ? xx , f (b ? x ? ) ? 在 y ? f (a ? x) 的图象上. ,故 N ? ab

综上可知,函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2

注意:命题 1.3 描述的是一个函数的图象所具有的性质,即函数 f ( x ) 的图象关于直线

x?

a?b 成轴对称图形;命题 1.4 描述的是两个函数的图象所具有的关系,即函数 2 a?b 对称.读者不要混淆了这两个结论. y ? f (a ? x) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于轴 x ? 2
如果读者不了解命题 1.4,则可以用“特殊值法”解答例 5:根据函数 f ( x ) 的图象过

点 ?1, f (1) ? 可知, 函数 f ( x ? 1) 的图象过点 ? 2, f (1) ? , 函数 f (1 ? x) 的图象过点 ? 0,f (1) ? , 而 ? 2, f (1) ? 与 ? 0,f (1) ? 是关于直线 x ? 1 对称的.只有 B 项能够满足这一点.

例 6

设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,并且 ?x ? R ,都有 f (2 ? x) ? ? f (2 ? x) ,则 ) B. 关于直线 x ? 1 对称 D. 关于直线 x ? 2 对称

f ( x) 的图象(

A. 关于点 (1, 0) 对称 C. 关于点 (2, 0) 对称 答案:C. 我们可以用下面的结论来解答这道题. 命题 1.5

设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数.如果 ?x ? R ,都有 f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) ,

那么 f ( x ) 的图象关于点 ( a, b) 对称. 证明:设 M ? x0 , f ( x0 ) ? 是 f ( x ) 的图象上任意一点,则 M ? x0 , f ( x0 ) ? 关于点 ( a , b ) 的 对称点是 N ? 2a ? x0 ,2b ? f ( x0 ) ? .因为 ?x ? R ,都有 f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) ,所以

f (2a ? x0 ) ? 2b ? f ? 2a ? (2a ? x0 ) ? ? 2b ? f ( x0 ) .
于是点 N ? 2a ? x0 ,2b ? f ( x0 ) ? 也是 f ( x ) 的图象上的点.所以 f ( x ) 的图象关于点 ( a, b) 对 称. 例7 设函数 f ( x ) 的定义域为 R .若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数 )

A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2)

分析:根据已知条件“ f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数” ,找出一个关于 f ( x ) 的结论来, 再用这个结论判断 A,B,C,D 四个选项. 解:因为 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,所以 ?x ? R ,都有 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,即

f (?x ?1) ? ? f ? ?(?x ?1) ? 2? , ①
由①,②式可知, ?x ? R ,都有

f (?x ?1) ? ? f ? ?(?x ?1) ? 2? .
f ( x) ? ? f (? x ? 2) .



f ( x) ? ? f (? x ? 2) ,





由③,④式可知, ?x ? R ,都有 f (? x ? 2) ? f (? x ? 2) 即 f (?x ? 2) ? f ? (?x ? 2) ? 4? .

从而 ?x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) .故 f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数.再注意到③式,有

f ( x ? 3) ? f ( x ?1) ? ? f ? ?( x ?1) ? 2? ? ? f (?x ? 3) ,
所以 f ( x ? 3) 是奇函数. 答案:D. 点评: 所得出的“ f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数”是一个关键的结论, 它对判断 A,B,C,D 四个选项的对错有很大作用.从①式得到③式,从②式得到④式,实际上是变量代换的过程. 在①式中令 s ? ? x ? 1 ,在②式中令 t ? ? x ? 1 . 因为 ?x ? R ,都有①式和②式,所以

?s ? R ,都有 f (s) ? ? f (?s ? 2) ; ?t ? R ,都有 f (t ) ? ? f (?t ? 2) .从而 ?x ? R ,都有
③式和④式.这个变量代换过程可以不出现在解答过程中. 例8 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是偶函数, 且 ?x ? R , 都有 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x ) )

