2019湖北鄂东南省示范高三理科数学试题答案

2019 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学(理科)参考答案
一、选择题 BDDAB CCBAD AB 二、填空题

13. y ? ?1

14. ?5

15.[? 10 , 10 ] 22

三、解答题

17.(1)由题知 sin B ? 8sin2 B ? 2sin B cos B , tan B ? 1 ,

2

2 2 24

于是 tan B

?

2? 1 4

1

?

? ??

1 4

?2 ??

?

8, 15

16. 5 ? 2 7
(4 分) (6 分)

(2)由(1)知, sin B ? 8 ,cos B ? 15 , 由 S ? 1 ac sin B ? 4 ac ? 2 得 ac ? 17 ,

17

17

2

17

2

由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac?cos B ? (a ? c)2 ? 32 ? 4 ,

故 a ? c+b ? 8, 故 ?ABC 的周长为 8.

(8 分) (10 分)
(12 分)

18.(1)由 S13

?

13(a1 ? 2

a13 )

?

13a7

?

169

得 a7

?

13, 2d

?

a7

?

a5

?

4, d

?

2,

故 an ? 9 ? (n ? 5)?2 ? 2n ? 1.

(2 分) (4 分)

(2) bn

?

2n ? 3n

1

,Tn

?

1? 1 3

?

3?

1 32

?

5?

1 33

???

(2n

?

1)?

1 3n

1 3

Tn

?

1?

1 32

?

3?

1 33

?

5?

1 34

???

(2n

?

3)?

1 3n

?

(2n

? 1)

1 3n?1

于是

2 3

Tn

?

1 3

?

2???

1 32

?

1 33

??+

1 3n

? ??

?

(2n

? 1)

1 3n?1

(8 分)

鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学(理科)参考答案(共 6 页)第 1页

?

1?2 3

1 9

(1

?

1 3n?1

)

?

1? 1

2n-1 3 n?1

?

2? 3

2n ? 2 3n?1

,

3

故 Tn

?

1?

n? 3n

1

.

19.(1)由题知 f ( x) ? 2cos2 x ? 1 ? sin(2x ? ? ) 6

(10 分) (12 分)

? cos 2x ? 3 sin 2x ? 1 cos 2x

2

2

? 1 cos 2x ? 3 sin 2x ? ? sin(2x ? ? ),

2

2

6

(3 分)

由 2x ? ? ? (2k? ? ? , 2k? ? ? )

6

2

2

得 x ? (k? ? ? , k? ? ? ),

6

3

(5 分)

?

x

?

(0,?

)?

x

? (0,

?

)



(5

?

,?

),?

f

(

x)

的单调递减区间为

? (0,

)



(5

?

,?

).

36

36

(6 分)

(2)原函数

y

?

3

f (x)?

k

恰有两个零点 ?

sin??? 2x ?

? 6

? ??

?

k 3

?

y

?

sin??? 2x

?? 6

? ??

,

x ? (0,? ) 与 y ? k 有两个不同交点, 3

(8 分)

作出

y

?

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

,

x

?

(0,?

)

的图像如右,

由图知, ?1 ? k ? ? 1 或 ? 1 ? k ? 1

3 2 23

(11 分)

故 k 的取值范围为 (?3, ? 3) ? (? 3 , 3).

2

2

(12 分)

鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学(理科)参考答案(共 6 页)第 2页

20.(1) X ? 0.002? 50? 205 ? 0.004? 50? 255 ? 0.009? 50? 305 ? 0.004? 50? 355 ? 0.001

?50? 405 ? 300

(3 分)

(2)因为 X ? N (300,502), 所以 P(350 ? X ? 400) ? 1 (0.9545 ? 0.6827) ? 0.1359; 2

(6 分)

(3)摇控车开始在第 0 格为必然事件,P0 ? 1, 第一次掷骰子,正面向上不出现 6 点,摇控车移动

到第

1

格,其概率为

5 6

,



P1

?

5 ; 摇控车移到第 n 6



(2

?

n

?

49) 格的情况是下列两种,而且

也只有两种;

①摇控车先到第

n

?

2

格,抛掷出正面向上的点数为

6

点,其概率为

1 6

Pn?2

;

②摇控车先到第

n

?

1

格,抛掷骰子正面向上不出现

6

点,其概率为

5 6

Pn?1 ,



Pn

?

1 6

Pn?2

?

5 6

Pn?1, Pn

?

Pn?1

?

?

1 6

(

Pn?1

?

Pn?2 )

,故

1

?

n

?

49

时,

Pn

?

Pn?1

是首项为

P1

?

P0

?

?

1 6

,

公比为

?

1 6

的等比数列,

(9 分)



Pn

?

Pn?1

?

(?

1 )n , 6

Pn

?

P0

?

(P1

?

P0 )

?

(P2

?

P1 )

??

?

(Pn

?

Pn?1 )

?

1?

