山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件:第2章 第10节 导数的概念及其运算_图文

抓 住 4 个 基 础 知 识 点

挖 掘 1 大 技 法

第十节

导数的概念及其运算
课 堂 限 时 检 测

掌 握 2 个 核 心 考 向

[考情展望]

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线

方程.2.考查导数的有关计算.

一、导数的概念 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: (1)定义:称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率

f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim lim Δx→0 Δ x→0 Δx 为函数 y=f(x)在 x= Δx _______________________ =_________
Δy x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x= x0,即 f′(x0)= Δ lim x→0 Δx = f?x0+Δx?-f?x0? lim Δ x→0 Δx ________________________.

(2)几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是

切线斜率 .(瞬时速 (x0,f(x0)) 曲线 y=f(x)在点________________ 处的_____________
度 就 是 位 移 函 数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) 相 应 地 , 切 线 方 程 为

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) . _____________________
2.函数 f(x)的导函数:

f?x+Δx?-f?x? lim Δ x→0 Δx 称函数 f′(x)=____________________ 为 f(x)的导函数.

二、基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

导函数

n· xn-1 f′(x)=_______ cos x f′(x)=_______ -sin x f′(x)=_______ axln a (a>0) f′(x)=_______

ex f′(x)=_____
1 xln a f′(x)=________
1 x f′(x)=_____

三、导数的运算法则

f′(x)±g′(x); ; 1.[f(x)± g(x)]′=__________________
f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ; 2.[f(x)· g(x)]′=________________________
f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? 2 ? ? [ g ? x ? ] 3.? ′=_________________________(g(x)≠0). ? ?g?x??

导数的运算法则特例及推广 (1)[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x),其中 a,b 为常数.
? 1 ? f′?x? ? ? (2)? ′=- 2(f(x)≠0). ? f ? x ? [f?x?] ? ?

(3)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有 限 个 可 导 函 数 的 情 形 , 即 [u(x)± v(x)± ?± ω(x)] = u′(x)± v′(x)± ?± ω′(x).

四、复合函数的导数 设 u=v(x)在点 x 处可导,y=f(u)在点 u 处可导,则复合

f′(u)·v′(x) 函数 f[v(x)]在点 x 处可导,且 f′(x)=_______________ ,即 y′x y′u·u′x . =____________

“分解—求导—回代”法求复合函数的导数 (1)分解 适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系 y =f(u),u=g(x);

(2)求导 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要 特别注意中间变量对自变量求导,即先求 y′u,再求 u′x; (3)回代 计算 y′u· u′x,并把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函 数.

1.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-gt2(g=10 m/s2),则当t =2 s时,汽车的加速度是( )

A.14 m/s2
C.10 m/s2 【解析】 gt,则v′(t)=12t-g,

B.4 m/s2
D.-4 m/s2 由题意知,汽车的速度函数为v(t)=s′(t)=6t2-

故当t=2 s时,汽车的加速度是v′(2)=12×2-10=14 m/s2. 【答案】 A

2.函数y=xcos x-sin x的导数为( A.xsin x B.-xsin x

)

C.xcos x
【解析】 【答案】

D.-xcos x
f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. B

3.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于( A.e2 ln 2 C. 2 B.e D.ln 2

)

【解析】

f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,

由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e.

【答案】

B

4.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标 是( )

A.-9
C.9 【解析】

B.-3
D.15 ∵y=x3+11,∴y′=3x2,∴y′|x=1=3,

∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x- 1).令x=0,得y=9. 【答案】 C

5.(2013·江西高考)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的 切线经过坐标原点,则α=________. 【解析】 因为y′=α·xα-1,所以在点(1,2)处的切线斜率k

=α,则切线方程为y-2=α(x-1).又切线过原点,故0-2=
α(0-1),解得α=2. 【答案】 2

6.(2013·广东高考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切 线平行于x轴,则k=________.
1 【解析】 函数 y=kx+ln x 的导函数为 y′=k+x,由导数 y′|x=1=0,得 k+1=0,则 k=-1.

【答案】

-1

考向一 [036] 求下列函数的导数: (1)y=exsin x;
? 2 1 1? (2)y=x?x +x+x3?; ? ?

导数的计算

x x (3)y=x-sin cos ; 2 2 ln?2x+3? (4)y= 2 . x +1

【思路点拨】

(1)利用积的导数运算法则求解,(2)(3)先

化简再求导,(4)利用商的导数运算法则和复合函数求导法则求
解.
【尝试解答】 excos x. 1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x 1 1 (3)∵y=x- sin x,∴y′=1- cos x. 2 2 (1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′=exsin x+

?ln?2x+3??′?x2+1?-ln?2x+3??x2+1?′ (4)y′= ?x2+1?2 ?2x+3?′ 2 · ?x +1?-2xln?2x+3? 2x+3 = ?x2+1?2 2?x2+1?-2x?2x+3?ln?2x+3? = . ?2x+3??x2+1?2

规律方法 1 1.本例在解答过程易出现商的求导中, 符号判定 错误. 2.求函数的导数的方法 ?1?连乘积的形式:先展开化为多项式的形式,再求导. ?2?根式形式:先化为分数指数幂,再求导. ?3?复杂公式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差, 再求导. ?4?复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导. ?5?不能直接求导的:适当恒等变形,转化为能求导的形式再 求导.