在区间 [1, 2] 上是减函数,则 f ( x ) (

A. 在区间 [?2, ?1] 上是增函数, 在区间 [3, 4] 上是增函数 B. 在区间 [?2, ?1] 上是增函数, 在区间 [3, 4] 上是减函数 C. 在区间 [?2, ?1] 上是减函数, 在区间 [3, 4] 上是增函数 D. 在区间 [?2, ?1] 上是减函数, 在区间 [3, 4] 上是减函数 分 析 : 由 f ( x ) 是 偶 函 数 可 知 , f ( x ) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ; 由 ?x ? R , 都 有

f ( x) ? f ( 2 ? x 可知, ) f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称.函数的图象有两条不同的对称轴,
则该函数为周期函数.根据 f ( x ) 的周期性判断各选项. 解:因为 f ( x ) 是偶函数,且 ?x ? R ,都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,所以 f ( x ) 的图象有两 条对称轴 x ? 0 与 x ? 1 .则 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数. 又 f ( x ) 在 [1, 2] 上是减函数, 故在 [3, 4] 上是减函数,在 [1, 2] 关于原点对称的区间 [?2, ?1] 上是增函数. 答案:B. 一般地,我们有下面的命题. 命题 1.6 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数 . 如果 f ( x ) 的图象有两条对称轴 x ? a 与

x ? b(a ? b) ,那么 f ( x ) 是以 2(a ? b) 为周期的周期函数.
证 明 : 因 为 f ( x) 的 图 象 有 两 条 对 称 轴

x ? a 与 x ? b , 所 以 ?x ? R , 都 有

f ( x) ? f (2a ? x) , f ( x) ? f (2b ? x) .于是 ?x ? R ,都有

f ? x ? 2(a ? b) ? ? f ? 2a ? ? x ? 2(a ? b) ?? ? f (2b ? x) ? f ( x) ,
所以 f ( x ) 是以 2(a ? b) 为周期的周期函数. 例9

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( ) 2 3 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b
若a ?

D. b ? a ? c

分析 1:注意到对数的性质,可以利用作差法分别比较 a, b, c 中每两个数的大小.

ln 2 ln 3 1 1 ? ? ? (3ln 2 ? 2 ln 3) ? ? (ln 8 ? ln 9) ? 0 ,? a ? b ; 2 3 6 6 ln 2 ln 5 1 1 a?c ? ? ? ? (5ln 2 ? 2 ln 5) ? ? (ln 32 ? ln 25) ? 0 ,? a ? c . 2 5 10 10 b ? a ? c . ? ln x 分析 2 :观察 a, b, c 的形状,可以想到它们都是 f ( x) ? 的函数值: a ? f (2) , x
解法 1:

a ?b ?

b ? f (3) , c ? f (5) .判断函数 f ( x) 的单调性,并把 a, b, c 转化为 f ( x) 在同一个单调区间
内的函数值,即可比较 a, b, c 的大小.

ln x ln 2 ln 3 (x ? 0) ? f ( 2) , b ? ? f (3) , ,则有 a ? x 2 3 ln 5 1 ? ln x c? ? f (5) . 令 f ?( x) ? ? 0 ,得 0 ? x ? e . 则 f ( x) 在 (0, e) 上是增函数,在 5 x2 ln 2 2 ln 2 ln 4 ? ? ? f (4) , 有 f (5) ? f (4) ? f (3) , 即 (e, ??) 上是减函数.再注意到 a ? 2 4 4 c ?b ? a.
解 法 2 :考察函数 f ( x) ? 答案:C. 点评:对于解法 1,作差后的变形过程具有一定的技巧性,这考察了对对数性质的了解. 对于解法 2,找到函数 f ( x) ?

ln x ln x ,并把原问题转化为函数 f ( x) ? 的单调性问题,是 x x

解答的关键与巧妙之处.当然,这需要我们具有一定的观察能力和想象能力. 例 10 ( 2009 辽 宁 ) 已 知 偶 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0, ??) 上 单 调 递 增 , 则 满 足

?1? f (2 x ? 1) ? f ? ? 的 x 的取值范围是( ?3?