(?

1)? 6

(?

1 )2 6

? ? +(?

1 )n 6

?

1 ? (? 1 )n?1 6
1? (? 1)

?

6 [1 ? (? 7

1 )n?1], 6

6

P50

?

1 6

P48

?

1? 6?[1 ? 67

(?

1)49 ] 6

?

1 [1 ? 7

(1)49] ? 6

1 2

, P49 =1 ?

P50 >

1 2

,

故这种游戏方案客户参

与中奖的可能性较大,对意向客户有吸引力.

(12 分)

鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学(理科)参考答案(共 6 页)第 3页

21.(1)

f

( x) 的定义域为 (0, ??), 且

f

'( x)

?

?2 x?3

?

a x

?

ax2 ? x3

2,

(2 分)

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??);②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 得

x?

2 a

,



f

(x)

? 的单调递增区间为 ???

2 a

,

??

? ???

,

单调递减区间为

? ???

0,

2 a

? ???

.

(5 分)

(2)?

f

(x)

有两个零点,? 由 (1)

知a

?

0且

f

? ???

2 a

? ???

?

a 2

?

a 2

ln

2 a

?

0,?

a

?

2e,

要证原不等

式成立,只需证明

ln( x2

?

x1

?

e a

)

?

?

1 2a

,

只需证明

x2

?

x1

?

?1
e 2a

?

e a

,

只需证明

e a

?

x1

?

2 a

?

x2

?

?1
e 2a .

一方面

(7 分)

?a ? 2e,?

2?

1?

e?1 ?

?1
e a ? 1,

ae

?

f

?1
(e 2a )

?

1
ea

?

?1
a ln e 2a

?

1
ea

?

1 2

?

e0

?

1 2

?

1 2

?

0, ?

f

? ???

2 a

? ???

f

?1
(e 2a

)

?

0,

? 且 f ( x) 在 ???

2 a

,

??

? ???

单调递增,故

2 a

?

x2

?

?1
e 2a ;

(9 分)

另一方面, 令 g( x) ? ln x ? 1 ,( x ? 0), ex



g'( x)

?

1 x

?

1 ex2

?

ex ? ex2

1

,



0

?

x

?

1 e

时,

g '( x)

?

0; 当

x

?

1 e

时,

g '( x)

?

0;



g( x)min

?

g(1) e

?

?1 ?

1

?

0, 故

g( x)

?

0



ln

x

?

?

1 ex



x

? (0, ??) 恒成立,

令x? e, a

鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学(理科)参考答案(共 6 页)第 4页

则 ln e a

?

?

a e2

, 于是

f

(e) a

?

a2 e2

?

a ln

e a

?

a2 e2

?

a2 e2

?

0,



e2 a2

?(

2 a

)2

?

e2 ? 2a a2

?

e2 ? 4e a2

?

0,

故 f ( e )?( 2 ) ? 0, 且 f ( x) 在 (0, aa

2) a

单调递减,故

e a

?

x1

?

2; a

综合上述,

e a

?

x1

?

2 a

?

x2

?

?1
e 2a , 即原不等式成立.

(12 分)

22.(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 9 y2 ? 9, 直线 l 的直角坐标方程为 x ? 4 y ? 3, (2 分)



? ? ?

x2 ? 9y2 x?4y ?

? 3

9



25

y2

?

24

y

?

0,

于是

? ? ?

x y

? ?

3 0



? ?? ? ? ??

x y

? ?

? 21 25
24 25

,

即 C 与 l 的交点直角坐标为(3,0)和 (? 21 , 24); (5 分) 25 25

(2)设曲线 C 上一点 P(3cos? ,sin? ),

(7 分)

则 P 到直线 l 的距离 d ? 3cos? ? 4sin? ? 3 ? 8 ? 8 17 ,

17

17 17

(9 分)

故 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 8

17
.

17

(10 分)

23.(1)当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 1 ? 4 得 x ? 5 ; 当 ?1 ? x ? 1 时,由 f ( x) ? ? x ? 3 ? 4 得 3
x ? ?1, 舍去;当 x ? ?1 时,由 f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 4 得 x ? ?1, 综合上述,

原不等式的解集为

(??,

?1]

?

? ??

5 3

,

??

? ??

.

(5 分)

?3x ?1

(2)由

f

(x)

?

? ?

?

x

?

3

???3x ? 1

( x ? 1) (?1 ? x ? 1) 得 f ( x)min ? f (1) ? 2,
( x ? ?1)

故函数 y ? f ( x) 图象的最低点为(1,2),
(7 分)

于是 a ? 2b ? 2, 4 ? 1 ? 1 ( 4 ? 1)(a ? 2b) ? 1 (6 ? a ? 8b) ? 1 (6 ? 2 8) ? 3 ? 2 2,

a b 2a b

2 ba 2

故 4 ? 1 的最小值为 3 ? 2 2. ab

(10 分)

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