最新文档-高中数学精品课件:23《对数函数》课件必修一-PPT精品文档_图文

2.3 对数函数

对数
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 (Napier,1550年~1617年)。他发明了供天 文计算作参考的对数,并于1614年在爱丁堡 出版了《奇妙的对数定律说明书》,公布了 他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何 的创始,微积分的建立并称为17世纪数学的 三大成就。

引例1:
2.2.2 节的例4中, 我们研究了一种放射性物质 不断变化为其他物质的过程.设该物质最初的 质量是1,则经过 x 年,该物质剩留量y ? 0.84 x . 由此, 知道了经过的时间x ,就能求出该物质的 剩留量 y ; 反过来, 知道了该物质的剩留量y ,怎 样求出所经过的时间x呢 ? ? 特别地,经过多少年这种物质的剩留量为 原来的一半?
抽象出: 0.8x4 ?0.5? x??

引例2:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取4次,还有多长? (2)取多少次,还有0.125尺?

引例3:假设2019年我国国民生产总值为a亿元, 如果每年平均增长8%,那么经过多少年国 民生产总值是2019年的2倍?

抽象出:1

(1).??

1

4
? ?

?

?

(2)??.1??x ?0.12? 5 x??

?2?

?2?

2 .?1 ? 8 % ?x?2? x? ?

这是已知底数和幂的值,求指数! 应怎样来求呢?

4.在式2子 4=16中,
有三个数2(底),4(指数)和16(幂)
(1)由2,4得到数16的运算是 乘方运算。
记为24: =16
(2)由16,4得到数2的运算是 开方运算。
记为4 1: 6?2
(3)由2,16得到数4的运算是 对数运算!
记为 lo21: g? 64

2 . 3.1 对 数

1 . 对数的概念
在一 上般 式,如 中地 的果 ax?a的?值0,a是?唯1?的 一b次 确定幂 的。N 等 ,即a于 b?N,那么 就b 称 是a 以 为N 底 的对数?loagrit?,h记 m作 loagN?b, 如其 :,中 a2叫 x ? 8做 ?对 x底?数数 3;?b的 aosefloagrit?,hN叫 m 真做 数 ?pron pu erm?.ber
由对数3x的?定2义7 ? 可知x, a?b ?3.N 与b ? log a N 两个等式所表
示的是a,b, N 三个量之间的同一个关系.它们是等价的
即: ab ? N (a ? 0, a ? 1) ? loga N ?b

例如: 32 ? 9 ? log 3 9 ? 2

log

4

2

?

1 2

?

1
42

? 2.

2. 指数式和对数式的关系相互转化
指数

对数



真数

ab ? N ? log a N ? b

底数

由对数的概念可知对数有下列性质:
1. 负数和零没有对数。
2. loga 1 ? 0 (a ? 0 , a ? 1) 3. loga a ? 1 (a ? 0 , a ? 1)
4. aloga N ? N (a ? 0 , a ? 1)
5. loga ab ? b (a ? 0 , a ? 1)

探究:
⑴负数与零没有对数 (∵在指数式中 N > 0 )
⑵ log a 1 ? 0, log a a ? 1
对任意 a?0 且 a ?1 都有 a0 ?1? loga1?0
a1 ?a?loga a?1
⑶对数恒等式
如果把 ab ? N 中的 b写成 loga N
则有 a loga N ? N

例1 将下列指数式改写成对数式
?1?2 4 ? 16 ; ?2? 3 ?3 ? 1 ; ?3?5 a ? 20 ;
27

?4??? 1 ?? b ? 0.45 .
?2?

解 ?1 ?lo 2 1g ? 6 4 . ?2?log3 217??3.

?3?lo52 g? 0a.

?4?lo1g0.45?b.
2

练习1 将下列指数式写成对数式:

(1) 54 ?625?lo5g62?54

(2)

2?6 ? 1 ? 64

log2

1 64

?

