全国通用2018高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教师用书文

第一章

集合与常用逻辑用语
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为教师授课、学生学习提供丰富备考资源 [五年考情] 考点 2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 全国卷 集合的概念 及其运算 全国卷Ⅰ·T1 全国卷Ⅲ·T1 全国卷Ⅰ·T1 全国卷Ⅱ·T1 全国卷Ⅰ·T1 全国卷Ⅱ·T1 Ⅰ·T1 全国卷 Ⅱ·T1 四种命题及 其关系, 充分 条件与必要 条件 含逻辑联结 词的命题的 真假判断, 全 称命题、 特称 命题的否定 [重点关注] 综合近 5 年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律: 1.从考查题型看:一般是一个选择题,个别年份是两个选择题,从考查分值看,在 5 分左右,题目注重基础,属容易题. 2.从考查知识点看:主要考查集合的关系及其运算,有时综合考查一元二次不等式的 解法,突出对数形结合思想的考查,对常用逻辑用语考查较少,有时会命制一道小题. 3.从命题思路看: (1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查. (2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相 结合考查. (3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查. (4)通过对近 5 年全国卷高考试题分析, 可以预测, 在 2018 年, 本章内容考查的重点是: ①集合的关系及其基本运算;②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断;③充 分条件,必要条件的判断. [导学心语] 全国卷 Ⅰ·T5 全国卷Ⅱ·T3 全国 卷·T1 2012 年

1

根据近 5 年的全国卷高考命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面: 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)重视对集合相关概念的理解,深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、 交集、并集、补集等概念,弄清集合元素的特征及其表示方法. (2)重视充分条件、必要条件的判断,弄清四种命题的关系. (3)重视含逻辑联结词命题真假的判断,掌握特称命题、全称命题否定的含义. 2.熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)子集的个数及判定问题. (2)集合的运算问题. (3)充分条件、必要条件的判断问题. (4)含逻辑联结词命题的真假判断问题. (5)特称命题、全称命题的否定问题. 3.重视数学思想方法的应用 (1)数形结合思想:解决有关集合的运算问题时,可利用 Venn 图或数轴更直观地求解. (2)转化与化归思想:通过运用原命题和其逆否命题的等价性,进行恰当转化,巧妙判 断命题的真假. 第一节 集 合

———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语 言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集; 在具体情境中, 了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集 与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的 含义,会求给定子集的补集.(3)能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对? x∈A,都有 x∈B,则 A? B 或 B? A. (2)真子集:若 A? B,但? x∈B,且 x?A,则 A?B 或 B?A. (3)相等:若 A? B,且 B? A,则 A=B.
2

(4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 并集 图形表示 符号表示 意义 交集 补集

A∪B
{x|x∈A 或 x∈B}

A∩B
{x|x∈A 且 x∈B}

?UA {x|x∈U 且 x?A}

4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集有 2 个,真子集有 2 -1 个. (2)子集的传递性:A? B,B? C? A? C. (3)A? B?A∩B=A?A∪B=B. (4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
n n

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何集合都有两个子集.(
2

)
2 2

(2)已知集合 A={x|y=x },B={y|y=x },C={(x,y)|y=x },则 A=B=C.( (3)若{x 1}={0,1},则 x=0,1.( (4)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( )
2,

)

)

[解析] (1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的. (2)错误.集合 A 是函数 y=x 的定义域,即 A=(-∞,+∞);集合 B 是函数 y=x 的 值域,即 B=[0,+∞);集合 C 是抛物线 y=x 上的点集.因此 A,B,C 不相等. (3)错误.当 x=1 时,不满足互异性. (4)错误.当 A=?时,B,C 可为任意集合. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)若集合 A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下列结论正确的是 ( A.{a}? A C.{a}∈A D B.a? A D.a?A )
2 2 2

[由题意知 A={0,1,2,3},由 a=2 2,知 a?A.] )

3.(2016·全国卷Ⅰ)设集合 A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则 A∩B=( A.{1,3} C.{5,7} B B.{3,5} D.{1,7}

[集合 A 与集合 B 的公共元素有 3,5,故 A∩B={3,5},故选 B.]
3

4.(2016·全国卷Ⅲ)设集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则?AB=( A.{4,8} C.{0,2,6,10} C B.{0,2,6} D.{0,2,4,6,8,10}

)

[∵集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},

∴?AB={0,2,6,10}.] 5.已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x}, 则 A∩B 的元素个数为________. 2 [集合 A 表示圆心在原点的单位圆上的点,集合 B 表示直线 y=x 上的点,易知直线
2 2

y=x 和圆 x2+y2=1 相交,且有 2 个交点,故 A∩B 中有 2 个元素.]

