《1.绝对值三角不等式》教学案1

《绝对值三角不等式》教学案

教学目标
1.了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用. 2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.
教学重、难点
重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用. 难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.
教学过程
一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等 式.本节课探讨不等式证明这类问题. 1.请同学们回忆一下绝对值的意义.
?x,如果x ? 0 x ? ??0,如果x ? 0 .
??? x,如果x ? 0
几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值. 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常 还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
(1) a ? a ,当且仅当 a ? 0时等号成立, a ? ?a. 当且仅当 时等号成立.

(2) a ? a2 , (3) a ? b ? a ? b ,

(4) a ? a (b ? 0) bb

那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ?
二、讲解新课:
探究: a , b , a ? b , a ?b 之间有什么关系?

结论: a ? b ≤ a ? b (当且仅当ab≥0时,等号成立.) 定理1 a,b如果 是实数,则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当ab≥0时,等号成立.)

探究1:若把a,b换为向量

? a

,

? b

情形又怎样呢?

a?b a

得到向量形式的不等式
a?b ? a ? b
它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边. 由于定理1与三角形之间的这种联系,我们称其中的不等式为绝对值三角形不等式 探究2:当向量a,b共线时,有怎样的结论? 一般地,我们有
a?b ≤ a ? b
为了更好地理解定理1,我们再从代数推理的角度给出它的证明. 证明:(1)当ab≥0时,
ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2 ?| a | ? | b |
(2)当ab<0时,
ab ? ? | ab |, | a ? b |? (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2 ?| a | ? | b |

综合(1)(2)知定理成立.
根据定理1,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是 a ? b ? b ? a ,所以,a ? b ? a ? b .
即:如果a,b是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b
以上我们讨论了关于两个实数的绝对值不等式,这是最基本、最重要的绝对值不等式. 根据这样思想方法,我们可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式问题.例如,我们有
定理2 如果a、b、c是实数,那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c ,当且仅当 (a ? b)(b ? c) ≥ 0
时,等号成立. 思考:如何利用数轴给出定理2的几何解释?
(设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当
C在A,B之间时,等号成立.) 三、典型例题: 例1 已知? ? 0,| x ? a |? ? ,| y ? b |? ? ,求证 | 2x ? 3y ? 2a ? 3b |? 5?. 例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑
的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每 天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应 该建于何处?
四、课堂小结: 1.定理1 2.绝对值三角不等式的几种形式,以及取等号的条件.


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