数列求和的一般方法与技巧

数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列 求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。

一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n =

n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2

(q = 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n = ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q = (q ≠ 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n =

∑ k = 2n(n + 1)
k =1 n

n

1

4、 S n =

∑k
k =1

n

2

1 = n(n + 1)(2n + 1) 6

5、 S n =

∑k
k =1

3

1 = [ n(n + 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x + x + x + ? ? ? + x 的前 n 项和. log 2 3

[例 1] 已知 log 3 x =

解:由 log 3 x =

?1 1 ? log 3 x = ? log 3 2 ? x = log 2 3 2

由等比数列求和公式得

1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) 2 2 =1- 1 Sn = x + x2 + x3 + ? ? ? + xn = = 1 1? x 2n 1? 2
n

[例 2] 设 S n = 1 + 2 + 3 + ? ? ? + n ,n∈N*,求 f ( n) = 解:由等差数列求和公式得 S n = ∴ f ( n) =

Sn 的最大值. (n + 32) S n +1
(利用常用公式)

1 n(n + 1) , 2

Sn n = = 2 (n + 32) S n +1 n + 34n + 64
1 50

1 n + 34 + 64 n



1 2 64 + 34

=

1 50

当且仅当即 n=8 时, f ( n) max =

二、错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{ a n ? bn }的前 n 项和, 其中{ a n }、{ bn }分别是等差数列和公比不为 1 的等比数列.
1

[例 3] 求和: S n = 1 + 3 x + 5 x + 7 x + ? ? ? + ( 2n ? 1) x
2 3

n ?1

………………………①

解: (1)当 x = 1 时, S n = 1 + 3 + 5 + ? ? ? + ( 2n ? 1) =

n(1 + 2n ? 1) = n2 2
n ?1

(2)当 x ≠ 1 时,由题可知,{ ( 2n ? 1) x n ?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 则 xS n = x + 3 x + 5 x + ? ? ? + ( 2n ? 3) x
2 3 2 n ?1

}的通项之积

+ (2n ? 1) x n ………………. ②
n ?1

(设制错位)

①-②得 (1 ? x ) S n = 1 + 2 x + 2 x + 2 x + ? ? ? + 2 x
3

? (2n ? 1) x n

(错位相减)

(1 ? x) S n = 1 + 2 x ?

1 ? x n ?1 2x ? 2xn + (1 ? 2n) x n ? (2n ? 1) x n = 1 + 1? x 1? x

1 + (1 ? 2n) x n 2 x ? 2 x n 1 ? x + (1 ? 2n) x n ? (1 ? 2n) x n +1 + 2 x ? 2 x n ∴ Sn = + = 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 = (2n ? 1) x n +1 ? (2n + 1) x n + (1 + x) (1 ? x) 2

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 Sn = + 2 + 3 + ? ? ? + n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 2 n ? 2 2n Sn = 2 + 3 + ? ? ? + + n +1 …………………………② (设制错位) 2 2 2 2n 2
[例 4] 求数列 ① -②,得

Sn 2 2 2 2 2n = + 2 + 3 + ? ? ? + n ? n +1 2 2 2 2 2 2

(错位相减)



1 Sn 1 1 1 n 2n ? n = 2 ? 2 ? n = 1 + + 2 + ? ? ? + n ?1 ? n = 1 2n 2 2 2 2n 2n 2 2 1? 2 n+2 S n = 4 ? n?1 2 1?

三、倒(逆)序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,当 a1 + a n = a 2 + a n ?1 = a 3 + a n ? 2 = ? ? ? = a n + a1 时,将 一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 + an ) 。特点:要设。 [例 5] 求证: C n + 3C n + 5C n + ? ? ? + ( 2n + 1)C n = ( n + 1) 2
0 1 2 n 0 1 2 n n

