西区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

西区第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知集合 M={0,1,2},则下列关系式正确的是( A.{0}∈M B.{0} ? M C.0∈M D.0 ? M + 取得最小值时,实数 a 的值是( ) 2. 设 a,b∈R 且 a+b=3,b>0,则当 A. B. C. 或 D.3 ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

3. “ a ? b ? 3 ”是“圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 查,属于中等难度. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识,有一定的综合性,突出化归能力的考 4. 已知 f(x)为偶函数,且 f(x+2)=﹣f(x),当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2x;若 n∈N*,an=f(n),则 a2017 等于( ) D. ) A.2017 B.﹣8 C.

5. 执行如图所示的程序,若输入的 x ? 3 ,则输出的所有 x 的值的和为( A.243 B.363 C.729 D.1092

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【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算,意在考查识图能力、简单的计算能力. 6. 定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x),x∈[﹣2, 2]的最大值等于( A.﹣1 B.1 C.6 ) D.12 )

1 1 7. 设 f(x)=(e-x-ex)( x - ),则不等式 f(x)<f(1+x)的解集为( 2 +1 2 1 A.(0,+∞) B.(-∞,- ) 2 1 1 C.(- ,+∞) D.(- ,0) 2 2 8. 已知 ? , ? ?[?? , ? ] ,则“ | ? |?| ? | ”是“ | ? | ? | ? |? cos ? ? cos ? ”的( )

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A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】 本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识, 意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 9. 在等差数列 {an } 中, a1 = 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为 {an } 的前 n 项和.若向量 m = (a1, a3 ) , n = (a13 , - a3 ) , 且 m?n 0 ,则 A. 4

2 S n +16 的最小值为( an + 3
B. 3

) C. 2 3 - 2 D.

9 2

【命题意图】本题考查等差数列的性质,等差数列的前 n 项和,向量的数量积,基本不等式等基础知识,意在 考查学生的学生运算能力,观察分析,解决问题的能力. 10.已知 a ? (?2,1) , b ? (k , ?3) , c ? (1, 2) c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 | b |? ( A. 3 5 B. 3 2 C. 2 5 D. 10 )

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力. 11.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知在 Sn 中有 S17<0,S18>0,那么 Sn 中最小的是( A.S10 B.S9 C.S8 D.S7 )

12.设函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 , g ? x ? ? ln ax2 ? 3x ? 1 ,若对任意 x1 ? [0 ,? ?) ,都存在 x2 ? R ,使得
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则实数的最大值为(

?

?

) C.

A.

9 4

B.

9 2

D.4

二、填空题
13.已知过球面上 A, B, C

三点的截面和球心的距离是球半径的一半,且

AB ? BC ? CA ? 2 ,则

球表面积是_________.
14.已知变量 x,y,满足 ,则 z=log4(2x+y+4)的最大值为 .

15.在直角梯形 ABCD, AB ? AD, DC/ / AB, AD ? DC ? 1, AB ? 2, E, F 分别为 AB, AC 的中点, 点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 上变动(如图所示).若 AP ? ? ED ? ? AF ,其中 ? , ? ? R , 则 2? ? ? 的取值范围是___________.

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16.抛物线 y2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为



17.在等差数列 {an } 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范 围为__________.
2 18. M, N 是该抛物线上两点, |MF|+|NF|=6, M, N, F 三点不共线, 已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点, 则△ MNF

的重心到准线距离为



三、解答题
19.已知椭圆 C :

? x2 y 2 2? 1, ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆 C 过点 P ? ? 2 ? ? ,直线 PF1 a b ? 2 ?

交 y 轴于 Q ,且 PF2 ? 2QO, O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆 C 上的顶点,过点 M 分别作出直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点,设这两条直线的斜率 分别为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 2 ,证明:直线 AB 过定点.

20.设集合 A={x|0<x﹣m<3},B={x|x≤0 或 x≥3},分别求满足下列条件的实数 m 的取值范围. (1)A∩B=? ; (2)A∪B=B.

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21.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 (1)求该椭圆的标准方程; (2)设点 ,若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

,且过点 D(2,0).

