高中数学第一章统计1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差教案北师大版必修3资料

4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差

4.2 标准差

整体设计

教学分析

在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等,

并能解决简单的实际问题.在这个基础上,高中阶段还将进一步学习标准差,并在学习中不

断地体会它们各自的特点,达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字

特征.

三维目标

1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特

征来表达数据的信息,培养学生解决问题的能力.

2.通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差,提高学生的运算

能力.

重点难点

教学重点:平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用.

教学难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.

课时安排

1 课时

教学过程

导入新课

思路 1.如果中国女排与俄罗斯女排队员的身高、年龄如下表:

中国女排

俄罗斯女排

号码

身高/米

年龄/岁 号码 身高/米 年龄/岁

2

1.83

25

2

1.90

26

3

1.83

24

4

1.84

33

4

1.86

24

5

1.94

27

6

1.85

24

7

1.88

25

7

1.82

25

8

1.92

29

8

1.96

23

9

1.90

29

9

1.82

29

10

1.80

24

10

1.82

29

11

2.04

24

12

1.78

24

12

1.80

19

15

1.81

26

13

1.83

28

16

1.81

24

14

1.85

26

18

1.87

22

16

1.90

32

那么怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大?我们分别求出两队球

员的平均身高,谁的平均身高数值大,谁的身材就更高大,教师点出课题:数据的数字特征.

思路 2.小明开设了一个生产玩具的小工厂,管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组

成.工作人员由五个领工和十个工人组成.工厂经营得很顺利,需要增加一个新工人,小亮

需要一份工作,应聘而来与小明交谈.小明说:“我们这里报酬不错,平均薪金是每周 300

元.你在学徒期每周 75 元,不过很快就可以加工资了.”小亮工作几天后找到小明说:“你

欺骗了我,我已经找其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周 100 元,平均工资怎么

可能是一周 300 元呢?”小明说:“小亮啊,不要激动,平均工资是 300 元,你看,这是一

张工资表.”工资表如下:

人员

小明

小明弟弟

亲戚

领工

工人

周工资

2 400

1 000

250

200

100

人数

1

1

6

5

10

1

合计

2 400

1 000

1 500

1 000

1 000

这到底是怎么了?教师点出课题:数据的数字特征. 推进新课

新知探究

提出问题

1.什么叫平均数?有什么意义? 2.什么叫中位数?有什么意义? 3.什么叫众数?有什么意义?

4.什么叫极差?有什么意义? 5.什么叫标准差?有什么意义?

6.什么叫方差?有什么意义? 讨论结果: 1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x =x1+x2+n …+xn.平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水

平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质. 2.一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一

组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.

3.一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一 个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.

4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情 况.
5.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,通常用公式

s=

1 n

x1- x

2+ x2- x

2+…+ xn- x

2]来计算.

可以用计算器或计算机计算标准差.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映

了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差大,数据的离散程度大;标准差小,数据 的离散程度小.标准差的取值范围是[0,+∞).
样本数据 x1,x2,…,xn 的标准差的计算步骤:

(1)计算样本数据的平均数,用 x 来表示;

(2)计算每个样本数据与样本数据平均数的差:xi- x (i=1,2,…,n);

(3)计算 xi- x (i=1,2,…,n)的平方;

(4)计算这 n 个 xi- x (i=1,2,…,n)的平方的平均数,即方差;

(5)计算方差的算术平方根,即为样本标准差. 6.方差等于标准差的平方,即 s2=1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2],与标准

差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小.方差的取值范围是[0,+∞).

应用示例

思路 1 例 1 某公司员工的月工资情况如表所示:

月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500

员工/人

1

2

4

6

12

8

20

5

2

(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数. (2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况?税务官呢?工会领导 呢? 解:(1)经过简单计算可以得出:该公司员工的月工资平均数为 1 373 元,中位数为 800 元,众数为 700 元.