)

1 2 A. ? ÷ ? , ÷

骣 ? 桫 3 3÷

1 2 B. ê , ÷ ÷

轹 ÷ ê ?3 3 ?

1 2 C. ? ÷ ? , ÷

骣 ? 桫 2 3÷

1 2 D. ê , ÷ ÷

轹 ÷ ê ?2 3 ?

分析 1: 根据偶函数的图象关于 y 轴对称, 可确定 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上是单调递减的, 再根据 f (2 x ? 1) ? f ? ? ,分段讨论即可.

?1? ?3?

解法 1: 当 2 x - 1 > 0 时, 由 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增和 f (2 x ? 1) ? f ? ? 可知,

?1? ?3?

0 < 2x - 1<

1 1 2 ,解得 ? x ? ; 3 2 3 1 当 2 x - 1 = 0 即 x ? 时,显然满足题意; 2
当 2 x - 1 < 0 时,因为偶函数 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单

调递增,所以在 (??, 0] 上单调递减. 再由 f (2 x ? 1) ? f ? ? 可知, 得

?1? ?3?

1 < 2 x - 1 < 0 ,解 3

1 1 ?x? . 3 2
综上,满足 f (2 x ? 1) ? f ? ? 的 x 的取值范围是 ? , ÷ ÷. ? ? 桫 3 3 3÷ ? ? 分析 2:根据偶函数的图象关于 y 轴对称, f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增,可以得到

?1?

骣 1 2

这样的论断:对于 f ( x ) 图象上的点,离对称轴越远的,其纵坐标越大;反过来也成立,即 对于 f ( x ) 图象上的点,纵坐标越大的,其离对称轴越远.据此可以把 f (2 x ? 1) ? f ? ? 转 化为 2 x ? 1 ?

?1? ?3?

1 . 3

解法 2:因为 f ( x ) 是偶函数,并且在 [0, ??) 上是增函数,所以自变量离 y 轴(函数图 象的对称轴)越远的,其函数值越大.则

1 1 2 ?1? f (2 x ? 1) ? f ? ? ? 2 x ? 1 ? ? ? x ? . 3 3 3 ?3?
答案:A. 点评:本题主要考察函数的奇偶性与单调性,用分段讨论与数形结合的方法解不等式, 以及转化思想.解法 1 的难点在于如何分段讨论;解法 2 的难点在于,如何根据题目条件把

抽象的不等式 f (2 x ? 1) ? f ? ? 转化为具体的不等式 2 x ? 1 ?

?1? ?3?

1 .显然解法 2 是巧妙的, 原 3 1 ,这样解答过程就简便 3

因是它化繁复的分段讨论为统一而又简单的不等式形式 2 x ? 1 ? 多了. 例 11 (2009 山东) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ? 则 f (2 009) 的值为( A. -1 ) B. 0 C. 1

?log 2 (1 ? x), x ? 0 , f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 ?

D. 2

分析:2 009 这个数比较大,难以直接从 f ( x ) 的迭代关系式求出 f (2 009) 的值.这时, 我们一般要考虑 f ( x ) 是否具有周期性,或者能否根据 f ( x ) 的迭代关系式写出 f ( x ) 的一个 直观的解析式. 解法 1:因为当 x ? 0 时,有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ,所以

f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,



f ( x ? 3) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) , f ( x ? 6) ? f ( x ? 5) ? f ( x ? 4) . f ( x ? 3) ? ? f ( x) ;

② ④ ⑤ ⑥

f ( x ? 5) ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 3) , ③
①+②得 ③+④得

f ( x ? 2) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,则

f ( x ? 5) ? f ( x ? 6) ? f ( x ? 5) ? f ( x ? 3) ,则 f ( x ? 6) ? ? f ( x ? 3) .