集合的基本概念 (1)已知集合 A={0,1,2}, 则集合 B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是( A.1 C.5 B.3 D.9
2

)

(2)若集合 A={x∈R|ax -3x+2=0}中只有一个元素,则 a=( 9 A. 2 C.0 9 B. 8 9 D.0 或 8

)

(1)C (2)D [(1)当 x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2; 当 x=1,y=0,1,2 时,x-y=1,0,-1; 当 x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知,B 的元素为-2,-1,0,1,2,共 5 个. (2)若集合 A 中只有一个元素, 则方程 ax -3x+2=0 只有一个实根或有两个相等实根. 2 当 a=0 时,x= ,符合题意; 3 9 2 当 a≠0 时,由 Δ =(-3) -8a=0 得 a= , 8 9 所以 a 的取值为 0 或 .] 8 [规律方法] 1.研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性;特别地, 对于含有字母的集合, 在求出字母的值后, 要注意检验集合的元素是否满足互异性, 如题(1). 2.由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想,如题(2). [变式训练 1] 已知集合 A={x∈R|ax +3x-2=0},若 A=?,则实数 a 的取值范围为 ________. 【导学号:31222001】
4
2 2

?-∞,-9? [∵A=?,∴方程 ax2+3x-2=0 无实根, ? 8? ? ?
2 当 a=0 时,x= 不合题意; 3 9 当 a≠0 时,Δ =9+8a<0,∴a<- .] 8 集合间的基本关系

(1)已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( A.A?B C.A? B B.B?A D.B=A

)

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值 范围是________. (1)B (2)(-∞,4] [(1)易知 A={x|-1≤x≤1}, 所以 B={x|x=m ,m∈A}={x|0≤x≤1}, 因此 B?A. (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B? A,如图.
2

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,
解得 2<m≤4. 综上,m 的取值范围为 m≤4.] [规律方法] 1.B? A,应分 B=?和 B≠?两种情况讨论. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间 的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象 为直观进行求解. [变式训练 2] (1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合 A={x|x>0}, 且 B? A, 则集合 B 可能是( ) B.{x|x≤1} D.R
2

A.{1,2} C.{-1,0,1}

(2)(2017·湖南师大附中模拟)已知集合 A={x| x= x -2,x∈R},B={1,m},若

A? B,则 m 的值为(

) 【导学号:31222000】
5

A.2 C.-1 或 2

B.-1 D.2 或 2

(1)A (2)A [(1)因为 A={x|x>0},且 B? A,再根据选项 A,B,C,D 可知选项 A 正 确. (2)由 x= x -2,得 x=2,则 A={2}. 因为 B={1,m},且 A? B, 所以 m=2.] 集合的基本运算 ?角度 1 求集合的交集或并集 (1)(2015· 全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 集 合 A = {x|x = 3n + 2 , n ∈ N} , B = {6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 ) D.2
2

(2)(2017·郑州调研)设集合 M={x|x =x},

2

N={x|lg x≤0},则 M∪N=(
A.[0,1] C.[0,1)

) B.(0,1] D.(-∞,1]

(1)D (2)A [(1)集合 A 中元素满足 x=3n+2,n∈N,即被 3 除余 2,而集合 B 中满足 这一要求的元素只有 8 和 14.共 2 个元素. (2)M={x|x =x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1].] ?角度 2 集合的交、并、补的混合运算 (1)(2016·山东高考)设集合 U={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5},B={3,4,5}, 则?U(A∪B)=( A.{2,6} C.{1,3,4,5} ) B.{3,6} D.{1,2,4,6}
2

(2)(2017·太原一模)已知全集 U=R, 集合 M={x|(x-1)(x+3)<0}, N={x||x|≤1}, 则阴影部分(如图 1?1?1)表示的集合是( )

图 1?1?1 A.[-1,1) C.(-∞,-3)∪[-1,+∞) B.(-3,1] D.(-3,-1)

6

(1)A (2)D [(1)∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5}. 又 U={1,2,3,4,5,6},∴?U(A∪B)={2,6}. (2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为 M∩(?UN)=(-3, -1).] [规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性, 然后利用交集和 并集的定义求解. 2.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集 合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的 取舍. 易错警示:在解决有关 A∩B=?,A? B 等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定要先 考虑?是否成立,以防漏解.