2

(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数 1 373 元作为月工资的代表;

而税务官希望取中位数 800 元,以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利;工

会领导则主张用众数 700 元作为代表,因为每月拿 700 元的员工数最多.

点评:平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的

统计量;中位数将观测数据分成相同数目的两部分,其中一部分都比这个数小而另一部分都

比这个数大,对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心;当变量是分类变量

时,众数往往经常被使用.

变式训练

1.下表为某班 40 名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表:

分数

0

1

2

3

4

5

人数

4

7

10

x

8

y

请参照这个表解答下列问题:

(1)用含 x,y 的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分 f;

(2)若该班这次竞赛的平均分为 2.5 分,求 x,y 的值.

解:(1)f=3x+450y+59;

(2)依题意,有?????3xx++y5=y= 114,1, 解得?????xy==74,.

2.某风景区对 5 个旅游景点的门票价格进行了调整,据统计,调价前后各景点的游客人

数基本不变.有关数据如下表所示:

景点

A

B

C

D

E

原价/元

10

10

15

20

25

现价/元

5

5

15

25

30

平均日人数/千人

1

1

2

3

2

(1)该风景区调整前后这 5 个景点门票的平均收费不变,平均日总收入持平,问风景区

是怎样计算的?

(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前,实际上增加了约 9.4%,

问游客是怎样计算的?

(3)你认为风景区和游客哪一方的说法较能反映整体实际?

解:(1)风景区是这样计算的:

调整前的平均价格:

10+10+15+20+25

5

=16(元),

调整后的平均价格: 5+5+155+25+30=16(元),

因为调整前后的平均价格不变,平均日人数不变, 所以平均日总收入不变. (2)游客是这样计算的: 原平均日总收入: 10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160(千元), 现平均日总收入: 5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175(千元), 所以平均日总收入增加了1751-60160≈9.4%. (3)游客的说法较能反映整体实际. 例 2 甲、乙两台机床同时生产直径是 40 mm 的零件.为了检验产品质量,从两台机床 生产的产品中各抽取 10 件进行测量,结果如下表所示. 甲机床直 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39. 40.2 39.

3

径/mm

8

8

乙机床直 径/mm

40.0

40.0

39.9

40.0

39.9

40.1

40.1

40. 1

40.0

39. 9

分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的 10 件产品直径的标准差,并判断哪台机床生产

过程更稳定.

解:从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这 10 件产品直径的平均值 x 甲= x 乙=

40(mm).

我们分别计算它们直径的标准差:

s 甲=

- 2+

- 2+…+

- 2]/10=0.161(mm),

s 乙=

- 2+ - 2+…+

- 2]/10=0.077(mm).

由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产

的产品直径的标准差为 0.161 mm,比乙机床的标准差 0.077 mm 大,说明乙机床生产的零件

要更标准些,即乙机床的生产过程更稳定一些.

点评:对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中

的应用,而不是记忆和使用的熟练程度.

变式训练

设有容量为 n 的样本 x1,x2,…,xn,其标准差为 sx,另有容量为 n 的样本 y1,y2,…, yn,其标准差为 sy,且 yk=3xk+5(k=1,2,…,n),则下列关系正确的是( ).

A.sy=3sx+5 答案:B

B.sy=3sx

C.sy= 3sx D.sy= 3sx+5

思路 2

例 1 某企业员工的月工资如下(单位:元):

800

800

800

800

800 1 000

1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

1 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 200

1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200

1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200

1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500

1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500

2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 500

2 500 2 500

(1)计算该公司员工的月工资的平均数、中位数和众数;

(2)假如你去这家企业应聘职位,你会如何看待员工的收入情况?

分析:(1)根据平均数、中位数和众数的定义可以分别求得;(2)主要根据月工资的平均

数来看待员工的收入情况,当然也要考虑中位数和众数.