由⑤,⑥式得 f ( x ? 6) ? f ( x) .故 f ( x ) 是以 6 为周期的周期函数.由此并注意到⑤式,得

f (2 009) ? f (334 ? 6 ? 5) ? f (5) ? ? f (2) ? ? f (1) ? f (0)

? ? ? f (0) ? f (?1) ? ? f (0) ? f (?1) ? log2 ?1? (?1) ? ? 1 .
解 法 2 : 根 据 已 知 条 件 , 得 f (?1) ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 ,

f (3) ? f (2) ? f (1) ? 0

.

f (4) ? f (3) ? f (2) ? 1 ,

f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 .
因 为 f ( x) ? f ( x? 1)? f ( x? 2)(x? 0) ,并且 ?

? f (?1) ? 1 ? f (5) ? 1 ,? ,所以数列 ? f (0) ? 0 ? f (6) ? 0

? f (n ? 2)? 每 6 项重复一次.故 ?n ? N? ,都有 f (n ? 6) ? f (n) .则
f (2 009) ? f (334 ? 6 ? 5) ? f (5) ? 1 .
答案:C. 点评:本题需要一定的观察能力与归纳能力.在解法 2 中,我们最好对 ? f (n ? 2)? 的每 相邻两项“配对”观察,这样容易根据 f ( x ) 的迭代关系式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ,看出

? f (n ? 2)? 的项每重复出现一次需要间隔多少项.
例 12 设函数 f ( x ) 在区间 (0,?? )上是增函数,且 f ( x ) 的图象关于原点对称,

f (? 3) ? 0,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为___________.
分析:根据题意可知, f ( x ) 是奇函数, f ( x ) 在 (??, 0) 和 (0, ??) 上都是增函数;根 据“两个实数的积为负的充要条件是这两个实数异号” ,可以把不等式 xf ( x) ? 0 转化为 x 与

f ( x) 异号.再根据 f ( x) 在 (??, 0) 和 (0, ??) 上的单调性即可求解.
解: 由 f ( x ) 的图象关于原点对称知,f ( x ) 是奇函数, 故 f (3) ? ? f (?3) ? 0 .因为 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是增函数,所以 f ( x ) 在区间 (??, 0) 上也是增函数.则

x?0 ? x?0 ? x?0 ? ? x?0 或? 或? xf ( x) ? 0 ? ? ?? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? f (?3) ? f ( x) ? f (3)

? ?3 ? x ? 0 或 0 ? x ? 3 .
答案: (?3, 0)

(0,3) .

点评:本题考察函数单调性、奇偶性的应用,其解法有两个技巧:一是把 xf ( x) ? 0 写 成两个不等式组 ?

? x?0 ? x?0 与? ;二是解这两个不等式组时,把前一个不等式组中 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0

的 f ( x) ? 0 写成 f ( x) ? f (?3) ,把后一个不等式组中的 f ( x) ? 0 写成 f ( x) ? f (3) ,这样 就可以根据 f ( x ) 分别在 (??, 0) 和 (0, ??) 上的单调性来方便地解这两个不等式组了. 本题中,我们用到了下面的命题. 命题 1.7 关于原点对称. 设 f ( x ) 是定义在区间 I 上的函数, 则 f ( x ) 是 I 上的奇函数 ? f ( x ) 的图象

证明:根据奇函数的性质即可证明必要性.下面证明充分性. 设 x ? I ,则点 ? x, f ( x) ? 在 f ( x ) 的图象上 .因为 f ( x ) 的图象关于原点对称,所以点

? x, f ( x) ? 关于原点的对称点 ? ?x, ? f ( x)? 也在 f ( x) 的图象上,从而有 ? f ( x) ? f (? x) .根
据奇函数的定义可知, f ( x ) 是 I 上的奇函数. 与命题 1.7 类似,我们还有命题 1.7 ? ,其证明方法也与命题 1.7 类似. 命题 1.7? 设 f ( x ) 是定义在区间 I 上的函数,则 f ( x ) 是 I 上的偶函数 ? f ( x ) 的图

象关于 y 轴对称. 例 13 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,并且 ?x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) .当

x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2x ?1 .则当 x ? [1, 2] 时, f ( x) 的解析式为______________.
分析:根据已知条件“ ?x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ”可知, f ( x ) 具有周期性.则我 们可以利用 f ( x ) 的周期性与奇偶性,以及已知条件“当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2x ?1 ”进行求 解. 解:因为 ?x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,所以

f ( x ? 2) ? f ? ( x ?1) ?1? ? f ? ( x ?1) ?1? ? f ( x) ,
故 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数.当 x ? [1, 2] 时, 2 ? x ?[0,1] ,由已知条件得

f ( x) ? f (?x) ? f (2 ? x) ? 22? x ?1 .
答案: 2
2? x

? 1.

