2014届高三一轮数学(理)复习第61讲轨迹问题

第61讲 轨迹问题

1.命题 p:曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解;命题 q:曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线,则 p 是 q 的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:由曲线与方程的关系可知,q?p,但 p?/ q,故 选 B.

2.(原创)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,1), B(1,-1).若 P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 - ,则动点 P 的轨迹方程是( D ) 3 A.x2+3y2=4 B.x2+3y2=4(x≠-1) C.x2+3y2=4(x≠1) D.x2+3y2=4(x≠± 1)

解析:设点 P 的坐标为(x,y), y-1 y+1 1 则由题意得 · =- , 3 x+1 x-1 化简得 x2+3y2=4(x≠± 1),故选 D.

3.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距 离相等,则 P 的轨迹方程为 .

解析:由题意知,P 的轨迹是以点 F(2,0)为焦点,以直 线 x+2=0 为准线的抛物线,所以 p=4,故抛物线方程为 y2=8x.

4.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,点 P 是抛物线 C 上一动点,则线段 FP 的中点 Q 的轨迹方程是 .

2 解析:设 Q(x,y),P(x1,y1),则 y1=8x1,①

又 F(2,0),由 Q 为 PF 的中点,
? ?x=2+x1 ? 2 得? y1 ? ?y= 2 ? ?x1=2x-2 ,从而? , ?y1=2y

代入①,得(2y)2=8(2x-2),即 y2=4(x-1).

5.已知直线 l1:ax+y+1=0 和 l2:x-ay-1=0 相交 于点 P,当 a 变化时,则点 P 的轨迹方程是 .

?ax+y+1=0 解析:联立方程? ?x-ay-1=0

① ②



由①×y+②×x,得 y2+x2-x+y=0, 12 12 1 即(x- ) +(y+ ) = . 2 2 2



定义法求轨迹
【例 1】(2012· 山东省烟台市期末检测改编)已知圆 M:

(x+ 5)2+y2=36 及定点 N( 5, 点 P 是圆 M 上的动点, 0), → → → NP → 点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足NP=2NQ,GQ· =0.求点 G 的轨迹 C 的方程.

?NP=2NQ → ?→ 解析: ? 由 ?Q 为 PN 的中点, GQ⊥PN, 且 → ?GQ· =0 ? → NP

所以 GQ 是 PN 的中垂线,所以|PG|=|GN|, 所以|PM|=|GM|+|GP|=|GM|+|GN|=6>2 5, 所以点 G 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆, 又 a=3,c= 5?b=2, x2 y2 所以点 G 的轨迹 C 的方程为 + =1. 9 4

【拓展演练 1】 如图, 已知圆 A: (x+2)2+y2=1 与点 A(-2,0), B(2,0), 求出满足:圆 P 与圆 A 外切且与直线 x=1 相切(P 为动圆 圆心)的动点 P 的轨迹方程.

解析: 点到 A 的距离比 P 点到直线 x=1 的距离多 1, P 即 P 点到 A 的距离等于 P 点到直线 x=2 的距离. 故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4. 因此其方程为 y2=-8x.



直接法求轨迹方程
【例 2】 (2013· 江苏模拟)在平面直角坐标系 xOy 中, 如图,

x2 y2 已知椭圆 + =1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F.设动点 9 5 P 满足 PF2-PB2=4,求点 P 的轨迹.

解析:设点 P(x,y), 则 F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0). 由 PF2-PB2=4, 9 得(x-2) +y -[(x-3) +y ]=4,化简得 x= . 2
2 2 2 2

9 故所求点 P 的轨迹为直线 x= . 2

【拓展演练 2】 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x2+2y2=4 交于 A, → PB → B 两点,P 是 l 上满足PA· =1 的点,求点 P 的轨迹方程.

分析:设 P 点的坐标为(x,y),用直接法求得 P 点的轨迹 方程,要注意 x 的范围,通过直线 l 与椭圆相交获得.