22.已知椭圆 线被椭圆 G 截得的线段长为 (I)求椭圆 G 的方程; .

的左焦点为 F,离心率为

,过点 M(0,1)且与 x 轴平行的直

(II)设动点 P 在椭圆 G 上(P 不是顶点),若直线 FP 的斜率大于 的取值范围.

,求直线 OP(O 是坐标原点)的斜率

23.(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , m ? (sin B,5sin A ? 5sin C) ,

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n ? (5sin B ? 6sin C,sin C ? sin A) 垂直. (1)求 sin A 的值;
(2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

24.已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠B= 所示的几何体 (Ⅰ)求几何体的表面积

,DC=2AB=2BC=2

,以直线 AD 为旋转轴旋转一周的都如图

(Ⅱ)判断在圆 A 上是否存在点 M,使二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 45°,且∠CAM 为锐角若存在,请求出 CM 的弦长,若不存在,请说明理由.

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西区第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:对于 A、B,是两个集合的关系,不能用元素与集合的关系表示,所以不正确; 对于 C,0 是集合中的一个元素,表述正确. 对于 D,是元素与集合的关系,错用集合的关系,所以不正确. 故选 C 【点评】本题考查运算与集合的关系,集合与集合的关系,考查基本知识的应用 2. 【答案】C 【解析】解:∵a+b=3,b>0, ∴b=3﹣a>0,∴a<3,且 a≠0. ①当 0<a<3 时, f′(a)= 当 减. ∴当 a= 时, ②当 a<0 时, f′(a)= 当 递减. ∴当 a=﹣ 时, 综上可得:当 a= 故选:C. 【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难 题. 3. 【答案】 A + 取得最小值. + 取得最小值. ﹣ + + 取得最小值. =﹣( =﹣ )=﹣( + , 时,f′(a)<0,此时函数 f(a)单调 )=f(a), + + = = = + =f(a), , 时,f′(a)<0,此时函数 f(a)单调递

时,f′(a)>0,此时函数 f(a)单调递增;当

时,f′(a)>0,此时函数 f(a)单调递增;当

或 时,

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4. 【答案】D 【解析】解:∵f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x), 即 f(x+4)=f(x), 即函数的周期是 4. ∴a2017=f(2017)=f(504×4+1)=f(1), ∵f(x)为偶函数,当﹣2≤x≤0 时,f(x)=2x, ∴f(1)=f(﹣1)= , ∴a2017=f(1)= , 故选:D. 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键. 5. 【答案】D 【解析】当 x ? 3 时, y 是整数;当 x ? 3 时, y 是整数;依次类推可知当 x ? 3 (n ? N*) 时, y 是整数,则
2

n

由 x ? 3 ? 1000 ,得 n ? 7 ,所以输出的所有 x 的值为 3,9,27,81,243,729,其和为 1092,故选 D.
n

6. 【答案】C 【解析】解:由题意知 当﹣2≤x≤1 时,f(x)=x﹣2,当 1<x≤2 时,f(x)=x ﹣2,
3 3 又∵f(x)=x﹣2,f(x)=x ﹣2 在定义域上都为增函数,∴f(x)的最大值为 f(2)=2 ﹣2=6. 3

故选 C. 7. 【答案】 【解析】选 C.f(x)的定义域为 x∈R,

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1 1 由 f(x)=(e-x-ex)( x - )得 2 +1 2 1 1 f(-x)=(ex-e-x)( x - ) - 2 +1 2 -1 1 =(ex-e-x)( x + ) 2 +1 2 1 1 =(e-x-ex)( x - )=f(x), 2 +1 2 ∴f(x)在 R 上为偶函数, ∴不等式 f(x)<f(1+x)等价于|x|<|1+x|, 1 即 x2<1+2x+x2,∴x>- , 2 1 即不等式 f(x)<f(1+x)的解集为{x|x>- },故选 C. 2 8. 【答案】A. 【解析】 | ? | ? | ? |? cos ? ? cos ? ?| ? | ? cos ? ?| ? | ? cos ? ,设 f ( x) ?| x | ? cos x , x ? [?? , ? ] , 显然 f ( x) 是偶函数,且在 [0, ? ] 上单调递增,故 f ( x) 在 [?? , 0] 上单调递减,∴ f (? ) ? f ( ? ) ?| ? |?| ? | , 故是充分必要条件,故选 A. 9. 【答案】A 【 解 析 】

