12立体几何综合练习题 1

立体几何综合练习题(1)
一、选择题 1. 异面直线 a 、 b 分别在平面 ? 、 ? 内,且 ? ? ? ? c ,则直线 c ( A. 同时与 ? 、 ? 相交 B. 至少与 a 、 b 之一相交 )

C. 最多与 a 、 b 之一相交 D. 与 a 、 b 之一相交且与另一平面平行 d b 、 为两两垂直的异面直线, 是 b 、 的公垂线, d 与 a 的位置关系为 2. 设 a 、 c 则 ( c A.. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 不确定 3. 平面外一条直线与平面成 ? 角,则( ) A. 0 ? ? ? 180
? ?



B. 0 ? ? ? 90
?

?

C. 0 ? ? ? 90
?

?

D. 0 ? ? ? 90
?

?

4. 平面外两条直线在该平面上的射影互相平行,则这两条直线( ) A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 平行或异面 5. 过平面外一点 P( ) A. 存在无数条直线与该平面垂直 B. 存在无数个平面与该平面平行 C. 存在无数条直线与该平面平行 D. 存在唯一的平面与该平面垂直 6. ? ? l ? ? 是直二面角,直线 a 与平面 ? 成 30 ? 角,设直线 a 与平面 ? 所成角为 ? ,则 有( )
?

A. ? ? 60

B. ? ? 60

?

C. 0 ? ? ? 90
?

?

D. 0 ? ? ? 60
?

?

7. 设正三棱锥两侧面所成二面角为 ? ,则( A. ? ? 60
?


?

B. ? ? 60

?

C. ? ? 60

D. 以上都有可能

8. 若直线 a 在平面 ? 内,直线 b 与平面 ? 相交,则直线 a 、 b 的位置关系为( ) A. 异面 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 平行或相交 9. 将正方形 ABCD 沿其对角线 AC 折成直二面角后,AB 与 CD 所成的角为( ) A. 45
?

B. 90
?

?

C. 60

?

D. 75

?

10. 在地球的北纬 60 圈上有 A、B 两点,其经度相差 180 ,则 AB 沿此纬度圈的劣弧长 与 A、B 间的球面距离之比为( ) A. 3 : 2 B. 2 : 3 C. 1 : 3 D. 3 : 1 11. 过棱锥一条棱的两个三等分点,分别作平行于底面的平面,这两个平面把棱锥分成三 部分,则这三部分的体积之比(自上而下)为( ) A. 1 : 2 : 3 B. 1 : 7 : 1 9 C. 1 : 5 : 2 1 D. 1 : 9 : 2 7
? 12. 直二面角 ? ? l ? ? 的棱上有一点 P,过 P 在 ? 、 ? 内分别作与棱 l 成 45 角的射线

?

PA、PB,则∠APB=( A. 60
?

) B. 120
?

C. 60 或 120

?

?

D. 90

?

1

二、平行六面体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 各棱长均为 1,且 ? A1 A B ? ? A1 A D ? ? B A D ? 60 ,
?

求其体积.

三、如图, AB ? ? , AB ? 4, CD ? ? ? P , BC ? ? , BC ? 3, AD ? AB ,
AD 与 ? 成 30 角,求 C D .
?

AD ? 3,

四、已知 ? ? l ? ? 为 120 ? 二面角,圆 O 1 和圆 O 2 分别在半平面 ? 、 ? 内,且均与棱 l 切 于 P 点,两圆半径分别为 3 和
3 2

⑴ 求证:圆 O 1 和圆 O 2 在同一球面上; ⑵ 求此球的体积。

五、四面体 A B C D 中, A B ? A C ? B C ? B D ? C D ? 1 ,当此四面体的全面积取得最大 值时,求这个四面体的体积。

2

【立体几何综合练习题(1)答案】 一、选择题 1. B 2. B B B D D C 3. D 4. D D C B C A 5. C 6. D B C

[容易证明, a 与 ? 、 ? 所成角之 7. C
1 2

和 30 ? ? ? ? 90 ? ,特殊地, a ? ? 时 ? ? 0 ? ; a ? l 时 ? ? 60 ? ]
2a ? 1
2

[如图,

设 AB=1,MA=MB= a , 则 a ? 1 ,∴ cos ? ?