点评: 本题解答的关键是把求当 x ? [1, 2] 时 f ( x ) 的解析式转化为求 f (2 ? x) 的解析式. 这个转化过程既要用到已知条件“ f ( x ) 是偶函数” ,又要用到“ f ( x ) 是以 2 为周期的周期函 数”这一结论. 我们用到了下面的命题. 命题 1.8 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, a 和 b 都是常数( a ? b ).如果对于任意的

x ? R ,都有 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,那么 f ( x) 是以 a ? b 为周期的周期函数.
证明:因为对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,所以

f ( x ? a ? b) ? f ? ( x ? b) ? a ? ? f ? ( x ? b) ? b? ? f ( x) ,
所以 f ( x ) 是以 a ? b 为周期的周期函数. 注意:命题 1.6 和命题 1.8 的条件是有区别的,它们的结论也不一样.读者不要把它们 弄混淆了. 例 14 设 x1 和 x2 分别是方程 10 x ? 3 ? x 和 lg x ? 3 ? x 的根, 则 x1 ? x2 的值是_______.

分析:10 x ? 3 ? x 和 lg x ? 3 ? x 都是超越方程,不能用普通的方法直接求解.但通过观 察它们的形式,我们可以考虑运用数形结合的方法:把它们的根 x1 和 x2 分别看作直线 同时要注意到 y ? 10 x 与 y ? lg x y ? 3 ? x 与函数 y ? 10 x 和 y ? lg x 的图象交点的横坐标, 互为反函数这个关系. 解:画出函数 y ? 10 x , y ? lg x , y ? 3 ? x 的图象,如图 1-4-1 所示.

x x 方程 10 ? 3 ? x 的根就是 y ? 10 与 y ? 3 ? x 的图象的交点 A( x1 ,3 ? x1 ) 的横坐标,方

程 lg x ? 3 ? x 的根就是 y ? lg x 与 y ? 3 ? x 的图象的交点 B( x2 ,3 ? x2 ) 的横坐标 . 因为

y ? 10 x 和 y ? lg x 互为反函数,所以 y ? 10 x 和 y ? lg x 的图象关于直线 y ? x 对称;又因
为直线 y ? 3 ? x 与直线 y ? x 垂直,所以 A , B 两点关于直线 y ? x 对称,于是 A , B 两 点 的 中 点 就 是 直 线 y ? 3 ? x 与 直 线 y ? x 的 交 点 C (1.5,1.5) . 从 而

x1 ? x2 ? 2xC ? 2 ?1.5 ? 3 .

答案:3. 点评:借助 y ? 10 x 与 y ? lg x 的对称轴 y ? x 是巧妙的,而判断对称轴 y ? x 与直线

y ? 3 ? x 的交点 C (1.5,1.5) 是 A( x1 ,3 ? x1 ) 和 B( x2 ,3 ? x2 ) 的中点是关键 .这需要一定的观
察能力和逻辑思维能力. 例 15 判断函数 f ( x ) ?

1 ? x2 的奇偶性. x?2 ?2

分析:要判断一个函数的奇偶性,首先要判断这个函数的定义域是否关于原点对称.
2 解:由 1 ? x ? 0 且 x ? 2 ? 2 ? 0 知, f ( x ) 的定义域是 [?1,0)

(0,1] , f ( x) 的定义

域 关 于 原 点 对 称 . 在 f ( x) 的 定 义 域 内 , 有 f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 ? ? , x ? 2 ? 2 ( x ? 2) ? 2 x

f (? x) ? ? f ( x) .则 f ( x) 是奇函数.
点评:判断函数的奇偶性之前,要先判断函数的定义域是否关于原点对称.这样做的好 处是:如果定义域不关于原点对称,则函数非奇非偶;如果定义域关于原点对称,则可以把 原来的函数解析式进行化简,化简时可以利用自变量在定义域内这个条件,如本题. 例 16 已知 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的函数,当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 , f (2) ? 1 ,且对

于任意实数 x 和 y ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) . (Ⅰ)求 f (1) 和 f ?

