高考第二轮复习——概率与统计问题的题型与方法

复习重点:
1. 掌握事件、频率、概率的基本概念。理解古典概率、条件概率的特征及了解互斥事件、 独立事件的含义、互斥事件与对立事件的区别,并能进行简单的概率计算; 2. 理解随机变量、离散型随机变量的分布列的含义及性质,并能求出离散型随机变量的 分布列及数学期望(均值)与方差。了解模拟方法(几何概型)及二项分布、超几何分布的 特征及其简单的应用; 3. 会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。会用样本 频率分布去估计总体分布,会根据样本的特征数估计总体。理解平均数、方差、众数、中位 数的概念。 4. 了解正态分布的概念、正态曲线的形状、正态分布中参数的含义。假设检验的基本思 想、线性回归的方法。

二、考点解析 1. 掌握古典概型、几何概型、互斥事件 (对立事件)概率的计算方法
(1)古典概型计算公式:P(A)= 事件A包含的事件数 ? m , 0 ? P(A) ? 1. 试验的基本事件总数 n 集合观点:设试验的基本事件总数构成集合 I,事件 A 包含的事件数构成集合 A,则 A? I 。 (2)互斥事件:在一次随机实验中,不可能同时发生的两个事件 A,B 称为互斥事件。 概率计算公式:事件 A,B 互斥,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 对立事件:在一次随机试验中,两个事件 A,B 不会同时发生,但必有一个发生,这样 的两个事件称为对立事件。记作: B ? A ,由对立事件的定义知: P( A) ? 1 ? P( A) 注 A1 , A2 ,? An 任意两个互斥,则: P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) :

(3)几何概型: 几何概型的定义: 向平面有限区域 (集合) G 内投点 M, 若点 M 落在子区域, 则 G1 ? G 的概率与 G1 的面积成正比,而与 G 的形状位置无关。这种概型称为几何概型。

? 几何概型计算公式: P(点M落在G 1内)

G1的面积 G的面积

对这一知识点的考查会单独命题,以选择、填空题的形式出现。分值在 4~5 分之间。 在求离散型随机变量的分布列时会应用到上述知识点。 2. 掌握条件概率与独立事件的计算方法 (1)条件概率的定义:对于任何两个事件 A,B,在已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率称为 B 发生时 A 发生的条件概率,记为 P(A|B) ;类似的,可定义 A 发生时 B 发生的条件概率,记为 P(B|A) 。 (2)把事件 A,B 同时发生所构成的事件 D,称为事件 A,B 的交集(或积) ,记为:

A ? B 或 D=AB.
( 3 ) 条 件 概 率 计 算 公 式 :

P( A | B) ?

P( AB) , P( B) ? 0 , P( B)

P( B | A) ?

P( AB) , P( A) ? 0 。 P( A)

注: (i)事件 A 在“事件 B 发生的条件下”的概率与没有事件 B 发生时的概率是不同的。 (ii)对于两个事件 A,B,如果 P(A|B)=P(A) ,则表明事件 B 发生不影响事 件 A 发 生 的 概 率 , 此 时 事 件 A , B 是 相 互 独 立 的 两 个 事 件 , 即 有 P ( A|B ) = P( A) ?

P( AB) , ? P( AB) ? P( A) P( B) .故当两个事件 A,B,若 P(AB)=P(A)P(B) P( B)

则事件 A,B 相互独立,同时 A 与 B, A 与B, A与B 也相互独立。 对这一知识点的考查会单独命题,出现在选择与填空题中,分值为 4~5 分. 3. 掌握二项分布、超几何分布、正态分布的含义及概率的计算 (1)二项分布 ① n 次独立重复试验的概念:在相同的条件下,重复做 n 次试验,各次试验的结果相互 独立。 独立重复试验的特征: (i)每次试验的条件相同,某一事件发生的概率不变; (ii)各次 试验结果互不影响,且每次试验只有两个结果发生或不发生。 ②公式:一般地,在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立试验中这个事
k k 件恰好发生 k 次的概率为 Pn (k ) ? Cn p (1 ? p) n?k (k ? 0,1,2,?, n) ,若随机变量由此式确

