www.015815.com:数学课件:2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

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第二章
平面向量

第二章
2. 4 平面向量的数量积

第二章
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角

课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

课前自主预习

温故知新 1.若m,n满足:|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135° , 则m· n=________.
[答案] -12 2

2.已知|a|= 2 ,|b|= 2 ,a与b的夹角为45° ,若λb-a与 a垂直,则λ=________.
[答案] 2

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第二章

2.4 2.4.2

3.若i,j是平面直角坐标系xOy中的正交基底,且|i|=|j| =1,a=3i+4j,b=7i+j,则a· b=________,|a|= ________,|b|=________,向量a与b的夹角θ为________.
π 25,5,5 2, . 4

[答案]

新课引入

向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷,它解决了几何中与度量相关的角度,长度(距离)等问 题.通过前面的学习,我们知道向量可以用坐标表示,向量 的加法,减法,数乘运算也可以用坐标表示,那么任意两个 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),其数量积a· b又如何表示呢?你 能给出其推导过程吗?要解决好这几个问题,就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧!

自主预习 阅读教材P106-107回答下列问题. 1.两个向量数量积的坐标表示 (1)数量积的坐标形式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b = x1x2+y1y2 .

(2)数量积坐标形式的推导:取与x轴、y轴分别同向的两个 单位向量i、 j,则a=(x1,y1)=x1i+y1 j,b=(x2,y2)=x2i+y2 j.由数量积的定义可知:i· i= 1 , j· j= 1 ,i· j= 0 , j· i= 0 . 所以a· b=(x1i+y1 j)· (x2i+y2 j)=x1x2i2+x1y2i· j+x2y1 j· i+ y1y2 j2= x1x2+y1y2 ,即 两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积的和 .

已知a=(-3,4),b=(5,2),则a· b的值是( A.23 C.-23 B.7 D.-7

)

[答案] D
[解析] 由数量积的计算公式,a· b=(-3,4)· (5,2)=-3×5 +4×2=-7.

2.向量的模与垂直关系的坐标表示 (1)向量的模:设a=(x,y),由数量积的坐标表示,有a· a =x2+y2,又a· a=a2=|a|2,
2 2 | a | = x + y ∴|a| =x +y ,即

2

2

2

.

(2)两点间的距离公式: → 如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1), → 所以|AB|= 距离公式.

?x2-x1?2+?y2-y1?2 ,这就是平面内两点间的

(3)向量垂直的坐标表示:由向量数量积的定义,a· b=
b=0(|a|· |b|≠0)?x1x2+ |a||b|· cosθ=x1x2+y1y2,所以a⊥b?a· y1y2=0 .

已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构 成的集合是( A.{2,3} C.{2} ) B.{-1,6} D.{6}

[答案] C
[解析] 考查向量垂直的坐标表示,a=(x-5,3),b=(2,x),

∵a⊥b,∴a· b=2(x-5)+3x=0,解之得x=2,则由x的值构 成的集合是{2}.

3.向量夹角的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,由数量积的 定义
a· b a· b=|a||b|cosθ,得cosθ= |a||b| ,



x1x2+y1y2 cosθ= 2 2 2 2 x1+y1 x2+y2

.

利用此公式,可直接求出两向量的夹角.

已知A、B、C是坐标平面上的三点,其坐标分别为 → → A(1,2),B(4,1),C(0,-1),求 AB · AC 和∠ACB的大小,并判 断△ ABC的形状. [分析] → → 由点的坐标写出向量 AB 、 AC 的坐标,由坐标求

数量积;对于∠ACB的大小,则可以通过模长获得.

[解析]

→ → 由题,AB=(3,-1),AC=(-1,-3),

→ → ∴AB· AC=3×(-1)+(-1)×(-3)=0. → → ∴AB⊥AC. → → 而|AB|= 10,|AC|= 10, ∴∠ACB=45° , ∴△ABC是等腰直角三角形.

课堂典例讲练

思路方法技巧
命题方向1 数量积的坐标运算

已知向量a∥b,b=(1,2),|a· b|=10. (1)求向量a的坐标. (2)若a、b同向,c=(2,-1),求(b· c)· a,(a· b)· c. [分析] 解答本题可根据a与b共线设出a的坐标,再利用已 知条件构建方程(组)求得a的坐标,进而进行求解.

[解析]

(1)设a=(x,y),∴a· b=x+2y.

∵a∥b,∴y=2x.
? ?y=2x, 由? ? ?|x+2y|=10, ? ?x=2, 解得? ? ?y=4 ? ?x=-2, 或? ? ?y=-4.

∴a=(2,4)或a=(-2,-4). (2)∵a、b同向,∴a=(2,4). ∴(b· c)· a=[1×2+2×(-1)]· a=0· a=0. (a· b)· c=(2+2×4)· c=10· (2,-1)=(20,-10).

已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)· (a-2b). [分析] 解. 先求出a· b,a2,b2,再对(3a-b)· (a-2b)展开求

[解析]

解法一:因为a· b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=

22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13, 所以(3a-b)· (a-2b)=3a2-7a· b+2b2=3×5-7×8+ 2×13=-15. 解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2), ∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3). ∴(3a-b)· (a-2b)=3×(-4)+(-1)×3 =-15.