10.【答案】A 【 解 析 】

11.【答案】C

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【解析】解:∵S16<0,S17>0, ∴ ∴a8<0,a9>0, ∴公差 d>0. ∴Sn 中最小的是 S8. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 12.【答案】A111.Com] 【解析】 试题分析:设 g ? x ? ? ln ax2 ? 3x ? 1 的值域为 A ,因为函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 在 [0 ,? ?) 上的值域为 (?? ,0] ,
1] 中的每一个数,又 h ? 0 ? ? 1,于是,实数需要满 所以 (?? ,0] ? A ,因此 h ? x ? ? ax ? 3x ? 1 至少要取遍 (0 ,
2

=8(a8+a9)<0,

=17a9>0,

?

?

?a ? 0 9 足a ? 0或? ,解得 a ? . 4 ? ? ? 9 ? 4a ? 0

考点:函数的性质. 【方法点晴】本题主要考查函数的性质用,涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想,考查逻辑 推理能力、化归能力和计算能力,综合程度高,属于较难题型。首先求出 A ,再利用转化思想将命题条件转
1] 中的每一个数,再利用数形结合思想建立 化为 (?? ,0] ? A ,进而转化为 h ? x ? ? ax2 ? 3x ? 1 至少要取遍 (0 ,

?a ? 0 9 不等式组: a ? 0 或 ? ,从而解得 a ? . 4 ? ? ? 9 ? 4a ? 0

二、填空题
13.【答案】 【解析】111]

64? 9

考点:球的体积和表面积. 【方法点晴】 本题主要考查了球的表面积和体积的问题, 其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截

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面,球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质,求出球的半径是解答的关键. 14.【答案】 【解析】解:作 易知可行域为一个三角形, 验证知在点 A(1,2)时, z1=2x+y+4 取得最大值 8, ∴z=log4(2x+y+4)最大是 , 故答案为: . 的可行域如图:

【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 15.【答案】 ??1,1? 【解析】

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考 点:向量运算. 【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量 积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到 化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直 问题转化为向量的数量积来解决. 16.【答案】 ( 1,±2 ) .

2 【解析】解:设点 P 坐标为( a ,a)

依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2 a2+2= ,求得 a=±2 )

∴点 P 的坐标为( 1,±2 故答案为:( 1,±2 ).

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题. 17.【答案】 ? 1 ? d ? ? 【解析】 试题分析:当且仅当 n ? 8 时,等差数列 {an } 的前项和 S n 取得最大值,则 a8 ? 0, a9 ? 0 ,即 7 ? 7 d ? 0 ,

7 8

7 ? 8d ? 0 ,解得: ? 1 ? d ? ?
考点:数列与不等式综合. 18.【答案】 .

7 7 .故本题正确答案为 ? 1 ? d ? ? . 8 8

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2 【解析】解:∵F 是抛物线 y =4x 的焦点,

∴F(1,0),准线方程 x=﹣1, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6, 解得 x1+x2=4, ∴△MNF 的重心的横坐标为 , ∴△MNF 的重心到准线距离为 . 故答案为: . 【点评】 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题, 利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距 离.

三、解答题
19.【答案】(1) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1;(2)证明见解析. 2

试 题解析: (1) PF2 ? 2QO ,∴ PF2 ? F 1F 2 ,∴ c ? 1 ,

1 1 2 ? ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 ? b2 ? 1 , a 2 b2 2 2 ∴ b ? 1, a ? 2 ,

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x2 ? y 2 ? 1; 2 (2)设 AB 方程为 y ? kx ? b 代入椭圆方程


∴ k ? b ? 1 代入 y ? kx ? b 得: y ? kx ? k ? 1 所以, 直线必过 ? ?1, ?1? .1 考点:直线与圆锥曲线位置关系.

