江西省八所重点中学2018年高三下学期联考数学(理科)试卷(含答案)

江西省八所重点中学 2018 年高三下学期联考数学(理科)试卷 2018.4
满分 150 分考试时间 120 分钟

? ? 6.将函数 y ? sin( x ? ) 的图像上所有的点向右平移 个单位长度,再把图像上各点的横 6 4
坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得图像的解析式为( A. y ? sin(2 x ?
5? ) 12 x ? B. y ? sin( ? ) 2 12



命题人:吉安一中 罗爱军王雪松抚州一中李振 第 I 卷(选择题)

吴袁宏

x 5? x 5? C. y ? sin( ? ) D. y ? sin( ? ) 2 12 2 24

7.宋元 时期数 学名 著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺, 松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a、b 分别为 8 、2,则输出的 n=( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 ) . 8.已知在锐角 ? ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 为( )
3 D. 6 2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x2 ? 0} ,则 A B =( A. {x | ?1 ? x ? 0}B. {x | ?1 ? x ? 0 或 x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 2.设复数 Z 满足 z ? A.3B.
10 C. 9



D. {x | 0 ? x ? 1}

cos B cosC ? ? b c

sin A 3 sin C

. 则 b 的值

2 ? i ? 2i ,则 z ? ( i
D.10



A. 3 B. 2 3 C.

9.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画的是某几何体的三视图,则该几 何体最长棱的长度为() D. cos a ? cos b A.4 B. 3 2 C. 2 2 D. 2 3

3.已知实数 a , b 满足: 1 ? 2a ? 2b ,则() A.
1 1 ? B. log2 a ? log2 b a b

C.

a? b

4.已知命题 p : 对任意 x ? 0 ,总有 sin x ? x ;命题 q : 直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 ,
l2 : x ? (a ?1) y ?1 ? 0 ,若 l1//l2 ,则 a ? 2 或 a ? ?1 ;则下列命题中是真命题的是()

A. p ? q B. (?p) ? (?q) C. (?p) ? q D. p ? q
0 ? x ?1 2 2 5.在区域 ? ?0 ? y ? 1 内任意取一点 P( x, y) ,则 x ? y ? 1 的概率是( ?

10.已知点 A(0, ?1) 是抛物线 x2 ? 2 py 的准线上一点, F ) 为抛物线的焦点, P 为抛物线上的点,且 PF ? m PA ,若双曲线 C 中心在原点, F 是 它的一个焦点,且过 P 点,当 m 取最小值时,双曲线 C 的离心率为( A. 2 B. 3 C. 2 ? 1 D. 3 ? 1 )

A.

2? ? 4 4

B.

4 ?? 4

C.

? ?2
4

D.

? 4

P 是 B1C 的中点,动点 M 在其表面上运动, 11.如图:在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,点

且与平面 A1DC1 的距离保持不变,运行轨迹为 S ,当 M 从 P 点出发,绕其轨迹运行一周 的过程中, 运动的路程 x 与 l ? MA1 ? MC1 ? MD 之间满足函数关系 l ? f ? x ? , 则此函数图 像大致是( )

14.已知 m ? ? 2? (cos x ? x3 ? sin x)dx ,则 (
? 2

?

1 2 x

? x)

9m 2

的展开式中,常数项为.

15.如图所示,正四面体 ABCD 中,E 是棱 AD 的中点,P 是棱 AC 上一动点,BP ? PE 的 最小值为 14 ,则该正四面体的外接球的体积是.

16.对于任一实数序列 A ? ?a1 , a2 , a3 ,??,定义 ? A 为序列 ?a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ?a3 ,??,它的 第 n 项是 an?1 ? an ,假定序列 ?(?A) 的所有项都是 1 ,且 a18 ? a2017 ? 0 ,则 a2018 ? .

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 5× 12+10=70 分) A. B. 17.(本小题满分 12 分)
2 2 数列 {an } 为正项数列, a1 ? 4 ,且对 ?n ? N ,都有 an ; ?1 ? 2an ? an an ?1
*

C.

D. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? ,关于 x
1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前项和,求证: Tn ? 1 log 2 an ? log 2 an?1

12.已知偶函数 f ? x ? 满足 f ? 4 ? x ? ? f ? 4 ? x ? ,且当 x ? ? 0, 4? 时, f ? x ? ?

ln ? 2 x ? x

的不等式 f 2 ? x ? ? af ? x ? ? 0 在 ??200,200? 上有且只有 300 个整数解, 则实数 a 的取值范围 是( )

1 1 1 3ln2 1 3ln2 ) D. ( ? ln6, ? ] A. (?ln2, ? ln6) B. ( ?ln2, ? ln6] C. (? ln6, ? 3 3 3 4 3 4

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知平面向量 a, b 的夹角为 150 ,且 a ? 3, b ? 2 .则 2a ? b . 18.(本小题满分 12 分)

由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档 青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命 的感悟,给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨 论青春中国的社会问题,受到青年观众的喜爱,为了了解观众对节目的喜爱程度,电视 台随机调查了 A、B 两个地区的 100 名观众,得到如下的 2 ? 2 列联表: 已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名, 该观众是 B 地区当中“非常满意”的观众 的概率为 0.35 ,且 4 y ? 3z . (1)现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查,则应抽取“满意”的
A、B 地区的人数各是多少.

19.(本小题满分 12 分)
F ?B C ,?ABC 是 如图,在四棱锥 A ? BCFE 中,四边形 EFCB 为梯形,EF / / BC ,且 2 E

边长为 2 的正三角形, 顶点 F 在 AC 上的射影为点 G , 且 FG ? 3 , CF ?
5 21 , BF ? . 2 2

非常满意

满意

合计

(1)证明:平面 FGB ? 平面 ABC ; (2)求二面角
E ? AB ? F 的余弦
E F

值.

合计

(2)完成上述表格,并根据表格判断是否有 90% 的把握认为观众的满意程度与所在地区 有关系. (3)若以抽样调查的频率为概率,从 A 地区随机抽取 3 人,设抽到的观众“非常满意”的 人数为 X ,求 X 的分布列和期望. 20.(本小题满分 12 分)
B

A

G

C

x2 y 2 ? ? 1 ,曲线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) ,且 C1 与 C2 的焦点之间的距离为 2 , 6 3 且 C1 与 C2 在第一象限的交点为 A .
已知曲线 C1 :
附:参考公式:

(1)求曲线 C2 的方程和点 A 的坐标; (2)若过点 A 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 C1 的另一个交点为 B , 过点 A 与 l 垂直的直线与 C2 的另一个交点为 C . 设 m2 ? 试求 m 取值范围.

4 AB 5 AC



已知函数 f ? x ? ? 2x ? 4 ? x ?1 , 21. (本小题满分 12 分)
1 1 已知 f ( x) ? (e ? ) ln x ? ? x e x
(1)解不等式 f ( x) ? 9 ; (2)若不等式 f ( x) ? 2 x ? a 的解集为 A , B ? x x ? 3 x ? 0
2

?

? ,且满足 B ? A ,求实数 a 的取

值范围

(1)求函数 f ( x) 的极值; (2)设 g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ? ex ,对于任意 x1 ??0, ??? , x2 ??1, ??? ,总有 g ( x1 ) ? 立,求实数 a 的取值范围.
e f ( x2 ) 成 2

请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 写清题号. 选修 4-4:坐标系与参数方程 22. (本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? 2cos ? ( ? 为参数);直线 l : ? ? ? (? ?[0, ? ), ? ? R) ? y ? 1 ? 2sin ?

与曲线 C 相交于 M 、N 两点.以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐 标系.
(1)求曲线 C 的极坐标方程;

(2)记线段 MN 的中点为 P ,若 | OP |? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

江西省八所重点中学 2018 届高三联考数学(理科)答案
1—12:AABDBC 13. 2 14. ? AADCDD 16. 1000

21 15. 4 3? 16

选修 4-5:不等式选讲 23.(本小题满分 10 分)
2 2 17.解:(1)由 an 得 an?1 ? 2an ,------3 分 ?1 ? an an?1 ? 2an ? 0

? an ? 2n?1 ;------6 分

1 1 6 2 1 2 1 2 P( X ? 0) ? ( )3 ? ( )( ) ? ? , P( X ? 1) ? C3 3 27 3 3 27 9 2 1 12 4 2 8 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? ? , P( X ? 3) ? ( )3 ? 3 3 27 9 3 27
X

(2) bn ?

