18学年高中数学第四章圆与方程章末分层突破课件新人教A版必修2_图文

巩 固 层 · 知 识 整 合

拓 展 层 · 链 接 高 考

章末分层突破
提 升 层 · 能 力 强 化

章 末 综 合 测 评

[ 自我校对] ①(x-a)2+(y-b)2=r2 ②x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) ③|O1O2|>r1+r2 ④|O1O2|=r1+r2 ⑤|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2

________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

求圆的方程
求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系 数法解题.一般地,当已知圆的圆心或半径的几何特征时,设圆的标准方程, 并结合圆的几何性质求解;当已知圆上三个点时,设圆的一般方程;当所求圆 经过直线与圆、圆与圆的交点时,常利用圆系方程来解答. 过两个已知圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点 的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).

求圆心在直线 3x+4y-1=0 上,且经过两圆 x2+y2-x+y-2=0 与 x2+y2=5 的交点的圆的方程.

【精彩点拨】

解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解,也可求出两

交点坐标,再利用待定系数法求解.
【规范解答】 法一:设所求圆为 x2+y2-x+y-2+λ(x2+y2-5)=0, 2+5λ 1 1 化为一般式,得 x +y - x+ y- =0. 1+λ 1+λ 1+λ
2 2

? 1 1 ? ? 故圆心坐标为?2?1+λ?,-2?1+λ?? ?, ? ?

3 代入直线 3x+4y-1=0,得 λ=-2. 再把 λ 代入所设方程,得 x2+y2+2x-2y-11=0, 故所求圆的方程为 x2+y2+2x-2y-11=0.
2 2 ? ?x +y -x+y-2=0, 法二:解方程组? 2 2 ? ?x +y =5,

得两圆的交点为 A(1,-2)和 B(2,-1). 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A,B
? D E? 在圆上,且圆心?- 2 ,- 2 ?在直线 ? ?

3x+4y-1=0 上,

? ?5+D-2E+F=0, ?5+2D-E+F=0, ∴? ? E? ? ? D? ?- ?+4· ?- ?-1=0. 3· ? ? ? 2? ? 2? ?D=2, ? 解得?E=-2, ?F=-11. ? ∴所求圆的方程是 x2+y2+2x-2y-11=0.

[ 再练一题] 1.圆心在直线 5x-3y=8 上,且圆与两坐标轴均相切,求此圆的标准方程. 【解】 设所求圆的标准方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0).因为圆与两坐
标轴均相切,故圆心坐标满足 x0-y0=0 或 x0+y0=0. 又圆心在直线 5x-3y=8 上,所以 5x0-3y0=8.
? ?x0-y0=0, 由? ? ?5x0-3y0=8, ? ?x0+y0=0, 由? ? ?5x0-3y0=8, ? ?x0=4, 得? ? ?y0=4, ? ?x0=1, 得? ? ?y0=-1,

所以圆心坐标为(4,4)或(1,-1),相应的半径为 r=4 或 r=1,故所求圆的 标准方程为(x-4)2+(y-4)2=16 或(x-1)2+(y+1)2=1.

直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直 线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题 过程. 2.解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与 两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的 几何图形的形象直观性来分析问题.

(x-1)2+(y-1)2=4, 已知圆 M: 直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A, B 两点,且|AB|=2 3,求直线 l 的方程. 【精彩点拨】 分斜率存在与不存在两种情况:

(1) 斜率存在 ? 设直线l的方程 ? 利用勾股定理 ? 求k ? 直线方程 (2) 斜率不存在 ? 验证

【规范解答】 (1)当直线 l 存在斜率时,设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2), 即 kx-y+3-2k=0. 示意图如图,作 MC⊥AB 于 C. 1 在 Rt△MBC 中,|BC|=2|AB|= 3,|MB|=2,

故|MC|= |MB|2-|BC|2=1, |k-1+3-2k| 由点到直线的距离公式得 =1, 2 k +1 3 解得 k=4. 故直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. (2)当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=2, 且|AB|=2 3,所以符合题意. 综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.

[ 再练一题] 2.已知圆 C 与圆 x2+y2-2x=0 相外切,并且与直线 x+ 3y=0 相切于点 Q(3,- 3),求圆 C 的方程.

