《1.绝对值三角不等式》教学案2

《绝对值三角不等式》教学案

教学目标:
1.了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用.
2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.
教学重点:
绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用.
教学难点:
绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.
教学过程:
一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等 式.本节课探讨不等式证明这类问题. 1.请同学们回忆一下绝对值的意义.
?x,如果x ? 0 x ? ??0,如果x ? 0 .
??? x,如果x ? 0
几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值. 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常 还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
(1) a ? a ,当且仅当 a ? 0时等号成立, a ? ?a.当且仅当 a ? 0时等号成立.

(2) a ? a2 , (3) a ? b ? a ? b ,

(4) a ? a (b ? 0) bb

那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ?
二、讲解新课:

探究: a , b , a ? b , a ? b 之间的什么关系?

结论: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab≥0 时,等号成立.) 已知 a, b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab≥0 时,等号成立.)
方法一:证明:1.当ab≥0时,____________,2. 当ab<0时,_______________.

ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2 ?| a | ? | b |
综合1,2知定理成立.

ab ? ? | ab |, | a ? b |? (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2 ?| a | ? | b |

方法二:分析法,两边平方(略)

定理1 如果 a, b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab≥0 时,等号成立.)

(1)若把

a,

b

换为向量

? a,

? b

情形又怎样呢?

a?b a

a

b

a?b

根 据 定 理 1 , 有 a?b ? ?b ? a?b?b , 就 是 , a?b ? b ? a . 所 以 ,
a?b ? a ? b .
定理(绝对值三角形不等式)
如果 a, b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注:当 a, b 为复数或向量时结论也成立. 推论1: a1 ? a2 ? ? an ≤ a1 ? a2 ? ? an 推 论 2 : 如 果 a、 b、 c是 实 数 , 那 么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c , 当 且 仅 当 (a ? b)(b ? c)≥ 0 时,等号成立.
思考:如何利用数轴给出推论2的几何解释?
(设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当
C在A,B之间时,等号成立.这就是上面的例3.特别的,取c=0(即C为原点),就得到例2的

后半部分.)

三、典型例题:

例1、已知 x ? a ? c , y ? b ? c ,求证 (x ? y) ? (a ? b) ? c.

2

2

证明 (x ? y) ? (a ? b) ? (x ? a) ? (y ? b) ? x ? a ? y ? b

(1)

? x?a ? c, y?b ? c,

2

2

∴ x?a ? y?b ? c ? c ?c

(2)

22

由(1),(2)得: (x ? y) ? (a ? b) ? c

例2、已知 x ? a , y ? a . 求证: 2x ? 3y ? a . 46

证明 ? x ? a , y ? a ,∴ 2x ? a , 3y ? a ,

46

2

2

由例1及上式, 2x ? 3y ? 2x ? 3y ? a ? a ? a . 22

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写.但这种写法,只能用于

不等号方向相同的不等式.

例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路

碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队

每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区

应该建于何处?

解:如果生活区建于公路路碑的第 x km处,两施工队每天往返的路程之和为S(x)km

那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

·

·

·

10

x

20

四、课堂练习:

1.(课本 P20 习题1.2第1题)求证: ⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2 a ;⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b

2. (课本P19习题1.2第3题)求证:
⑴ x ? a ? x ? b ≥ a ? b ;⑵ x ? a ? x ? b ≤ a ? b

3.(1)、已知 A ? a ? c , B ? b ? c . 求证: (A ? B) ? (a ? b) ? c .

2

2

(2)、已知

x?

a

?

c, 4

y

?b

?

c. 6 求证:

2x ? 3y ? 2a ? 3b

?

c.

五、课堂小结:

1.实数 a 的绝对值的意义:

?a (a ? 0) ⑴ a ? ??0 (a ? 0) ;(定义)
???a (a ? 0)

⑵ a 的几何意义:

2.定理(绝对值三角形不等式)

如果 a, b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注意取等的条件.

六、课后作业:课本P19第2,4,5题.


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