?1? ? 的值; ?2?

(Ⅱ)证明 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数; (Ⅲ)试判断方程 f ( x) ? 4sin x 的根的个数. 分析:题目没有给出 f ( x ) 的具体函数形式,只是临时给 f ( x ) 定义了一些性质.我们要 考虑如何根据这些性质尤其是“对于任意实数 x 和 y ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ”求解和证 明. (Ⅰ)解:因为 f (1) ? f (1 ?1) ? f (1) ? f (1) ? 2 f (1) ,所以 f (1) ? 0 .

?1? ? 1? f (2) ? f ? ? ? f ? 2 ? ? ? f (1) ? 0 , ?2? ? 2?
(Ⅱ)证明:设 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则

?1? f ? ? ? ? f (2) ? ?1 . ?2?

?x ? x2 ? 1 , f ? 2 ? ? 0 .于是 x1 ? x1 ?

? x ? ?x ? f ( x2 ) ? f ? x1 ? 2 ? ? f ( x1 ) ? f ? 2 ? ? f ( x1 ) , x1 ? ? ? x1 ?
所以 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数. (Ⅲ)解:方程 f ( x) ? 4sin x 的根的个数,就是函数 y ? f ( x) 与 y ? 4sin x 的图象的 交点的个数. 因为 4sin x ? 4 ,

f (16) ? f (4 ? 4) ? f (4) ? f (4) ? 2 f (4) ? 2 f (2 ? 2) ? 2? f (2) ? f (2)? ? 4 f (2) ? 4 ,
所以 y ? f ( x) 与 y ? 4sin x 的图象只在区间 (0,16] 内有交点.画这两个函数在区间 (0,16] 内的图象,如图 1-4-2 所示.从图中可以看出, y ? f ( x) 与 y ? 4sin x 的图象在区间 (0,16] 内有 5 个交点,故方程 f ( x) ? 4sin x 有 5 个根.

点评: 如果我们对于基本初等函数熟知的话, 就会发现满足题目临时定义性质的一个函 数模型是对数函数 f ( x) ? log2 x .当我们根据这个函数模型来分析题目中的条件时,题意就 明朗多了,接下来的求解与证明也会变得非常简单.另外,在证明 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函

数时, 用到了一个小技巧, 即把 f ( x2 ) 写成 f ? x1 ?

? ?

x2 x1

? 这主要是考虑到了“对于任意实数 x ?, ?

和 y ,都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ”这一性质. 例 17 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,当 x ? 0 时 0 ? f ( x) ? 1 ,并且对于任意的实数

m 和 n ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) .
(Ⅰ)求 f (0) 的值; (Ⅱ)证明当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (Ⅲ)证明 f ( x ) 在 R 上是减函数. 分析:本题与例 15 相仿,也没有给出 f ( x ) 的具体函数形式,只是临时给 f ( x ) 定义了 一些性质.我们要考虑如何根据这些性质尤其是“对于任意的实数 ”求解和证明 . f ( m? n) ? f ( m)? f ( n ) (Ⅰ) 解: 若 f (0) ? 0 , 则当 x ? 0 时 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) ? f (0) ? 0 , 这与当 x ? 0 时 0 ? f ( x) ? 1 矛盾.故 f (0) ? 0 .则 f (0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? ? f (0) ? , f (0) ? 1 .
2

m 和 n ,都有

( Ⅱ ) 证 明 : 当 x ? 0 时 , 有 ? x ? 0 , 从 而 0 ? f ( ? x) ? 1 . 因 为

f ( x? )

f? (

x) ?

f(? x

x ) ?

x) ? ,所以 f ( 0 ? ) f (1

1 ? 1. f (? x)

(Ⅲ)证明:因为当 x ? 0 时 0 ? f ( x) ? 1 ,当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 , f (0) ? 1 ,所以对 于任意的 x ? R , 都有 f ( x) ? 0 .设 x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2 , 则 x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ? x2 ) ? 1 . 于是

f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ,
所以 f ( x ) 在 R 上是减函数.

