高中数学13函数的基本性质教案新人教版必修1(数学教案)

1.3 函数的基本性质 1.1.1 单调性与最大(小)值 (1)如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x) 的单 调区间,及在每一单调区间上, y ? f ( x) 是增函数还是减函数。 解:函数 y ? f ( x) 的单调区间有 ?? 5,?2?, ?? 2,1?, ? 1,3?, ?3,5? , 其中 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,2? , y y 0 5 x 5x ?1,3? 上是减函数,在区间 ?? 2,1?, ?3,5?上是增函数。 注意:1 单调区间的书写 2 各单调区间之间的关系 -5 5 (2)增函数与减函数的定义:一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 f ( x) 在区间 D 上是 增函数; 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数。 根据函数的单调性的定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤: ①取值:在给定区间上任取两个值 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 ; ②作差变形:作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形; ③定号:判断上述差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号,若不能确定,则可分区间讨论; ④结论:根据差的符号,得出单调性的结论。 【例 45】求证:函数 f ( x ) ? ? 1 ? 1 在区间 (??,0) 上是单调增函数。 x 提示:按照上面所给步骤的格式进行证明。 1 【例 46】求证:函数 f ( x) ? x 3 ? x 在 R 上是增函数。 【例 47】 (1)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,3] 上是减函数,求实数 a 的取 值范围; (2) 已知 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 的单调递减区间是 (??,3] , 求实数 a 的取值范 围。 【例 48】讨论函数 f ( x) ? ax ? 1 1 ( a ? ) 在 (?2,??) 上的单调性。 2 x?2 (3)复合函数的单调性: 设 y ? f ( x) ,u ? g ( x) , x ? [a, b] ,u ? [m, n] 都是单调函数,那么 y ? f [ g ( x)] 在区 2 间 [ a, b] 上也是单调函数。并且: ①若 y ? f ( x) 是 [ m, n] 上增函数,则 y ? f [g (x )] 与定义在 [ a, b] 上的函数 u ? g ( x) 单调性相同。 ②若 y ? f ( x) 是[ m, n] 上减函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在[ a, b] 上的函数 u ? g ( x) 单调性相反。 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当 内外层函 数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” ) 【例 49】已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,试讨论函数 f (5 ? x 2 ) 的单调性。 (4)函数最大(小)值的定义: 一般的,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ;②存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值。 下图为函数 y ? f ( x), x ? [?4,7] 的图像,指出它的最大值、最小值及单调区间。 y 3 2 -1.5 1 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 【例 50】求下列函数的最小值: 1. y ? x ? 2 x 2 2 3 4 5 6 7 x 2. y ? 1 , x ? [1,3] x 3. y ? 2x ? 1 ? x 【 例 51】 函数 y ? x ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m ] 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围。 2 3 ? 2x ? 3 x ? 0 ? 【例 52】函数 y ? ? x ? 3 0 ? x ? 1 的最大值是多少? ? ? x ?5 x ?1 ? 【例 53】 求 f ( x) ? 1 的最大值为。 1 ? x(1 ? x) 1.1.2 奇偶性 2 3 4 引:对于 f(x)=x、f(x)=x 、f(x)=x 、f(x)=x ,分别比较 f(x)与 f(-x)。 (1)偶函数:一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数。 奇函数:一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数。 (3)奇偶性:如果函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数,那么就说明函数 f ( x ) 具有奇偶性。 (4) 正确理解函数奇偶性的定义。 定义是判断或讨论函数奇偶性的依据, 由定义知, 若x是 定义域中的一个数值,那么- x 也必然在定义域中,因此,函数 y ? f ( x) 是奇函数或偶函数 的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所示的区 间关于原点对称。换言之,所给函数 4 的定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性。 无奇偶性的函数是非奇非偶函数;若一个函数同时满足奇函数 与偶函数的性质,则既 是奇函数,又是偶函数。

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