对点训练 (1)y=(1+

求下列函数的导数:
? x) ? ?1+ ?

1? ? ; x? ?

(2)y=3xex-ln x+e; (3)y= 3-x+e2x.

【解】

(1)∵y=(1+

? x)? ?1+ ?

1? 1 1 ? =2+x- +x , 2 2 x? ?

1 3 1 1 ∴y′=- x- + x- . 2 2 2 2 1 1 x x x x (2)y′=(3 )′e +3 (e )′- =3 e ln 3+3 e - x x
x x x x

1 =3 e ln(3e)-x.
x x

1 1 (3)y′= (3-x)- (3-x)′+e2x(2x)′ 2 2 1 1 =- (3-x)- +2e2x. 2 2

考向二 [037]

导数几何意义的应用

b 设函数 f(x)=ax-x,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切 线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明: 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.

【思路点拨】

1 ? ?f?2?=2 (1) 求f′?x? → ? ?f′?2?=7 ? 4

→ 求 a, b

→ 求f?x? (2) 设切点 → 切线方程 → 表示三角形面积 → 证定值

【尝试解答】

7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

1 当 x=2 时,y= . 2 b 1 ? ?2a-2=2 b 又 f′(x)=a+ 2,于是? x ?a+b=7 ? 4 4 3 故 f(x)=x-x.
? ?a=1 ,解得? ? ?b=3



3 (2)设 P(x0,y0)为曲线 y=f(x)上任一点,由 y′=1+ 2知曲线 x
? ? 3? 3? 在点 P(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x2?(x-x0), 即 y-?x0-x ? ? ? 0? 0? ? 3? =?1+x2?(x-x0). ? 0?

6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为 x0
? 6? ?0,- ?.令 x0? ?

y=x 得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐

标为(2x0,2x0).

所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角 1? 6 ? 形的面积为 ?-x ?· |2x0|=6. 2? 0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成 的三角形的面积为定值,此定值为 6.

规律方法 2 1.切点?2,f?2??既在切线上,又在曲线 f?x?上, 从而得到关于 a,b 的方程组. 2.在求切线方程时,应先判断已知点 Q?a,b?是否为切点,若 已知点 Q?a,b?不是切点,则应求出切点的坐标,其求法如下: ?1?设出切点的坐标 P?x0,y0?; ?y0=f?x0?, ? f?x0?-b ?2?解方程组? f′?x0?= , ? x0-a ? ?3?利用点斜式写出切线方程. 求出切点坐标;

对点训练

1 3 1 2 已知 f(x)=ln x,g(x)= x + x +mx+n,直线 l 3 2

与函数 f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0). (1)求直线 l 的方程; (2)求函数 g(x)的解析式.

【解】

(1)∵l 是 f(x)=ln x 在点(1,0)处的切线,

∴其斜率 k=f′(1)=1, 因此直线 l 的方程为 y=x-1. (2)又 l 与 g(x)相切于点(1,0), ∴g′(1)=1,且 g(1)=0. 1 1 m=-1, ? ? ? + +m+n=0, ? 因此?3 2 ∴? 1 n= , ? ? 6 ?1+1+m=1, ? 1 3 1 2 1 所以函数 g(x)= x + x -x+ . 3 2 6

易错易误之四 ———

求切线方程——“在”、“过”两重天 ———— [1 个防错练] ———

[1 个示范例]

? 8? 1 3 已知曲线 y= x 上一点 P?2,3?, 求过点 P 的切线方 3 ? ?

程.

【解】

(1)当 P 为切点时,由

?1 3? y′=?3x ?′=x2, ? ?

得 y′|x=2=4,即过点 P 的切线方程的斜率为 4. 8 则所求的切线方程是 y- =4(x-2), 3 即 12x-3y-16=0. (2)当 P 点不是切点时,设切点为 Q(x0,y0), 此处误认为点 P 即为切点,而直接利用导数的几何意义求切 线方程,出现此种错误的原因是审题不清,不明确导致的几何意 义.

1 3 2 则切线方程为 y- x0=x0(x-x0), 3 因为切线过点
? 8? P?2,3?,把 ? ?

P 点的坐标代入以上切线方程,

求得 x0=-1 或 x0=2(即点 P,舍去), 所以切点为
? 1? Q?-1,-3?, ? ?

即所求切线方程为 3x-3y+2=0; 综上所述,过点 P 的切线方程为 12x-3y-16=0 或 3x-3y +2=0.

【防范措施】 ?1?“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点 的横坐标得到斜率. ?2?“过”曲线上一点的切线问题,此时该点未必是切点,故 应先设切点,求切点坐标.

(2014· 兰州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y= 15 ax + x-9 都相切,则 a 等于( 4
2

)

25 A.-1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64

21 B.-1 或 4 7 D.- 或 7 4

【解析】

设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0),所以

2 2 3 切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0,又(1,0)在切线

3 15 2 上,则 x0=0 或 x0= ,当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax + x-9 2 4 25 3 27 27 15 2 相切可得 a=- , 当 x0= 时, 由 y= x- 与 y=ax + x-9 64 2 4 4 4 相切可得 a=-1,所以选 A.

【答案】

A

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