解析:设 P 点的坐标为(x,y), 则由方程 x2+2y2=4,得 2y2=4-x2, 所以 y=± 4-x2 , 2

所以 A,B 两点的坐标分别为: (x, 4-x2 ),(x,- 2 4-x2 ), 2

→ PB → 又PA· =1, 所以(0, 4-x2 -y)· (0,- 2 4-x2 -y)=1, 2

4-x2 x2 y2 即 y2- =1,所以 + =1, 2 6 3 又直线 l 与椭圆交于两点,所以-2<x<2, x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 + =1(-2<x<2). 6 3



x2 y2 【例 3】(2012· 辽宁卷改编)如图,椭圆 C0: 2+ 2=1(a a b

交轨法求轨迹

>b>0,a,b 为常数),动圆 C1:x2+y2=t2,b<t1<a.点 1 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点.C1 与 C0 相交于 A,B,C, D 四点.求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.

解析:设 A(x1,y1),B(x1,-y1), 又知 A1(-a,0),A2(a,0),则 y1 直线 A1A 的方程为 y= (x+a),① x1+a -y1 直线 A2B 的方程为 y= (x-a),② x1-a

-y2 2 1 2 由①②得 y = 2 (x -a2).③ x1-a2 x2 y2 1 1 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故 2+ 2=1, a b x2 1 2 2 从而 y1=b (1- 2), a x2 y2 代入③得 2- 2=1(x<-a,y<0)即为点 M 的轨迹方 a b 程.

【拓展演练 3】 → 设 F(1,0), 点在 x 轴上, 点在 y 轴上, → =2MP, M P 且MN → → PM⊥PF,当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程.

解析:设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), 点 N 为轨迹上任意一点. → → → → 因为PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0), 所以(x0,-y0)· (1,-y0)=0,所以 x0+y2=0. 0 → → 由MN=2MP,得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
?x-x0=-2x0 所以? ?y=2y0 ?x0=-x ? ,即? 1 ?y0=2y ?



y2 所以-x+ =0,即 y2=4x. 4 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2=4x(x≠0).

1.(2011· 广东卷)设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直 线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( A ) A.抛物线 C.椭圆 B.双曲线 D.圆

解析:设 C 的坐标为(x,y),圆 C 的半径为 r,圆 x2 +(y-3)2=1 的圆心为 A,因为圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外 切,与直线 y=0 相切,所以|CA|=r+1,C 到直线 y=0 的 距离 d=r,所以|CA|=d+1,即动点 C 到定点 A 的距离等 于到定直线 y=-1 的距离, 由抛物线的定义知 C 的轨迹为 抛物线,故选 A.

2.(2012· 四川卷改编)如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、 B(1,0)构成△MAB,且直线 MA、MB 的斜率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C.求轨迹 C 的方程.

解析:设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在. y 于是 x≠1 且 x≠-1,此时,MA 的斜率为 ,MB x+1 y 的斜率为 , x-1 y y 由题意,有 · =4,化简可得,4x2-y2-4=0, x+1 x-1 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠1 且 x≠ -1).

x2 2 3.(2010· 广东卷改编)一条双曲线 -y =1 的左、右顶 2 点分别为 A1,A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不 同的两个动点. 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式.

解析:由 A1,A2 为双曲线的左右顶点知, A1(- 2,0), A2( 2,0), -y1 y1 A1P:y= (x+ 2),A2Q:y= (x- 2), x1+ 2 x1- 2 -y2 2 1 两式相乘得 y2= 2 (x -2), x1-2 因为点 P(x1,y1)在双曲线上, x2 2 y2 1 1 1 所以 -y1=1,即 2 = , 2 x1-2 2 1 2 x2 2 故 y2=- (x -2),所以 +y =1, 2 2 x2 2 即直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程为 +y =1. 2

4.(2012· 湖北卷改编)设 A 是单位圆 x2+y2=1 上的任意 一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的 交点,点 M 在直线 l 上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且 m≠1).当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C.求 曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点 坐标.

解析:如图,设 M(x,y), A(x0,y0), 则由|DM|=m|DA|(m>0,且 m≠1), 可得 x=x0,|y|=m|y0|, 1 所以 x0=x,|y0|= |y|,① m
2 因为点 A 在单位圆上运动,所以 x0+y2=1,② 0

将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 y2 x2+ 2=1(m>0,且 m≠1), m 因为 m∈(0,1)∪(1,+∞),所以 当 0<m<1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(- 1-m2,0),( 1-m2,0); 当 m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0,- m2-1),(0, m2-1).


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