定,则 X 服从参数 n,p 的二项分布,记作: X ~ B(n, p) 。 (2)超几何分布 超几何分布:一般地,设有 N 件产品,其中含有 M 件次品( M ? N ) ,从 N 件产品中
k n?k CM CN ?M 任取 n 件产品, 用 X 表示取出的 n 件产品中含有的次品的件数, 则 P( X ? k ) ? n CN

(k 为非负整数) ,若随机变量由此式确定,则 X 服从参数 N,M,k 的超几何分布。 注:超几何分布是概率分布的另一种形式,要注意公式中 N,M,k 的含义。随机变量 X 取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商。 (3)正态分布 ①正态曲线:函数 简称正态曲线。 ② 若随机变量 X ~ N (? , ? ) ,则 E( X ) ? ?, D( X ) ? ? .
2 2

? 1 f ( x) ? e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, ( x ? R) 的图象为正态分布密度曲线,

4. 掌握离散型随机变量的分布列、期望、方差的性质及其应用 (1)常见的离散型随机变量的数学期望: ①二项分布:若随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布: X ~ B(n, p) ,则 EX ? np ②超几何分布:若随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布:则 EX ? (2)离散型随机变量 ? 的数学期望、方差的性质: 均值(期望)的性质: (ii) E(a? ? b) ? aE(? ) ? b ; (i) E (C ) ? C;

nM N

(iii) E(?1 ? ? 2 ) ? E(?1 ) ? E(? 2 ) ; (iv)若 ?1 , ? 2 相互独立,则 E(?1 ? ? 2 ) ? E(?1 ) ? E(? 2 ) .
方差的性质: (i)设 a,b 是常数,则 D(a? ? b) ? a D(? ) ;
2

(ii) D(? ) ? E(? 2 ) ? [ E(? )]2 二项分布中的离散型随机变量的方差: DX ? npq(q ? 1 ? p) . 对于上述知识点,在考查分布列、数学期望、方差的性质时会以选择、填空题的形式出 现,分值在 4~5 分之间。求分布列的问题以解答题的形式出现,分值在 10~12 分之间,难 度中等. 5. 掌握三种常用抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 三种抽样方法几乎每年必考,特别是文科试题中出现的频率较高,分值为 4~5 分. 6. 能列出频率分布表、画频率分布直方图、用茎叶图处理数据信息,会求一组数据的平 均数、方差、众数、中位数,并能利用它们解决实际问题。 对数据的分析与处理在文科试题中几乎每年都有一道大题出现,分值为 10~12 分,主 要考查学生对数据信息的处理能力. 7. 理解假设检验的基本思想、线性回归的方法 回归分析:对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个 变量之间的关系叫相关关系或回归关系。 回归直线方程:设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 个观测值的 n 个点大 致分布在某一条直线的附近,就可以认为 y 对 x 的回归函数的类型为直线型:

? ? a ? bx ,其中 b ? y

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (x
i ?1

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

i

? x)

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx 。

2 i

我们称这个方程为 y 对 x 的回归直线方程。对这一知识点的考查可能会出现大题,考查 应用知识解决实际问题的能力,分值在 10~12 分之间。

三、复习指导
1. 对古典概型、几何概型、互斥事件、独立事件的概率计算方法要熟练掌握,要能利用 等价转化的数学思想把已知事件的概率转化为求对立事件的概率, 如含有“至少”“至多” 等词语描述的事件的概率计算, 能运用数与形结合的思想求解几何概型问题: 如下面这道高 考模拟试题: 已知向量, a ? (1,?2) , b ? ( x, y) 。 (1)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3, 4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a ? b ? ?1 的概率; (2)若 x, y ? ?1,6? ,求满足 a ? b ? 0 的概率。

第一问采用列举法:首先确定基本事件( x,y)的总数是 6 ? 6 ? 36 个,再确定满足

a ? b ? ?1 ,即 x ? 2 y ? ?1 的事件数。利用古典概型计算公式求解。

第二问采用数形结合的思想:用 B 表示事件“ a ? b ? 0 ”,即 x ? 2 y ? 0 , 画出试验的全部结果构成的区域

?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6? ,及构成事件 B 的区域 ?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6, x ? 2 y ? 0? ,利用几何概型计算公式求解。