命题方向2

求向量的夹角
(1)已知a=(1, 3),b=( 3 +1, 3 -1),求a与b

的夹角; (2)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),求证△ABC是锐角三角 形. [分析] (1)分别求出a· b,|a|,|b|,代入夹角公式求解;

(2)△ABC是锐角三角形,即三个内角都是锐角,分别求出 相应向量夹角的余弦值,确定该三角形三个内角的余弦值均大 于0即可.

[解析]

(1)解:由a=(1, 3 ),b=( 3 +1, 3 -1),得

a· b= 3+1+ 3×( 3-1)=4,|a|=2,|b|=2 2. a· b 2 设a与b的夹角为θ,则cosθ= = , |a||b| 2 π 又0≤θ≤π,所以θ=4.

→ → (2)证明:由条件得 AB =(1,1), BC =(-4,3),CA=(3,- 4), → → 因为AB· BC=-4+3=-1<0, → → 所以AB、BC的夹角是钝角,从而∠ABC为锐角. 同理∠BCA,∠BAC也为锐角,所以△ABC是锐角三角 形.

设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45° ,求 实数t的值. [分析] 由条件求出(a+tb)· b及|a+tb|,|b|代入两向量的

夹角公式求解.

[解析]

a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3).

(a+tb)· b=(4+2t,t-3)· (2,1)=5t+5. |a+tb|= ?4+2t?2+?t-3?2= 5?t+1?2+20. 由(a+tb)· b=|a+tb||b|cos45° ,得5t+5= 5 2 2 2 · ? t + 1 ? + 4 ,即 t +2t-3=0. 2 ∴t=-3或t=1,经检验t=-3不合题意,舍去, ∴t=1.

探索延拓创新

命题方向3

利用平行、垂直求参数
→ → 在△ABC中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC

的一个内角为直角,求k的值. [分析] 本题条件中无明确指出哪个角是直角,所以需分

情况讨论,讨论要注意分类的全面性,同时要注意坐标运算的 准确性.

[解析]

→ → 当∠A=90° 时,AB· AC=0,

2 ∴2×1+3×k=0.∴k=-3. → → → → → 当∠B=90° 时,AB· BC =0,BC= AC -AB=(1-2,k-3) =(-1,k-3), 11 ∴2×(-1)+3×(k-3)=0.∴k= 3 . → → 当∠C=90° 时,AC· BC=0,

3± 13 ∴-1+k(k-3)=0.∴k= 2 . 2 11 3± 13 综上所述:k=- 或 或 . 3 3 2

已知三个点A、B、C的坐标分别为(3,-4)、(6,-3)、 (5-m,-3-m),若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求 实数m的值.

[解析]

→ 由已知,得AB=(3,1),

→ AC=(2-m,1-m). ∵△ABC为直角三角形,且∠A为直角, → → ∴AB⊥AC. → → ∴AB· AC=3(2-m)+(1-m)=0, 7 解得m=4.

建模应用引路
命题方向4 已知夹角求参数

设a=(2,x),b=(-4,5),若a与b的夹角为钝 角,求x的取值范围. [分析] θ为钝角,则cosθ<0.

[解析]

8 由cosθ<0得x< , 5

5 5 因为a∥b时有-4x-10=0,即x=-2,当x=-2时,a= 5 1 (2,-2)=-2b, 8 5 所以a与b反向,θ=π,故x< 且x≠- . 5 2

设a=(2,1),b=(λ,1),若a与b的夹角θ为锐角.求λ的取 值集合.
[答案] 1 {λ|λ>-2,且λ≠2}

[解析]

2λ+1 a· b cosθ= = |a|· |b| 5· λ2+1

∵θ为锐角,有0<cosθ<1, 2λ+1 ∴0< <1. 2 5· λ +1
? ?2λ+1>0, ∴? 2 ? ?2λ+1< 5· λ +1,

1 ? ?λ>- , 2 解得? ? ?λ≠2.

名师辨误作答
已知 a=(1,-2),b=(1,λ),且 a 与 b 的夹角 θ 为锐角,则实数 λ 的取值范围是(
? 1? A.(-∞,-2)∪?-2,2? ? ? ?1 ? B.?2,+∞? ? ? ? ? 2? ?2 C.?-2,3?∪?3,+∞? ? ? ? ? ? 1? D.?-∞,2? ? ?

)

[错解]

∵a 与 b 的夹角 θ 为锐角,

1 ∴cosθ>0,即 a· b=1-2λ>0,得 λ< ,故选 D. 2 [错因分析] 以上错解是由于思考欠全面,由不等价转化

而造成的.如当 a 与 b 同向时,即 a 与 b 的夹角 θ=0° 时 cosθ =1>0,此时 λ=-2,显然是不合理的. [思路分析] 对非零向量 a 与 b,设其夹角为 θ,则 θ 为锐 角?cosθ>0 且 cosθ≠1?a· b>0 且 a≠mb(m>0);θ 为钝角? cosθ<0 且 cosθ≠-1?a· b<0 且 a≠mb(m<0);θ 为直角?cosθ =0?a· b=0.

[正解]

∵a 与 b 的夹角 θ 为锐角,

∴cosθ>0 且 cosθ≠1,即 a· b>0 且 a 与 b 方向不同, 即 a· b=1-2λ>0,且 a≠mb(m>0),解得 λ∈(-∞,-2)
? 1? ∪?-2,2?,故选 ? ?

A.


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