【解】 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心 C(a,b)与 Q(3,- 3)的连线垂直于直线 x+ 3y=0,且斜率为 3. ? ?a-1?2+b2=r+1, ? ?|a+ 3b|=r, 2 由题意得? ?b+ 3 ? = 3, a - 3 ?

?a=4, ? 解得?b=0, ?r=2 ?

?a=0, ? 或?b=-4 3, ?r=6. ?

∴所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36.

轨迹问题
1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型,解答这类问题常用的方法 有:直接法、定义法、消元法、代数法等. 2.求轨迹方程的步骤:(1)建系设点;(2)列出动点满足的轨迹条件;(3)把 轨迹条件坐标化;(4)化简整理;(5)检验.在检验中要排除不符合要求的点,或 者补充上漏掉的部分.

1,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,|O1O2|=4,过 如图 4动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM,PN,(M,N 分别为切点), 使得|PM|= 2|PN|, 试建立适当的坐标系, 并求动点 P 的轨迹方程.

【精彩点拨】

图 41 由△PMO1 与△PNO2 均为直角三角形表示出切线长|PM|与

|PN|,建立坐标系后,设出 P 点坐标即可由等式|PM|= 2|PN|求出 P 点的轨迹方 程.

【规范解答】 如图,以 O1,O2 所在直线为 x 轴,线段|O1O2|的垂直平分线 为 y 轴,建立直角坐标系,则 O1(-2,0),O2(2,0),设动点 P 的坐标为(x,y). 在 Rt△PMO1 中,|PM|2=|PO1|2-1, 在 Rt△PNO2 中,|PN|2=|PO2|2-1. 又因为|PM|= 2|PN|,所以|PM|2=2|PN|2,即 |PO1|2-1=2(|PO2|2-1),即|PO1|2+1=2|PO2|2, 所以(x+2)2+y2+1=2[(x-2)2+y2] , 整理得 x2+y2-12x+3=0,即为所求点 P 的轨迹方程.

[ 再练一题] 3.等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 【解】 设另一端点 C 的坐标为(x,y) .
依题意,得|AC|=|AB|. 由两点间距离公式, 得 ?x-4?2+?y-2?2= ?4-3?2+?2-5?2, 整理得(x-4)2+(y-2)2=10.

这是以点 A(4,2)为圆心,以 10为半径的圆,如图所示,又因为 A、B、C 为 三角形的三个顶点,所以 A、B、C 三点不共线.即点 B、C 不能重合且 B、C 不 能为圆 A 的一直径的两个端点. 因为点 B、C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5). x+3 y+5 又因为点 B、C 不能为一直径的两个端点,所以 2 ≠4.且 2 ≠2,即点 C 不能为(5,-1). 故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)). 综上,它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆,但除去(3,5)和(5, -1)两点.

数形结合思想
1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛,利用数形结合的思想解题, 能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系,从而使问题在解答过程中 更加形象化、直观化,而本章的相关知识整体体现了这种思想,即把几何问题 代数化,同时利用代数(方程)的思想反映几何问题.

y-b 2.(1)形如 u= 的最值问题,可借助于图形分析转化为直线斜率的最值 x-b 问题; (2)形如 t=ax+by 的最值问题, 可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问 题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可借助于图形分析转化为动点到定点 距离的最值问题.

已知圆 C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆 C 上任一点. y -2 (1)求 的最大值与最小值; x -1 (2)求 x-2y 的最大值与最小值.
【精彩点拨】
【规范解答】

y -2 利用式子 与 x-2y 的几何意义求解. x -1 y-2 (1)显然 可以看作是点 P(x,y)与点 Q x-1

y-2 (1,2)连线的斜率.令 =k,如图所示,则其最大、最小值 x-1 分别是过点 Q(1,2)的圆 C 的两条切线的斜率.

对上式整理得 kx-y-k+2=0, |-2k+2-k| ∴ =1, 2 1+k 3± 3 ∴k= 4 . y-2 3+ 3 3- 3 故 的最大值是 4 ,最小值是 4 . x-1 (2)令 u=x-2y,则 u 可视为一组平行线,当直线和圆 C 有公共点时,u 的 范围即可确定,且最值在直线与圆相切时取得. |-2-u| 依题意,得 =1,解得 u=-2± 5, 5 故 x-2y 的最大值是-2+ 5,最小值是-2- 5.