1 1 1 ,------9 分 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 ? 1 ------12 分 n ?1

Tn ? 1 ?

0

1

2

3

x ? 0.35 , 18.解: (1)由题意, 得 所以 x ? 35 , 所以 y ? z ? 25 , 因为 4 y ? 3z , 所以 y ? 15 , 100
z ? 20 ,------2 分

P

1 27

2 9

4 9

8 27

EX ? 2 ------12 分

A 地抽取 15 ?

20 20 =3 ,B 地抽取 20 ? =4 ,------4 分 100 100

19.解:(Ⅰ)证明:由顶点 F 在 AC 上投影为点 G ,可知, FG ? AC . 取 AC 的中点为 O ,连结 OB , GB .

非常满 意

满 意

合 计 在 Rt ?FGC 中, FG ? 3 , CF ?

21 3 ,所以 CG ? .------1 分 2 2
13 1 ,所以 BG ? .------2 分 2 2

在 Rt ?GBO 中, OB ? 3 , OG ?

所以, BG2 ? GF 2 ? FB2 ,即 FG ? BG .------3 分 合 计 (2) 所以没有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系. ------8 分 所以 (3) 从 A 地区随机抽取 1 人,抽到的观众“非常满意”的概率为 P ? 随机抽取 3 人, X 的可能取值为 0,1, 2,3
2 3



FG ? AC , FG ? GB, AC ? BG ? G

∴ FG ? 面 ABC . 又 FG ? 面 FGB ,所以面 FGB ? 面 ABC .------5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OB ? FG , OB ? AC ,且 AC ? FG ? G

OB ? 面 AFC ,且 FG ? 面 ABC .以 OB 所在直线为 x 轴, OC 所在直线为 y 轴,

过点 O 作平面 ABC 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

z
E F

? x2 ? 4 y ? 由 ? x2 y 2 ,解得 A(2,1) ,------4 分 ?1 ? ? 3 ?6
(2)当直线 AB 的斜率不存在时,

A

G O

B

C

x

y

由题意可知, A(2,1) ,? B(2, ?1) , C (?2,1) 则 m2 ?

4 AB 5 AC

?

4 ------5 分 5,

1 3 A(0, ?1, 0), B( 3, 0, 0), F (0, ? , 3) , E ( , ?1, 3) , BA ? ? 3, ?1, 0 , 2 2

?

?

当直线 AB 的斜率存在时, ∴设直线 AB 的方程为 y﹣1=k(x﹣2),即 y=kx﹣2k+1,

BE ? (?

3 1 , ?1, 3), BF ? (? 3, ? , 3) ------8 分 2 2

设平面 ABE , ABF 的法向量分别为 m, n ,则
m ? BA ? 0 1 ,则 m ? (1, ? 3, ? ) ,------9 分 { 2 m ? BM ? 0 n ? BA ? 0 1 ,则 n ? (1, ? 3, ) , ------10 分 { 2 n ? BF ? 0



,得(2k2+1)x+4k(1﹣2k)x+2(1﹣2k)2﹣6=0



,∵xA=2,∴

,------6 分

又直线 AC 的方程为

,由

,得

cos? ?

m ? n 15 ? , m n 17
15 .------12 分 17

,则

,∵xA=2,∴

,------7 分

所以二面角 E ? AB ? F 的余弦值为

,------8 分

p 20.解:(1)曲线 C1 的焦点坐标为 (? 3,0) ,曲线 C2 的焦点坐标为 (0, ) ,由 C1 与 C2 的焦 2 p 点之间的距离为 2,得 3 ? ( ) 2 ? 2 ,解得 p ? 2 ,∴ C2 的方程为 x2 ? 4 y .------2 分 2

同理

,------9 分



------10 分





②当 a ? 2 时,设 h( x) ? e x ?