?6

(3) 3a ?27? log327?a

(4)

?? 1??m ? 5.13? ?3?

log1 5.13?m
3

例2 将下列对数式改写成指数式
?1?log5 125 ? 3 ; ?2? log 1 3 ? ?2; ?3?log10 a ? ?1.699 .
3
解?1?53?12. 5
?2
?2??? 1 ?? ? 3.
? 3?
?? 31? 0 1.69? 9a.

练习2 将下列对数式写成指数式:

(1) log1 27??3?

(2)

l

31 og5 12

? 5

?3?

?? 1 ???3 ? 27 ?3? 5?3 ? 1
125

(3) ln 1? 02.30 ? 3 e2.303?10

(4) lg0.01??2? 10?2 ?0.01

例3 求下列各式的值:
?1?log 2 64 ; ?2?log 9 27 .
解 ? 1 ?由 2 6 ? 6 ,得 4 lo 2 6 ? g 6 4 . ?2?设x?lo9g27,则根据对数的定义知

9x?2,7即 32x?33,

得2x?3 你能说出此处的推理依据吗?

3 x? 2,

所以lo9g27?23.

解法二: lo9g 27 ?lo9g 33?lo9g 92 3?2 3

通常将以 10为底的对数称常为 用对数
?commolnogarith?m,如log102,log1012
等.为了方便起,对 见数lo g10 N简记为 lgN,如lg2,lg12等.
在科学技术中,常常使用以e 为底的对 数, 这 种对数 称为自然对数 ( natural log arithm) , e ? 2.71828??? 是 一个无理 数.正数N 的自然对数loge N 一般记为 ln N , 如loge 2, loge 15 分别记为ln 2, ln 15等.

练习3计算:
(1) log4 3 81

? ? (2)lo?2?g 3?2?3

(3) log3 54 625

? ? 解法一:设

x?log4 3 81 则

4

x
3

?81,

3

x 4

? 34,

解法二: lo43g8? 1lo43g(43)16?16

?x?16

? ? (2)lo?2?g 3?2?3 ? ? 解法一: 设 x? lo ?2 ?g 3 ?2 ?3
? ? ? ? 则 2 ? 3 x ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ,?x??1
? ? ? ? 解法二:lo?2?g 3?2?3?lo?2? g3?2?3? 1?? 1

(3) log3 54 625

解法一:设 x?log 625 3 54

? ? 则

354

x
?62,55

4 3

x

?

54 ,

?x?3

解法二: log62?l5og(354)3?3

354

354

小结 :
定义:一般地,如果 a?a?0,a?1?
的b次幂等于N, 就是 ab ? N ,那么数 b叫做
以a为底 N的对数,记作 loga N?b a叫做对数的底数,N叫做真数。

常见的等式:
(1) loga1?0
(2) logaa?1
(3) alogaN=N (4) logaab?b

1、若 loga 2 ? m , loga 3 ? n ,则 a2m?n ? 。

2、若 logx (3x ? 4) ? 2 ,则 x 的取值的集合是 。

2 3、 4?log2 3 ?



4、求底数:

(1)

log x

3

?

?

3 5

;(2)

log x

2

?

7 8



5、求下列各式中的 x : (1) log2 (log5 x) ? 0 ; (2) log3 (lg x) ? 1 。
6 、 若 集 合 ?x, xy,lg(xy)? ? ?0, x , y? , 则

lg(x2 ? y2 ) ?



7、已知 f (x6 ) ? log2 x ,那么 f (8) ?



练习 1.求下列各式的值
(1) log 5 25 ? 2 (2) log25 25 ?1 (3) lg 10 ?1 (4) lg 0.01 ??2
(5) lg1000 ? 3 (6) lg 0.001 ??3

练习 2.求下列各式的值

(1) log 0.5 1 ? 0

(2) log9 81 ? 2 (3) log25625 ? 2

(4) log3 243 ? 5

(5) lg4 64 ? 3

(6)

log 2 2

?2


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