高一培优讲义2集合运算


高一培优讲义 2 集合运算
容斥原理;用 A 表示集合 A 的元素个数,则 A ? B ? A ? B ? A ? B ,

6. 若数集{

a , 1} ? {1 , 2 , a} ? {1 , 2 , 4 , a 2 },则 a 的值是_____.

A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? A?C ? B ?C ? A? B ?C
1.己知集合 A ? {x || x ? 1 |? 2} , B ? {x |
x?2 ? 1} , 2 x ? 3x ? 2

7.设非空集合 A ? { ,2,3,4,5,6,7} ,且当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,问: 1 这样的 A 共有多少个?

C ? {x | 2 x 2 ? mx ? 1 ? 0} (1)求 A ? B, A ? B ; (2) 若 C ? A ? B ,求 m 的取值范围.

8. 若 A ? {n ? N | 1 ? n ? 2m ? 1 , m ? N } ,且 a ? A 时,必有 2m ? a ? A , 求证:这样的子集共有 2

m

2. A ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {x x ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x ? mx ? 2 ? 0} ,
2 2 2

? 1个.

若 A ? B ? A, A ? C ? C ,求 a, m. .

9.设集合 A ? {x | 1 ?

x ? 100 , x ? N } 且对任意的 x, y ? A ,必有 2 x ? y ,则子

3. 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集, (1)若 A ? B ? I , 求有序集合对(A,B)的个数; (2)求 I 的非空真子集的个数.

集 A 所含元素个数的最大值为___________________.

10.已知集合 S 4. 求集合 M ? {x ? R | x ? ax ? a ? 3 ? 0} 的子集的个数.
2

? { n ? N | 1 ? n ? 1997 }. A ? { a1 , a2 , ?, ak } 是 S 的子

集,且具有下述性质: A 中任意两个不同元素的和不能被 117 整除。 “ ”试确定 k 的 最大值并证明你的结论. 5. 已知集合 A ? {2,3,4,5,6,7} ,对 X 和。求全体 S (X ) 的总和 S .

? A ,定义 S (X ) 为 X 中所有元素之
11. 设 M 且当 ? {n | 1 ? n ? 1995 , n ? N } , A ? M , x ? A 时, x ? A 。 15

求 | A | 的最大值.
1

12. 对{1,2, ?, n} 及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和” :对每一个 子集按照递减的次序重新排列, 然后从最大的数开始交替的减或加后继的数 (例如, 。对 {1, 2, 4, 6, 9} 的“交替和”是 9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ; {5} 的“交替和”是 5)

17.运动会上,甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌,其中 1 人得金牌、1 人得银牌、 1 人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌” ,结果王老师只猜 对了一人,那么甲、乙、丙分别获得_____、______、______牌.

n ? 7 ,求所有这些“交替和”的总和.
18.某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审,四人的口供如下,甲:作案的 是丙;乙:丁是作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是我.如果 四人口供中只有一人是假的,那么说假话的是_______;作案的是______.

13. 已知集合 A ? {n | 1 ? 且B?C

n ? 10 , n ? N }, B ? {1,2,3,4,5} ,若 C 是 A 的子集,

? ? ,则子集 C 有多少个?
19.已知集合 A= (x,y) ax + y = 1 ,B= (x,y) x + ay = 1 , C={(x,y)│x2 + y 2 = 1},问: (1)当 a 为何值时,(A ∪ B) ∩ C 为含有两个元素的集合? (2)当 a 为何值时,(A ∪ B) ∩ C 为含有三个元素的集合?

14.M=[m, m+ ],N=[n- , n],M 与 N 都是集合 I=[0 ,1]的子集.如果把 b-a 称为集合
3 2

2

1

[a,b]的“长度”,那么集合 M∩N 的长度最小值是________.

15. 已 知 集 合 A= x 2a ≤ x ≤ a2 + 1 ,B= x x 2 ? 3 a + 1 x + 2(3a + 1) ≤ 0 (a ∈ R). 若 A ? B, 则 a 的取值范围是____________.

答案:1. 1 A ∩ B = [0,1 ∪ 2,3 , A ∪ B = (?1,4](2)- 4 ≤ m ≤ 1;2. a ? 2 或 a ? 3 ;
m ? 3或? 2 2 ? m ? 2 2

31

;3.(1) 3

10

(2)1022;4. 当 a ? ?2 或 a ? 6 时,有 1 个子集;当

有 当 有 a ? ?2 或 a ? 6 时, 2 个子集; ? 2 ? a ? 6 时, 4 个子集;5.8640;6.0 或 4;7.15;8. 16.设集合 A= a 1 ≤ a ≤ 2000, a = 4k + 1, k ∈ Z , 集合 B= b 1 ≤ b ≤ 3000, b = 3k ? 1, k ∈ Z ,则 A ∩ B =__________.
2

略;9.67;10.995;11.1870;12.448;13.992;14.6;15.{1,3}∪ ?1 ; 16.167;17.铜、金、银;18.丁说假话,作案者是丙、丁;19.(1)0 或 1(2)a=-1± 2

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