1 1 ( x ? 1)2 e x ? 1 ? a , h?( x) ? e x ? ? ? 0, x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

综上所述:

------12 分

所以 g ?( x ) 在 ?0, ??? 上单调递增,且 g ?(0) ? 2 ? a ? 0 ,则存在 x0 ? (0, ??) ,使得 g ?( x) ? 0 所以 g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增,又 g ( x0 ) ? g (0) ? 1,

21.解: (1) f ?( x) ?

e?

1 1 ( x ? e)( x ? ) e ? 1 ?1 ? ? e x x2 x2
1 e
0

所以 g ( x) ? 1 不恒成立,不合题意. ----11 分

x
f ?( x ) f ( x)

1 (??, ) e

1 ( , e) e

e
0

(e, ??)

综合①②可知,所求实数 a 的取值范围是 (??, 2] .----12 分

?
单调递减

?
单调递增

?
单调递减 解法 2: 用分离参数法, 再用若必达法则求函数在 x ? 0 处的极限值, 从而确定 a 的范围, 给满分

极小值

极大值

1 2 2 所以 f ( x) 的极小值为: f ( ) ? ? ,极大值为: f (e) ? ;------4 分 e e e

解法 3:用 g '(0) ? 0 来控制 a ? 2 ,再证明当 a ? 2 时恒成立,给满分.

(2) 由(1)可知当 x ??1, ??? 时,函数 f ( x) 的最大值为 对于任意 x1 ??0, ??? , x2 ??1, ??? ,总有 g ( x1 ) ?

2 e

e f ( x2 ) 成立,等价于 g ( x) ? 1 恒成立, 2

选修 4-4:坐标系与参数方程

------6 分
g ?( x) ? e x ? 1 ?a x ?1
1 1 即 g ( x) ? a ? x ?1? ?a ? 2?a ? 0, x ?1 x ?1

? x ? ?1 ? 2cos ? 22.解:(1)因为曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数), ? y ? 1 ? 2sin ?
2 2 2 故所求方程为 ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2 …….2 分

① a ? 2 时, 因为 e x ? x ? 1 , 所以 g ?( x) ? e x ?

在 ?0, ??? 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 1 恒成立,符合题意.----9 分

? x ? ? cos ? 2 因为 ? , ? ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ,故曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? ? sin ?

{

a ? ?3x ? 5在x ? ? 0,3? 恒成立

a ? x ? 3在x ? ? 0,3? 恒成立

?{

a?0 a?5

? a ? 5 …..10 分

? ? 2 ? 2 2 ? cos(? ? ) ? 2
4

…….5 分(两种形式均可)

2 2 (2)联立 ? ? ? 和 ? ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ? 0 ,得 ? ? 2? (cos ? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ,

? 设 M ( ?1, ? ) 、 N ( ?2 ,? ) ,则 ?1 ? ? 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 2 2 sin(? ? ) ,……7 分 4
由 | OP |?|

?1 ? ? 2
2

| ,得 | OP |? 2 | sin(? ? ) |? 2 , 4

?

当? ?

3? 时, | OP | 取最大值 2 ,故实数 ? 的取值范围为 [ 2, ??) ……10 分 4

选修 4-5:不等式选讲 23.解:(1) f ? x ? ? 9 可化为 2x ? 4 ? x ?1 ? 9
x?2 3x ? 3 ? 9 x ? ?1 ?1 ? x ? 2 ,或 { …….3 分 ?3x ? 3 ? 9 5? x ? 9

{

,或 {

2 ? x ? 4 ,或 ?1 ? x ? 2 ,或 ?2 ? x ? ?1 ;

不等式的解集为 ? ?2, 4? ;…… 5 分 (2)易知 B ? ? 0,3? ;所以 B ? A ,所以 2x ? 4 ? x ?1 ? 2x ? a 在 x ? ? 0,3? 恒成立;

? 2x ? 4 ? x ? a ?1 在 x ? ? 0,3? 恒成立; ? ? x ? a ? 1 ? 2 x ? 4 ? x ? a ? 1 在 x ? ? 0,3? 恒成
立;……7 分


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