解:(1)公司员工的月工资的平均数为

5×800+10×1 000+20×1 200+7×1 500+5×2 000+3×2 500

50

=1 320(元),

中位数为 1 200 元,众数为 1 200 元.

(2)由于该公司员工的月工资的中位数和众数与平均数比较接近,

所以主要考虑月工资的平均数 1 320 元作为月工资的代表,

这样以该公司月平均工资 1 320 元与同类企业的工资待遇作比较即可.

点评:大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处,把最高工资作为

一个单位工资的评价,这是一种错误的评价方式.

变式训练

1.已知 10 个数据:1 203,1 201,1 194,1 200,1 204,1 201,1 199,1 204,1 195,1 199,

它们的平均数是( ).

A.1 400

B.1 300

C.1 200

D.1 100

答案:C

4

2.某公司有 15 名员工,他们所在的部门及相应每人所创的年利润(万元)如下表所示:

部门

AB C D E F G

人数

11 2

4

2

23

每人所创的年利润 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 2

根据表中提供的信息填空:

(1)该公司每人所创的年利润的平均数是__________万元.

(2)该公司每人所创的年利润的中位数是__________万元.

(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创的年利润的一般水

平?

答案:(1)3.36 (2)2.1 (3)中位数.

例 2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽 5 门功课,得到的观测值如下:



60

80

70

90

70



80

60

70

80

75

(1)甲、乙的平均成绩谁较好?

(2)谁的各门功课发展较平衡?

分析:(1)利用公式计算平均数;(2)计算方差来分析.

解:(1)∵

x

1 甲=5(60+80+70+90+70)=74,

x

1 乙=5(80+60+70+80+75)=73,

∴甲的平均成绩较好.

(2)s2甲=15(142+62+42+162+42)=104,s2乙=15(72+132+32+72+22)=56, ∵s2甲>s2乙,∴乙的各门功课发展较平衡. 点评:平均数和方差是样本的两个重要数字特征,方差越大,表明数据越分散,相反地,

方差越小,数据越集中、稳定;平均数越大表明数据的平均水平越高,平均数越小表明数据

的平均水平越低.

变式训练

已知一个样本中含有 5 个数据 3,5,7,4,6,则样本方差为( ).

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:∵ x =3+5+57+4+6=5,∴方差 s2=15[(5-3)2+(5-5)2+(5-7)2+(5-4)2 +(5-6)2]=2.

答案:B

知能训练

1.下列说法正确的是( ).

A.甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样

B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好

C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙

班好

D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙

班好

答案:D

2.在一次数学测验中,某小组 14 名学生分别与全班的平均分 85 分的差是:2,3,-3,

-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是__________分.( ).

A.97.2

B.87.29

C.92.32

D.82.86

答案:B

3.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表:

甲的成绩

环数

7

8

9

10

频数

5

5

5

5

5

环数 频数

乙的成绩

7

8

9

10

6

4

4

6

丙的成绩

环数

7

8

9

10

频数

4

6

6

4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( ).

A.s3>s1>s2

B.s2>s1>s3

C.s1>s2>s3

D.s2>s3>s1

解析:方法一:计算得 x 甲= x 乙= x 丙=8.5,s21=2205,s22=2208,s23=2201,则 s2>s1>s3;

方法二:可以计算三名运动员成绩的平均数都等于 8.5,观察对比三个表格,相比之下

丙的环数集中在 8.5 周围,比甲和乙要稳定,乙的环数比甲更分散,则有 s1>s3,s2>s1. 答案:B

4.某人射击 5 次,分别为 8,7,6,5,9 环,则这个人射击命中的平均环数为__________.

答案:7

5.华山鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况,对某中学八年级(1)班的 20 名男生所穿

鞋号的统计如下表:

鞋号 23.5

24

24.5

25

25.5

26

人数

3

4

4

7

1

1

那么这 20 名男生鞋号数据的平均数是__________,中位数是__________,众数是

__________,在平均数、中位数和众数中,鞋厂最感兴趣的是__________.

答案:24.55 24.5 25 众数

6.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那

么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________.