[ 再练一题] 4.若实数 x,y 满足 x2+y2+8x-6y+16=0,求 x+y 的最小值.
【解】 原方程化为 (x+4)2+(y-3)2=9, 设 x+y=b,则 y=-x+b,

可见 x+y 的最小值就是过圆(x+4)2+(y-3)2=9 上的点作斜率为-1 的平行 线中,纵截距 b 的最小值,此时,直线与圆相切, |4-3+b| 由点到直线的距离公式得 =3. 2 解得 b=3 2-1 或 b=-3 2-1, 所以 x+y 的最小值为-3 2-1.

1.圆(x+1)2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为( A.1 C. 2 B.2 D.2 2

)

【解析】 圆(x+1)2+y2=2 的圆心坐标为(-1,0),由 y=x+3 得 x-y+3 |-1-0+3| =0,则圆心到直线的距离 d= 2 2= 2. 1 +?-1? 【答案】 C

2.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a =( ) 4 A.-3 C. 3 3 B.-4 D.2

【解析】 由圆的方程 x2+y2-2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到 |1×a+4-1| 4 直线的距离公式得 d= =1,解之得 a=-3. 2 1+a
【答案】 A

3.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2, 则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( A.内切 C.外切
【解析】

)

B.相交 D.相离 2 2 ? x + y -2ay=0, ? 法一:由? 得两交点为(0,0),(-a,a). ? ?x+y=0

∵圆 M 截直线所得线段长度为 2 2, ∴ a2+?-a?2=2 2.又 a>0,∴a=2. ∴圆 M 的方程为 x2+y2-4y=0,即 x2+(y-2)2=4,圆心 M(0,2),半径 r1 =2.

又圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心 N(1,1),半径 r2=1, ∴|MN|= ?0-1?2+?2-1?2= 2. ∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,∴两圆相交. 法二:∵x2+y2-2ay=0(a>0)?x2+(y-a)2=a2(a>0), ∴M(0,a),r1=a. a 依题意,有 = a2-2,解得 a=2. 2 以下同法一. 【答案】 B

4.已知 a∈R 方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 ________,半径是________.
【解析】 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2=a+2,解得 a=2 或-1.
2 2 2 2

5 当 a=2 时,方程为 4x +4y +4x+8y+10=0,即 x +y +x+2y+2=0,配方得
? 1?2 5 ?x+ ? +(y+1)2=- <0,不表示圆; 2? 4 ?

当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25, 则圆心坐标为(-2,-4),半径是 5.

【答案】 (-2,-4) 5

内部文件,请勿外传

5.设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB| =2 3,则圆 C 的面积为________.
【解析】 圆 C:x2+y2-2ay-2=0 化为标准方程是 C:x2+(y-a)2=a2+ 2, 所以圆心 C(0,a),半径 r= a2+2.|AB|=2 3,点 C 到直线 y=x+2a 即 x
? ? ?2 3? |0-a+2a| ? ?2 ?|0-a+2a|?2 2 -y+2a=0 的距离 d= ,由勾股定理得? + = a +2, ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?

解得 a2=2, 所以 r=2,所以圆 C 的面积为 π×22=4π.

【答案】 4π

内部文件,请勿外传

上一页

返回首页

下一页

内部文件,请勿外传

上一页

返回首页

下一页


相关文档

2017_2018学年高中数学第四章圆与方程章末分层突破课件新人教A版必修2
【师说】高中数学 第四章 圆与方程章末专题整合课件 新人教A版必修2
18学年高中数学第一章空间几何体章末分层突破课件新人教A版必修2
高中数学第四章圆与方程章末知识方法专题小结课件新人教A版必修2
【成才之路】高中数学 第四章 圆的方程章末总结课件 新人教A版必修2
(浙江专用)18版高中数学第四章圆与方程章末复习课课件新人教A版必修2
18学年高中数学第三章直线与方程章末分层突破课件新人教A版必修2
18版高中数学第一章三角函数章末分层突破课件新人教A版必修4
18版高中数学第三章三角恒等变换章末分层突破课件新人教A版必修4
2018版高中数学第四章圆与方程章末复习课课件新人教A版必修2
学霸百科
电脑版 | 学霸百科