2. 掌握条件概率与独立事件的计算方法,要分清事件的属性,两个或多个事件的关系 是独立事件,还是互斥事件,否则容易出现错误。 3. 掌握二项分布、超几何分布、正态分布的含义.对一个离散型随机变量满足什么样的 分布要认真地分析:是二项分布,采用二项分布的公式计算概率;是超几何分布,采用超几 何分布的概率公式计算。正态分布可能易被忽视,要密切注意,只要了解正态分布图象的特 征和正态分布的含义即可。 4. 求离散型随机变量的分布列、方差的问题的解题关键是确定变量的取值,然后再求 变量取值的概率, 求出的分布列可以利用分布列的性质检验是否正确。 每年高考几乎都有与 此相关的解答题出现, 故这一知识点是高考的重点。 涉及根据分布列求参数的值或范围的问 题主要考查对分布列性质的应用。 5. 数据信息处理问题是新课标高考必考的题型,特别是文科的同学应注意,要理解中 位数、众数、平均数、方差的含义,会用语言描述分析的结果,能看懂频率分布直方图、茎 叶图包含的信息,以分析问题、解决问题。

例 1. 从某校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高。 据测量得知, 被测男生身 高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [155,160) ; 第二组 [160,165) ;??第八组 [190,195] .右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的 一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.
频率/组距 0.06

0.04

0.016 0.008 0

155 160 165 170 175 180 185 190 195

身高(cm )

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分 别为 x, y ,求满足“ | x ? y |? 5 ”的事件的概率. 【思路分析】 (1)各小组人数=

频率 ? 组距 ? 样本容量 组距

(2)先计算第六组和第八组人数,其次理解从第六组和第八组的所有男生中随机抽取

两名男生,身高为 x,y 满足“ | x ? y |? 5 ”的含义。由于频率分布直方图中的组距是 5,故抽 取的两人必在同一组。 【解题过程】

0.008 ? 5 ? 0.04 , (1)由频率分布直方图知:第一组、第八组的频率 P 1=P 8=
第二组的频率 P 2 ? 0.016 ? 5 ? 0.08 ;第三组、第四组的频率 P 3 ?P 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ; 第五组的频率 P 5 ? 0.06 ? 5 ? 0.3 ∴第六组与第七组的频率和为: 1 ? ( P 1?P 2 ?P 3?P 4 ?P 5 ?P 8 ) ? 0.14 ∴第六组与第七组人数之和为 0.14 ? 800 ? 112 ∴身高 180cm以上(含 180cm)的人数为: 112 ? 0.04 ? 800 ? 144 . (2)设第六组,第七组,第八组的人数分别为 A6 , A7 , A8 则

2 A7 ? A6 ? A8 ? 2 A7 ? A6 ? 32 ∵ A6 ? A7 ? 112 ∴ A6 ? 64, A7 ? 48 64 48 ? 0.08 , P7 ? ? 0.06 ∴ P6 ? 800 800
补充的直方图见图.

频率/组距 0.06

0.04

0.016 0.012 0.008 0

155 160 165 170 175 180 185 190 195

身高(cm )

(3)设 m 表示事件“抽取的两人身高 x,y 满足 | x ? y |? 5 ”。
2 ∵ A6 ? A8 ? 96 ∴事件的总数为 C96

∵两人身高 x,y 满足 | x ? y |? 5 ,∴ 两人或在第六组中抽取或在第八组中抽取
2 2 ∴ 事件 m 包含的基本数为: C64 ? C32
2 2 2512 157 C64 ? C32 ? ∴ 所求的概率 P(m) ? = 。 2 4608 288 C96

【解题后的思考】从新课标高考考题看,统计与概率基本都是结合在一起考查的。通过 统计、 分析数据来考查概率知识是新课标高考的特点。 利用频率分布直方图解决问题要理解 频率分布直方图中的相关信息,如频率、直方图中的横轴、纵轴、各个小组的频率之和是 1 等,并了解画频率分布直方图的步骤。 例 2. 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 , 设集合 P ? {1,2,3}, Q ? {?1,1,2,3,4} ,
2