答案:-3

拓展提升

从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm):

甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问:(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?

解:(1)∵

x

1

1

甲=10(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=10×300=30(cm),

x

1

1

乙=10(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=10×310=31(cm),

∴ x 甲< x 乙,即乙种玉米的苗长得高.
(2)∵s2甲=104.2(cm2),s2乙=128.8(cm2),∴s2甲<s2乙,即甲种玉米的苗长得齐. 课堂小结
本节课学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用. 作业
习题 1-4 1,2. 设计感想
本节教学设计依据课程标准,在义务教育阶段的基础上,进一步掌握平均数、中位数、 众数、极差、方差的计算、意义和作用,重在应用.
备课资料 备选习题 1.现有同一型号的汽车 50 辆.为了了解这种汽车每耗油 1 L 所行路程的情况,要从中 抽出 5 辆汽车在同一条件下进行耗油 1 L 所行路程的试验,得到如下数据(单位:km): 11,15,9,12,13.则样本方差是( ).

6

A.20 B.12 C.4 D.2

解析:可以计算得平均数

x

11+15+9+12+13



5

=12,则方差

s2=15[(11-12)2+(15

-12)2+(9-12)2+(12-12)2+(13-12)2]=4.

答案:C

2.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的

平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:由平均数为 10,得(x+y+10+11+9)×15=10,整理得 x+y=20;

又由于方差为 2,则15×[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2]=2,

整理得 x2+y2-20(x+y)+192=0,所以 x2+y2=208,则 2xy=192.故|x-y|=

x-y 2= x2+y2-2xy=4.

答案:D

3.某农科所为寻找高产稳定的油菜品种,选了三个不同的油菜品种进行试验,每一品

种分别在五块试验田中试种.每块试验田的面积为 0.7 公顷,产量情况如下表:

品种

各试验田产量/kg

1

2

3

4

5

1 21.5 20.4 22.0 21.2 19.9

2 21.3 23.6 18.9 21.4 19.8

3 17.8 23.3 21.4 19.1 20.8

试评定哪一品种既高产又稳定.

解 : ∵三 个品 种的 产量的 平均 数分 别为 x 1 = 21.0(kg) , x 2 = 21.0(kg), x 3 =

20.48(kg), 方差为 s21=0.572,s22=2.572,s23=3.597 6,

∴ x 1= x 2> x 3,s21<s22<s23.故第一个品种既高产又稳定.

4.甲、乙两组在一次科技知识竞赛后,成绩统计如下表:

分数

50

60

70

80

90

100

甲组人数

2

5

10

13

14

6

乙组人数

4

4

16

2

12

12

已经算得两个组的平均分数都是 80 分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断

这两个组本次竞赛中的成绩哪组更好一些,并说明理由.

分析:该题不仅运用了统计的有关基础知识,还考查应用数学的意识,结论具有开放性,

从众数、方差、中位数、高分数段以及满分人数全方位进行综合分析、比较,并作出判断.

解:分析 1:从众数看,甲组成绩的众数是 90 分,乙组成绩的众数是 70 分,甲组成绩

好一些.

分析 2:从方差看,s2甲=172,s2乙=256,s2甲<s2乙,甲组成绩较乙组成绩稳定一些.

分析 3:甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分,其中,甲组成绩在 80 分以上(含

80 分)的有 33 人,乙组成绩在 80 分以上(含 80 分)的有 26 人,甲组的成绩总体好一些.

分析 4:从成绩统计表看,甲组成绩高于 80 分的人数为 20 人,乙组成绩高于 80 分的

人数为 24 人,所以乙组成绩在高分段的人数多,同时乙组得满分的人数比甲组多 6 人,乙

组成绩好一些.

点评:答案不唯一,只要符合实际数据就行.

7


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