[思想与方法] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解 题的切入点;另一方面,对求出的字母的值,应检验是否满足集合元素的互异性,以确保答
7

案正确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:首先,过好转化关,即把图形语 言转化为符号语言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决. 3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn 图求解. (1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关 系,求其中参数的取值范围,关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系. (2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图,这是数形结合思想 的又一体现. [易错与防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对 集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,以防 漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关 系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴 图示法时要特别注意端点是实心还是空心. 课时分层训练(一) 集 合

A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合 A={1,2,3},B={x|x <9},则 A∩B=( A.{-2,-1,0,1,2,3} C.{1,2,3} D
2 2

)

B.{-2,-1,0,1,2} D.{1,2}

[∵x <9,∴-3<x<3,∴B={x|-3<x<3}.

又 A={1,2,3}, ∴A∩B={1,2,3}∩{x|-3<x<3}={1,2}.] 2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合 A={1,2,3},B={2,3},则( A.A=B C.A?B D B.A∩B=? D.B?A )

[∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A 且 2,3∈B,1∈A 但 1?B,∴B?A.]
2

3.(2017·潍坊模拟)已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N}, 则满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为( A.1 ) 【导学号:31222002】 B.2
8

C.3 D
2

D.4

[由 x -3x+2=0,得 x=1 或 x=2,

∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}, 共 4 个.] 4.(2016·山东高考)设集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x -1<0},则 A∪B=( A.(-1,1) C.(-1,+∞) C B.(0,1) D.(0,+∞)
x
2

)

[由已知得 A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则 A∪B={x|x>-1}.]

5.(2017·衡水模拟)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={2,3,5,6},集合 B= {1,3,4,6,7},则集合 A∩?UB=( A.{2,5} C.{2,5,6} A [由题意得?UB={2,5,8}, ) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

∴A∩?UB={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.]
? ? 1 1 6.若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0, ,2,3?的所有非空 2 x ? ?

子集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 C.7 B

) 【导学号:31222003】 B.3 D.31

1 [具有伙伴关系的元素组是-1, ,2,所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1}, 2

?1 ? ? 1 ? ? ,2?,?-1, ,2?.] 2 2 ? ? ? ?

7.已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D [∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

)

∴A∪B={x|x≤0 或 x≥1},在数轴上表示如图, ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.] 二、填空题 8.已知 A={0,m,2},B={x|x -4x =0},若 A=B,则 m=________. -2 [由题知 B={0,-2,2},A={0,m,2},若 A=B,则 m=-2.]
4 2

9.(2016·天津高考)已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则 A∩B= ________.
9

{1,4} [因为集合 B 中,x∈A,所以当 x=1 时,y=3-2=1; 当 x=2 时,y=3×2-2=4; 当 x=3 时,y=3×3-2=7; 当 x=4 时,y=3×4-2=10. 即 B={1,4,7,10}. 又因为 A={1,2,3,4},所以 A∩B={1,4}.] 10.集合 A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若 A-B={x|x∈A,且 x?B},则 A -B=________. [-1,0) [由 x(x+1)>0,得 x<-1 或 x>0,

∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞), ∴A-B=[-1,0).] B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2016·全国卷Ⅲ改编)设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(?RS)∩T =( ) A.[2,3] C.(2,3) C B.(-∞,-2]∪[3,+∞) D.(0,+∞)

[易知 S=(-∞,2]∪[3,+∞),∴?RS=(2,3).

∴(?RS)∩T=(2,3).] 2.(2017·郑州调研)设全集 U=R,A={x|x -2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则图 1?1?2 中阴影部分表示的区间是( )
2

图 1?1?2 A.[0,1] B.(-∞,-1]∪[2,+∞) C.[-1,2] D.(-∞,-1)∪(2,+∞) D [A={x|x -2x≤0}=[0,2],B={y|y=cos x,x∈R}=[-1,1].
2

图中阴影部分表示?U(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).] 3. 已知集合 A={x|4≤2 ≤16}, B=[a, b], 若 A? B, 则实数 a-b 的取值范围是________. 【导学号:31222004】 (-∞,-2] [由 4≤2 ≤16,得 2≤x≤4,则 A=[2,4],又 B=[a,b],且 A? B.
x x

10

∴a≤2,b≥4,故 a-b≤2-4=-2. 因此 a-b 的取值范围是(-∞,-2].] 4.设集合 A={x|x -x-6<0},B={x|x-a≥0}.若存在实数 a,使得 A∩B={x|0≤x <3},则 A∪B=________. {x|x>-2} [A={x|-2<x<3},B={x|x≥a}. 如图, 由 A∩B={x|0≤x<3}, 得 a=0, A∪B={x|x>-2}. ]
2

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