分别从集合 P,Q 中随机取一个数作为 a,b。 (1)求函数有零点的概率; (2)求函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 在区间 [1,??) 上是增函数的概率。 【思路分析】 (1)列举出从集合 P,Q 中任取一个数组成数对 ( a, b) 的个数,即基本事件的总数,函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 有 零 点 , 即 方 程 ax ? bx ? 1 ? 0 有 实 根 , 也 就 是 满 足
2

? ? b 2 ? 4a ? 0 ,在列举的数对中找出使 ? ? b 2 ? 4a ? 0 成立的 ( a, b) 的个数,利用古典
概型计算公式求解。 (2)函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 在区间 [1,??) 上是增函数,且满足: x ? 定基本事件总数的情况下,找出使 x ?

b ? 1 ,在确 2a

b ? 1 成立的数对个数,利用古典概型计算公式求 2a

解。 【解题过程】从集合 P 中任取一个数有 3 种取法,从集合 Q 中任取一个数有 5 种取法。 即组成的数对(a,b)有: (1,-1) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,-1) (2,1) (2, 2) (2,3) (2,4) (3,-1) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) ,基本事件的总数是 15。 ( 1 ) f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 有 零 点 , 即 方 程 ax ? bx ? 1 ? 0 有 实 根 , 也 就 是 满 足
2

? ? b 2 ? 4a ? 0 ,在 15 个数对(a,b)中能使 ? ? b 2 ? 4a ? 0 成立的数对有: (1,2) (1,
3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) 。共 6 个,故 P ? 1 ?

2 13 ? 。 15 15 b ? 1 ,在 2a

( 2 )函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 在区间 [1,??) 上是增函数,且满足: x ? 15 个数对(a,b)中,不能使 x ?

b ? 1 成立的数对有: (1,3) (1,4) ,故。 2a

【解题后的思考】古典概率的计算与函数、不等式、平面向量知识的有机结合是新课标 高考命题的方向。题目新颖灵活,以古典概率的计算作为考查函数、不等式、平面向量知识 的平台,越来越多地显示在新课标高考试题中。 例 3. 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检) ,若安检不合格,则 必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭, 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5 ,整改后安检合格的概率是 0.8 ,计算(结果精确 到 0.01 ) : (Ⅰ )恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ )平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ )至少关闭一家煤矿的概率 . 【思路分析】 (I)每家煤矿是否整改是相互独立的事件。 (II)必须整改的煤矿数 ? 服从二项分布 B(5,0.5). (III)利用对立事件的概率公式计算。 【解题过程】 (Ⅰ )每家煤矿必须整改的概率是 1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的。

5 ? 0.31。 16 (Ⅱ )由题设知,必须整改的煤矿数 ? 服从二项分布 B(5,0.5).从而 ? 的数学期望是
2 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 P1 ? C5 ? (1 ? 0.5) 2 ? 0.5 3 ?

E ? = 5 ? 0.5 ? 2.5 ,即平均有 2.50 家煤矿必须整改。 (Ⅲ )某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤 矿被关闭的概率是 P2 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.8) ? 0.1 ,从而该煤矿不被关闭的概率是 0.9.由题意知, 每家煤矿是否被关闭是相互独立的,所以至少关闭一家煤矿的概率是 P3 ? 1 ? 0.9 5 ? 0.41 。 【解题后的思考】 对于概率计算问题主要是分清事件的属性, 看它是独立事件还是互斥 事件,若利用直接法求事件概率较困难的时候,可利用对立事件的概率公式计算。 例 4. 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果 如下表所示: 每周销售 量(吨) 频数 2 20 3 50 4 30

(Ⅰ )根据上表统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ ) 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,? 表示该种商品两周销售利润的和 (单位: 千元) 。若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ? 的分布列和数学期望。 【思路分析】 (I)销售量的频率=

