【步步高】高考数学二轮复习 专题三 第3讲推理与证明

第 3 讲 推理与证明
(推荐时间:60 分钟) 一、填空题 1.已知整数对排列如下: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5), (2,4),…,则第 62 个整数对是________. 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an= __________. 3.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)有有理根,那么
2 2

a,b,c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是________(填序号).
①假设 a,b,c 都是偶数 ②假设 a,b,c 都不是偶数 ③假设 a,b,c 至多有一个是偶数 ④假设 a,b,c 至多有两个是偶数 4.(2011·江西改编)观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2 401,…,则 7 字为________. 5.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)·f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(2 011)= ________. 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 6.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > ,1+ + +…+ >2,1+ + 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 3 1 5 +…+ > ,…,由此猜想第 n 个不等式为______________. 31 2 7.观察下列各式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10= 49,…,则由此可归纳出 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=________. 8.(2011·北京)设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3) (t∈R).记 N(t)为平行四边 形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N(0)= ________;N(t)的所有可能取值为________. 9.在公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有
100 2 3 4 2 011

的末两位数

T20 T30 T40 , , 仍成等 T10 T20 T30

比数列,且公比为 4 ;类比上述结论,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项 和,则有________________________也成等差数列,该等差数列的公差为________. 1 10.若数列{an}的通项公式 an= 2,记 f(n)=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计 (n+1) 算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)=________. 11.(2011·山东)设函数 f(x)=

x

x+2

(x>0),观察:

x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8

f4(x)=f(f3(x))=
……

x , 15x+16

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 2 2 3 3 4 12. 已知 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ =4 3 3 8 8 15 二、解答题 1? ? 2 13.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 S 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? 1 1 1 1 (1)求 , , ,…,并求 (不需证明);
*

4 , …, 若 15

6+ =6

a t

a t

(a,t 均为正实数),类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 a+t=________.

S2 S3 S4

Sn

(2)求数列{an}的通项公式. 14.观察下列三角形数表 假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N ), (1)依次写出第六行的所有 6 个数字; (2)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出 an 的通项公式. an+1+an-1 15.已知数列{an}中,a4=28,且满足 =n. an+1-an+1 (1)求 a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通项公式并证明. 答 案 2 3.② 4.43 n(n+1) 1 1 1 n 6.1+ + +…+ n > 2 3 2 -1 2
2 *

1.(7,5) 2. 5. 13 2

7.(2n-1)

8.6 6,7,8

9.S20-S10,S30-S20,S40-S30 300 n+2 x 10. 11. n 12.41 n n+1 (2 -1)x+2 1? ? 2 13.解 (1)当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 和 Sn=an?Sn- ?, 2? ? 1? ? 2 得 S2=(S2-S1)?S2- ?, 2? ? 1 1+2S1 1 得 = =2+ =3, S2 S1 1 1? ? 2 由 S3=(S3-S2)?S3- ?, 2? ? 1 1 得 =2+ =5,

S3

S2

1? ? 2 由 S4=(S4-S3)?S4- ?, 2? ? 1 1 得 =2+ =7,

S4

S3

… 1? ? 2 由 Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ?, 2? ? 1 1 得 =2+ =2n-1.

Sn

Sn-1

1 (2)由(1)知,Sn= , 2n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 1 2 - =- , 2n-1 2n-3 (2n-1)(2n-3)

显然,a1=1 不符合上述表达式, 所以数列{an}的通项公式为 1,n=1, ? ? an=? 2 - ,n≥2. ? ? (2n-1)(2n-3) 14.解 (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6. (2)依题意 an+1=an+n(n≥2),a2=2,

an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+2+3+…+(n-1) (n-2)(n+1)
=2+ 2 , 1 2 1 所以 an= n - n+1(n≥2). 2 2 an+1+an-1 15.解 (1) =n. an+1-an+1 a4+a3-1 当 n=3 时, =3. a4-a3+1 ∵a4=28,∴a3=15; a3+a2-1 当 n=2 时, =2. a3-a2+1 ∵a3=15,∴a2=6; a2+a1-1 当 n=1 时, =1. a2-a1+1 ∵a2=6,∴a1=1. (2)猜想 an=n(2n-1). ①当 n=1 时,a1=1, 而 a1=1×(2×1-1)=1,等式成立. ②假设当 n=k 时,等式成立, 即 ak=k(2k-1). 则当 n=k+1 时, ak+1+ak-1 ak+1+k(2k-1)-1 =k, =k, ak+1-ak+1 ak+1-k(2k-1)+1 整理,得 (1-k)ak+1=-2k -k +2k+1 =(2k+1)(1-k ),
2 3 2

ak+1=(1+k)(2k+1)=(k+1)[2(k+1)-1],
等式也成立. 综合①②可知,n∈N 时,等式成立.
*


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