?1? 点评:满足题目临时定义性质的一个函数模型是指数函数 f ( x) ? ? ? ,根据这个函 ?2?
数模型来求解与证明时是非常简单的.在证明 f ( x ) 在 R 上是减函数时,也用到了一个小技

x

巧 : 把 f ( x1 ) 写 成 f ( x2 ? x 1 ? x 2 ) .这是考虑到了“对于任意的实数 ”这一性质 . f ( m? n) ? f ( m)? f ( n )

m 和 n ,都有

三、本讲小结
我们主要是通过例题来研究函数的性质的,这些例题涉及函数的单调性、奇偶性、周期 性、对称性(包括轴对称和中心对称)以及有关原函数与反函数的问题.“例题选讲”部分 提供了许多经典的解题方法和技巧,包括:分类讨论(例 10 解法 1、例 12) ,化繁为简(例 10 解法 2) ,数形结合(例 1、例 4、例 10 解法 2、例 14) ,函数思想(例 9 解法 2).这些 解题方法和技巧对于高中学生尤其对于即将参加高考的高三学生来说是非常有用的. 基本初等函数的种类是有限的,但是只要任意改变它们的系数,就可以得到新的函数; 或者对它们任意组合、构造,就可以得到形式各异的复合函数.因此,能够写出具体解析式 的函数在理论上是无穷无尽的,我们不可能也没必要把它们全部罗列出来加以研究.在这一 讲中, 我们除了讨论少数给出了具体解析式的函数的性质外, 更多的是研究那些不给出具体 解析式,只给出“ f ( x ) ”这种抽象形式的函数的性质,并得出了一些结论.这些结论有: 例 4 引入的命题 1.3,例 5 引入的命题 1.4,例 6 引入的命题 1.5,例 8 引入的命题 1.6,例 12 引入的命题 1.7 及命题 1.7 ? ,例 13 引入的命题 1.8.我们对这些命题都做了严格证明.用 这些命题来解答选择题与填空题是非常方便的,对于解答大题也能起到启发思路的作用.建 议读者熟记它们,并习惯于用它们解题. 考察函数性质的形式是多种多样的.可以假设函数具有某些常见性质,要求利用这些性 质解答问题,如例 12;也可以临时给函数定义一些性质,要求利用这些临时定义的性质解 答问题或证明结论,如例 16 和例 17.有些题目是根据具体的函数模型来临时定义性质的, 但这些具体的函数模型不在题目中指明.这就要求我们必须熟知各种基本初等函数以及它们 常见的性质.例 16 的具体函数模型是对数函数 f ( x) ? log2 x , 例 17 的具体函数模型是指数

?1? 函数 f ( x) ? ? ? . ?2?

x

四、本讲练习
1. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数.如果 ?x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 则 f (6) 的 值为( ) A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

2. 设 f ( x ) 和 g ( x) 都是定义在 R 上的函数,则“ f ( x) ? g ( x) 是奇函数”是“ f ( x ) 和

g ( x) 都是奇函数”的(
A. 充分条件 C. 充分不必要条件

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2 3.(2007 北 京 理 ) 对 于 函 数 ① f ( x) ? lg x ? 2 ? 1 , ② f ( x)? ( x ? 2 ), ③

?

?

f ( x) ? c o s x ( ?

,判断如下三个命题的真假: 2)

命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数; 命题乙: f ( x ) 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数; 命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真命题的所有函数的序号是( A. ①③ B. ①② ) C. ③

D. ②

x 4. ( 2009 辽宁)若 x1 满足 2 x ? 2 ? 5 , x2 满足 2 x ? 2 log2 (x ? 1)? 5,则 x1 ? x2 ?