(II) ? 的取值情形有: (1)两周中每周都销售 2 吨,此时 ? =8, (2)两周中每周都销售 3 吨,此时 ? =12, (3)两周中每周都销售 4 吨,此时 ? =16, (4)两周中其中一周销售 2 吨、一周销售 3 吨 ,此时 ? =10, (5)两周中其中一周销售 2 吨、一周销售 4 吨,此时 ? =12, (6)两周中其中一周销售 3 吨、一周销售 4 吨,此时 ? =14, 故 ? 的所有可能取值为 8,10,12,14,16。 【解题过程】 (Ⅰ )周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3。 (Ⅱ ) ? 的所有可能取值为 8,10,12,14,16,且 P( ? =8)=0.22=0.04, P( ? =10)=2× 0.2× 0.5=0.2, P( ? =12)=0.52+2× 0.2× 0.3=0.37, P( ? =14)=2× 0.5× 0.3=0.3, P( ? =16)=0.32=0.09。

销售量 100

? 的分布列为 ?
P 8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09

E? =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)

【解题后的思考】本题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识 解决实际问题的能力。本题的解题关键是 ? 的可能取值的确定。注意分类讨论思想的应用。 在解决概率的有关问题时,应注意分类讨论、等价转化等数学思想的应用。

例 5. 某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响。 3

(Ⅰ )假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (Ⅱ )假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ )假设这名射手射击 3 次,每次射击击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次 射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总分数,求 ? 的分布列。 【思路分析】 (I)离散型随机变量 X 服从二项分布 X ~ B ? 5, ? (II)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ;“射手在 5 次射击中,有 3 次 连 续 击 中 目 标 , 另 外 2 次 未 击 中 目 标 ” 有 下 列 各 种 情 形 :

? ?

2? 3?

A1 A2 A3 A4 A5, A1 A2 A3 A4 A5, A1 A2 A3 A4 A5 ,且它们之间互斥。
(III) ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6 . 【解题过程】 (I)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, ? 。在 5 次射击中,恰 有 2 次击中目标的概率。 P( X ? 2) ? C52 ? ? ? ? ?1 ?

? ?

2? 3?

?2? ?3?

2

? ?

2? 40 ? ? 3 ? 243

3

(Ⅱ )设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ;“射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
1 ? 2? 1 ?1? ? 2? 8 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 81 (Ⅲ )解:由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6
= ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? =
3

?2? ?3?

3

?1? ? 3?

2

3

2

3

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27 P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) 2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 = ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9 2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 27
2 2

8 ? 2? 1 1 ?1? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27 8 ?2? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27 所以 ? 的分布列是 ? 0 1 1 2 P 27 9
3

2

2

2

3

6

4 27

8 27

8 27

【解题后的思考】 本题主要考查二项分布及其概率计算公式、 离散型随机变量的分布列、 互斥事件和相互独立事件等基础知识, 考查运用概率知识解决实际问题的能力。 本题的离散 型随机变量服从二项分布,要注意二项分布的特征。对二项分布的考查题型较多,要注意分 析离散型随机变量的特点。

新课标高考中与概率有关的试题主要考查基本概念和基本公式, 集中对等可能性事件的 概率、几何概型、互斥事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复试验 等六个基本概率类型进行考查。估计文科仍然以解答题的形式考查,理科多以选择题、填空 题的形式考查。离散型随机变量的分布列和数学期望、方差是数学高考的一大热点。统计类 试题主要考查抽样方法, 频率分布表和频率分布直方图, 对概率与统计知识的考查以基础知 识为主,掌握这部分内容的基础知识是解题的关键,注意分析好事件的属性、离散型随机变 量的分布规律等才能顺利地解决问题。

一、预习新知
结合二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,思考函数、方程、不等式 之间的联系。

二、预习点拨
1. 结合我们学过的内容,总结一下哪些问题可以利用函数的思想解决? 2. 函数与方程的思想在解决问题的过程中有哪些应用?请举例说明。 3. 在解决不等式问题时,函数思想的应用体现了哪些优越性?

(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数 据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98) , [98, 100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( ). A. 90 B.75 C. 60 D.45

2. 考查正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ( )


1 A. 75

2 B. 75

3 C. 75

4 D. 75

3. 甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将 这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为 ( )


1 1 D. 3 2 1 4. 若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ? ,则 P ? E I F ? 的值等于 ( 4 1 1 1 A. 0 B. C. D. 16 4 2
A. B. C.