2a

2

? 1?

1 2a
2

?

? ? ? 60 ]
?

8. B

9. C

[<1>建立空间直角坐标系计算之;<2>如 10. A 11. B

图,将 CD 平移至 EA,可证Δ ABE 为等边三角形] 12. C [按 PA、PB 与 l 同向和反向两种情况分别计算]

二、解: 作 A1O ? 底 面 A B C D ,由已知,垂足 O 必在
A C 上。

设 ? A1 A O ? ? ,则 cos 60 ? ? cos ? ? cos 30 ?
? cos ? ? 1 3 ? sin ? ? 2 3 ? A O ? 1 ? sin ? ? 2 3

∴ V ? (1 ? 1 ? sin 60 ) ? A O ?
?

2 2

,即该平行六面体的体积等于

2 2

.

三、解: ∵ C D ? C B ? BA ? AD
???? ∴ CD
2

????

??? ?

??? ?

????
2

??? ??? ???? ? ? ? CB ? BA ? AD

? 9 ? 16 ? 9 ? 0 ? 0 ? 2 ? 3 ? 3 ? cos120
? 43

?

故:
CD ? 43

四、解: ⑴ 连接 O1C 、 O 2 C ,则 O1C ? l 、 O 2 C ? l
? l ? 平面 O1C O 2 ,从而 ? ⊥平面 O1C O 2 ,且

3

? ? ⊥平面 O1C O 2 ,交线分别为 O1C 和 O 2 C . 由已知, ? O1C O 2 ? 120 。

O 在平面 O1C O 2 中, O1 P ? O1C ,O 2 P ? O 2 C , O1 P 、 2 P 交于点 P , P O1 ? ? , 作 设 则 PO2 ? ? .

连接 P C ,显然,点 P 到圆 O 1 上各点的距离都等于 P C ;点 P 到圆 O 2 上各点的距离也 都等于 P C 。 因此,圆 O 1 和圆 O 2 在以点 P 为球心,以 P C 为半径的同一球面上。 ⑵ 设球 P 的半径 P C ? R ,则 co s ? P C O 1 ?
?

3 R

, co s ? P C O 2 ? 1 2

3 2R

,由图可知:

co s ? O1C O 2 ? co s( ? P C O 1 ? ? P C O 2 ) ? co s 1 2 0 ? ?

,即:
1 2

3

?

3

? 1?
4 3

9 R
2

? 1?

9 4R
2

?

1 2R
2

(9 ?

4 R ? 45 R ? 81) ? ?
4 2

,解得: R ?

21 .

R 2R

∴ V ? 五、解:

? ( 21) ? 28 21 ? .
3

由已知, S ? A B C ? S ? D B C ?

3 4

,且 S ? A B D ? S ? A C D .

显然,当且仅当 S ? A C D 最大时,全面积 S 才取得最大值. 设 ? A C D ? ? ,则 S ? A C D ?
1 2
?

sin ? ?

1 2

.
2 。 A D 中点 M , 取 连接 B M 、C M ,
2 2

显然, S ? A C D 最大时, ? 90 。 当 此时,A D ? ?

则 AD ? BM , AD ? CM ,从而, AD ? 平 面 MBC ,且有: B M = C M ?

.

? M B C中,取 B C 中点 N ,连接 M N ,则 MN ? BC ,且 M N ?

(

1 2 1 2 ) ?( ) ? 2 2 2

2

? S ? M BC ?

1 2

?1?

1 2

?

1 4

.
1 3 1 4 2 12 2 12

∴ V ?

1 3

? S ? MBC ? A D ?

?

?

2 ?

.

即:当此四面体的全面积取得最大值时,这个四面体的体积等于

.

4


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