?2kb ?1 2? 2 2 , x A xB ? ? ? k ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , x A ? xB ? 1 ?2 ? ? k2 2 y ?1 y ?1 y ? 1 yB ? 1 ,∴ kMA ? kMB ? A kMA ? A , kMB ? B ? ? xA xB xA xB

b2 ? 1 , 1 ? k2 2 yA xB ? xA yB ? ? xA ? xB ?

xA xB

? 2,

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想,将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方 面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化 为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关 系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦 的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解. 20.【答案】 【解析】解:∵A={x|0<x﹣m<3},∴A={x|m<x<m+3}, (1)当 A∩B=?时;如图:

则 解得 m=0,



(2)当 A∪B=B 时,则 A?B, 由上图可得,m≥3 或 m+3≤0, 解得 m≥3 或 m≤﹣3. 21.【答案】 【解析】解:(1)由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程是 ∵椭圆经过点 D(2,0),左焦点为 ∴a=2, ,可得 b= =1 . ,

因此,椭圆的标准方程为

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(2)设点 P 的坐标是(x0,y0),线段 PA 的中点为 M(x,y),

由根据中点坐标公式,可得

,整理得



∵点 P(x0,y0)在椭圆上, ∴可得 ,化简整理得 . ,

由此可得线段 PA 中点 M 的轨迹方程是

【点评】本题给出椭圆满足的条件,求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程,着重考查了椭圆的标准方程、 简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点,属于中档题. 22.【答案】 【解析】解:(I)∵椭圆 的左焦点为 F,离心率为 . ,

过点 M(0,1)且与 x 轴平行的直线被椭圆 G 截得的线段长为 ∴点 在椭圆 G 上,又离心率为 ,



,解得

∴椭圆 G 的方程为

. .∴点 F 的坐标为(﹣1,0).

(II)由(I)可知,椭圆 G 的方程为

设点 P 的坐标为(x0,y0)(x0≠﹣1,x0≠0),直线 FP 的斜率为 k, 则直线 FP 的方程为 y=k(x+1), 由方程组 消去 y0,并整理得 .

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又由已知,得

,解得

或﹣1<x0<0.

设直线 OP 的斜率为 m,则直线 OP 的方程为 y=mx. 由方程组 消去 y0,并整理得 .

由﹣1<x0<0,得 m > , ∵x0<0,y0>0,∴m<0,∴m∈(﹣∞,﹣ 由﹣ <x0<﹣1,得 ∵x0<0,y0>0,得 m<0,∴﹣ , <m<﹣ . )∪(﹣ ,﹣ ). ),

2

∴直线 OP(O 是坐标原点)的斜率的取值范围是(﹣∞,﹣

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 椭圆与直线的位置关系的合理运用. 23.【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1)由向量垂直知两向量的数量积为 0,利用数量积的坐标运算公式可得关于 sin A,sin B,sin C 的 等式,从而可借助正弦定理化为边的关系,最后再余弦定理求得 cos A ,由同角关系得 sin A ;(2)由于已知 边及角 A , 因此在 (1) 中等式 b ? c ? a ?
2 2 2

4 ;(2)4. 5

6bc 中由基本不等式可求得 bc ? 10 , 从而由公式 5

S?

1 bc sin A 2

可得面积的最大值. 试题解析:(1)∵ m ? (sin B,5sin A ? 5sin C) , n ? (5sin B ? 6sin C,sin C ? sin A) 垂直, ∴ m ? n ? 5sin B ? 6sin B sin C ? 5sin C ? 5sin A ? 0 ,
2 2 2

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考点:向量的数量积,正弦定理,余弦定理,基本不等式.111] 24.【答案】 【解析】解:(1)根据题意,得; 该旋转体的下半部分是一个圆锥, 上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体, 其表面积为 S= ×4π×2 或 S= ×4π×2 ×2=8 π, ﹣2π× )+ ×2π× =8 π;

+ ×(4π×2

(2)作 ME⊥AC,EF⊥BC,连结 FM,易证 FM⊥BC, ∴∠MFE 为二面角 M﹣BC﹣D 的平面角, 设∠CAM=θ,∴ EM=2sinθ,EF= ∵tan∠MFE=1,∴ ∴CM=2 . , ,∴tan = ,∴ ,

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【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是综合性题 目.

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