1 6

1 4



5. 设 15000 件产品中有 1000 件次品,从中抽取 150 件进行检查,则查得次品数的数学期 望为 ( ) A. 15 B. 10 C. 20 D. 5 k 1-k 6. 设随机变量 ? 的概率分布为 P( ? =k)=p · (1-p) (k=0,1) ,则 E ? 、D ? 的值分 别是 ( ) A. 0 和 1 B. p 和 p2 C. p 和 1-p D. 1-p 和(1-p)p 7. 抛掷两个骰子, 至少有一个 4 点或 5 点出现时, 就说这些试验成功, 则在 10 次试验中, 成功次数 ? 的期望是( A. 10
3


9

B. 55

C. 80
9

D. 50
9

, 2, 3, , 7 的 7 个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球, 8. 从标有数字 1

记下它上面的数字,然后把两数相加得和,则取得的两球上的数字之和大于 11 或能被 4 整 除的概率是( ) A.

16 49

B.

15 49

C.

2 7

D.

13 49

9. 在区间 ? ?2, 2? 内任取两数 a ,b , 使函数 f ? x ? ? x2 ? 2bx ? a2 有两相异零点的概率是 ( A. )

1 1 1 C. D. 4 3 2 2 10. 如果随机变量 ? ~N ( ? 1, ? ) , 且P ( ? 3 ? ? ? ?1) =0.4, 则P (? ? 1 ) 等于 (
B. A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

1 6



二、解答题 11. 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5, 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有 游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ )求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ )记“函数 f(x)=x2-3 ? x+1 在区间[2,+∞ ) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率。 12. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 球 2 次均未命中的概率为

1 与 p ,且乙投 2

1 。 16 (Ⅰ )求乙投球的命中率 p ;

(Ⅱ )求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ )若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率。 13. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面 试 合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合 格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响.求: 2

(Ⅰ )至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ )签约人数 ? 的分布列和数学期望.

一、选择题 1. A 【解析】产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)× 2=0.300,已知样本中产品 净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n ,则

36 ? 0.300 ,所以 n ? 120 ,净重大于 n

或等于 98 克且小于 104 克的产品个数的概率为(0.100+0.150+0.125)× 2=0.75,所以样本中 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120× 0.75=90.故选 A。 2. D 【解析】如题图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意
2 22 2 选两个点连成直线,共有C C ?C6 6 ? 15 ?15 ? 225 种不同取法,其中所得的两条直线相互平 66 ?

行但不重合有 AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED 共 12 对,故所求

p? 概率为 P

12 4 ? ,选 D 225 75
2 2 C4 C2 ? 12 种,甲、乙相遇的分组情况 2!

3. D 【解析】所有可能的比赛分组情况共有 4 ? 恰好有 6 种.选 D .

PP ??P 4. B 【解析】 P?E ? F ? = ?E P? F ? ? ?E ??
5. B

1 1 1 ? = ,选 B。 4 4 16

【解析】因为 15000 件产品中有 1000 件次品,从中抽取 150 件进行检查,则查得

次品数的数学期望为 150× 6. D

【解析】设随机变量 ? 的概率分布为 P( ? =k)=pk· (1-p)1 k(k=0,1) ,则


1000 ? 10 ,选 B。 15000

P( ? =0)=p,P( ? =1)=1-p E ? =0× p +1× (1-p)= 1-p D ? =[0-(1-p)]2× p+[1-(1-p)]2× (1-p)=(1-p)p 7. D 【解析】成功次数 ? 服从二项分布,每次试验成功的概率为 1-

2 2 5 ? = ,故在 3 3 9

10 次试验中,成功次数 ? 的期望为

5 50 × 10= 9 9

8. A 【解析】基本事件总数为 7 ? 7 ? 49 个,而满足条件的基本事件个数为 16 个: (1 ,,,,,,,,,,,,,, 3) (2 2) (31) (1 7) (2 6) (3 5) (4 4) (5,,,,,,,,,,,,,,,,, 3) (6 2) (7 1) (5 7) (6 6) (7 5) (6 7) (7 6) (7 7) . 16 故所求事件的概率为 . 49