( A.



5 2
x

B. 3

C.

7 2

D. 4

5. 若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a =_______. 2 ?1

6. 函数 y ? 5 ? 4 x ? x 2 的单调递减区间是_______. 7. 设奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 解集为_______. 8.(2008 上海)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x , 则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是____________. 9. 设 f ( x ) 是 定义在 R 上 的奇函数, 并且 ?x ? R ,都 有 f (3 ? x) ? f (3 ? x) . 当

f ( x) ? f (? x) ? 0的 x

x ? (0,3) 时, f ( x) ? 2x .求当 x ? (?6, ?3) 时, f ( x) 的解析式.
10.(2007 广东)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在
2

区间 [?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围.

五、本讲练习答案
1.B 2.B 3.D 4.C 5.

1 2

6. [?2,1]

7. (?1,0)

(0,1)

8. (?1, 0)

(1, ??)

9.解:因为 ?x ? R ,都有 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,所以对于 ? x ? 3 ? R ,有

f ?3 ? (?x ? 3) ? ? f ?3 ? (?x ? 3) ? ,即 f (? x) ? f ( x ? 6) .

当 x ? (?6, ?3) 时, x ? 6 ? (0,3) ,再注意到 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,有

f ( x) ? ? f (? x) ? ? f ( x ? 6) ? ?2x?6 .
10.解:若 a ? 0 ,则函数 f ( x) ? 2 x ? 3 在区间 [?1,1] 上没有零点.下面就 a ? 0 时分三 种情况讨论. ( 1 ) 方 程 f ( x ) ? 0 在 区 间 [? 1, 1] 上 有 重 根 . 此 时 ? ? 4( 2 a2 ? 6 a ? 1) ? ,解得 0

a?

?3 ? 7 . 2
当a ?

?3 ? 7 3? 7 时, f ( x) ? 0 的重根 x ? ? [?1,1] ; 2 2

当a ?

?3 ? 7 3? 7 时, f ( x) ? 0 的重根 x ? ? [?1,1] . 2 2 ?3 ? 7 . 2

故当方程 f ( x) ? 0 在区间 [?1,1] 上有重根时, a ?

( 2 ) f ( x ) 在 区 间 [? 1, 1] 上 只 有 一 个 零 点 且 不 是 f ( x ) ? 0的 重 根 . 此 时 有

f (? 1 )f ( 1 ?) . 0 f (?1) ? a ? 5 , f (1) ? a ? 1 ,? (a ? 5)(a ?1) ? 0 ,得 1 ? a ? 5 .
因为当 a ? 5 时, 方程 f ( x) ? 0 在区间 [?1,1] 上有两个相异实根, 所以当方程 f ( x) ? 0 在区间 [?1,1] 上只有一个零点且不是 f ( x) ? 0 的重根时, 1 ? a ? 5 . ( 3 ) 方 程 f ( x )?
2

在 区 间 [? 1 , 1 上] 有 两 个 相 异 实 根 . 因 为 函 数 0

1 1 ? 1 ? ,所以有 f ( x) ? 2a ? x ? ? ? ? a ? 3 ,其图象的对称轴为 x ? ? 2a 2a ? 2a ?

? a?0 ? a?0 ? ? ? ? 1 ?1 ? ? 1 ?1 ? 2a ? 2a 或? . ? f (1) ? 0 f (1) ? 0 ? ? ? f (?1) ? 0 ? f (?1) ? 0 ? ? ? ??0 ? ??0

解得 a ? 5 或 a ?

?3 ? 7 . 故 当 方 程 f ( x ) ? 0 在 区 间 [? 1, 1] 上有两个相异实根时, 2

? ?3 ? 7 ? a ?? ?? , ? ? ? [5, ??) . 2 ? ?
综 上 所 述 , 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 [? 1, 1] 上有零点,则

a 的取值范围是

? ?3 ? 7 ? ?? , ? ? ? ? [1, ??) . 2 ? ?


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