9. D

2 2 【解析】根据题意, a , b 应满足 b ? a ,即 b ? a ,以 ? a, b ? 为点,在 aOb 平面

上,结合图形可知这个概率为 10. A 【解析】 由

1 . 2

得正态曲线的对称轴为 x=-1,借助正态曲线性质考察 ① ②

∴令 则由①,②得 2x+2× 0.4=1 由此解得 x=0.1,应选 A 二,解答题 11. 解: (I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为 事件 A1,A2,A3。由题意知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3) =0.6。客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有游览的景点数的可能 取值为 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 1,3. P ( ? =3) =P (A1· A2· A3) +P ( A1 ? A2 ? A3 ) =P (A1) P (A2) P (A3) +P ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) =2× 0.4× 0.5× 0.6=0.24, P( ? =1)=1-0.24=0.76. 所以 ? 的分布列为

E ? =1× 0.76+3× 0.24=1.48. (Ⅱ )解法一 因为 f ( x) ? ( x ?

3 2 9 ?) ?1? ? 2, 2 4 3 2 所以函数 f ( x) ? x ? 3?x ? 1在区间[ ? ,?? ) 上单调递增, 2 3 4 要使 f ( x)在[2,??) 上单调递增,当且仅当 ? ? 2, 即? ? . 2 3 4 从而 P ( A) ? P (? ? ) ? P (? ? 1) ? 0.76 . 3
解法二: ? 的可能取值为 1,3.
2 2

当 ? =1 时,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在区间 [2,??) 上单调递增, 当 ? =3 时,函数 f ( x) ? x ? 9x ? 1在区间 [2,??) 上不单调递增. 所以 P( A) ? P(? ? 1) ? 0.76. 12. 解: (Ⅰ )解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B.

由题意得 ?1 ? P ?B ?? ? ?1 ? p ? ?
2 2

1 16

解得 p ?

3 3 5 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 1 1 1 , 于 是 P( B) ? 或 P( B) ? ? ( 舍 去 ), 故 16 4 4

解法二:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B. 由 题 意 得 P( B) P( B) ?

p ? 1 ? P( B) ?

3 . 4 3 . 4

所以乙投球的命中率为

1 1 ,P A ? . 2 2 3 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 1 ? P A ? A ? 4
(Ⅱ )解法一:由题设和(Ⅰ )知 P ? A? ?

??

?

?

解法二: 由题设和(Ⅰ )知 P ? A? ?

1 1 ,P A ? 2 2
1

??

3 4 1 1 3 1 (Ⅲ )由题设和(Ⅰ )知, P? A? ? , P A ? , P?B ? ? , P B ? 2 2 4 4
故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 C 2 P? A?P A ? P? A?P? A? ?

??

??

??

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中 1 次;甲中 2 次,乙 2 次均不中;甲 2 次均不中,乙中 2 次。概率分别为
1 1 C2 P? A?P A ? C 2 P?B ?P B ?

?? ?

??

1 , 64 9 P A ? A P ?B ? B ? ? 64 P ? A ? A?P B ? B ?

?

3 , 16

?

?

所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为

3 1 9 11 ? ? ? . 16 64 64 32

13. 解: 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P(A)=P(B)=P(C)=

1 . 2

(Ⅰ )至少有 1 人面试合格的概率是

1 7 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 2 8 (Ⅱ ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0 ) ?P (A B C)? P( A BC ) ?
=( ) ?( ) ?( ) ?

P ( A B) C

= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C)

1 3 1 3 1 3 3 . 2 2 2 8 P(? ? 1) ?P (A B C)? P( A B C ) ?

P ( A B) C

= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) =( ) ?( ) ?( ) ?
3 3 3

1 2

1 2

1 2

3 . 8 . .

1 P(? ? 2 ) ? P (A B C )? P( A) P( B) P( ? C) 8 1 P(? ? 3 ) ? P (A B C )? P( A) P( B) P( ? C) 8 所以, ? 的分布列是 ? 0 1 2 3 8 3 8 1 8

3

P

1 8

3 3 1 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8


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