证明: 设 S n = C n + 3C n + 5C n + ? ? ? + ( 2n + 1)C n ………………………….. ①
2

把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n = (2n + 1)C n + (2n ? 1)C n ?1 + ? ? ? + 3C n + C n

(反序)

又由 Cn = Cn
m

n?m

可得

0 1 n n S n = (2n + 1)C n + (2n ? 1)C n + ? ? ? + 3C n ?1 + C n …………..…….. ② 0 1 n n 2 S n = (2n + 2)(C n + C n + ? ? ? + C n ?1 + C n ) = 2(n + 1) ? 2 n

①+②得

(反序相加)



S n = (n + 1) ? 2 n

[例 6] 求 sin 1 + sin 2 + sin 3 + ? ? ? + sin 88 + sin 89 的值
2 o 2 o 2 o 2 o 2 o

解一:设 S = sin 1 + sin 2 + sin 3 + ? ? ? + sin 88 + sin 89 ……….①
2 o 2 o 2 o 2 o 2 o

将①式右边反序得

S = sin 2 89° + sin 2 88° + sin 2 87° + ? ? ? + sin 2 2 ° + sin 2 1° = cos 2 1° + cos 2 2 ° + cos 2 3° + ? ? ? + cos 2 88° + cos 2 89 ° …………..②
①+②得

(反序) (反序相加)

2 S = (sin 2 1o + cos 2 1o ) + (sin 2 2 o + cos 2 2 o ) + ? ? ? + (sin 2 89 o + cos 2 89 o ) =89
∴ S=44.5

四、合并法 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放 在一起先求和,然后再求 Sn。特点:不要设,但要写出中间项。 [例 7] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · 解:原式=(cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+·· · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和)

= cos 1o ? cos 1o ) + (cos 2 o ? cos 2 o ) + ? ? ? + (cos 89 o ? cos 89 o ) + 0 (
=0
[例 8] 数列{ a n }: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 2, an + 2 = an +1 ? an ,求 S2002. 解:由 a1 = 1, a 2 = 3, a3 = 2, a n + 2 = a n +1 ? a n 可得

a 4 = ?1, a 5 = ?3, a 6 = ?2, a 7 = 1, a8 = 3, … ? a1 + a 2 + a3 + a 4 + a 5 + a 6 = 0
猜测 a n +6 = a n (周期为 6 的数列)
3

(找特殊性质项)

证明: a n + 6 = a n +5 ? a n + 4 = a n + 4 ? a n + 3 ? a n + 4 = ?( a n + 2 ? a n +1 ) = a n +1 ? ( a n +1 ? a n ) = a n S2002= a1 + a 2 + a3 + ? ? ? + a 2002 = 333 × 0 + a1 + a 2 + a3 + a 4 = 1 + 3 + 2 ? 1 = 5

[例 9] 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中,若 a 5 a 6 = 9, 求 log 3 a1 + log 3 a 2 + ? ? ? + log 3 a10 的值. 解:原式 = log 3 [(a1 a10 )( a 2 a9 )(a 3 a8 )(a 4 a 7 )( a5 a 6 )] = log 3 9 = 5 × 2 = 10
5

五、分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的 数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 10] 求数列的前 n 项和: 1 + 1,

1 1 1 + 4, 2 + 7,? ? ?, n ?1 + 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n = (1 + 1) + ( + 4) + ( 2 + 7) + ? ? ? + ( n ?1 + 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 + 2 + ? ? ? + n?1 ) + (1 + 4 + 7 + ? ? ? + 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n + 1)n 当 a = 1 时, S n = n + = 2 2 1 1? n 1? n a + (3n ? 1)n = a ? a + (3n ? 1)n 当 a ≠ 1 时, S n = 1 2 a ?1 2 1? a S n = (1 +
[例 11] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 a n = n( n + 1)( 2n + 1) = 2n + 3n + n
3 2

(分组)

(分组求和)

将其每一项拆开再重新组合得:

S n = 2(13 + 23 + ? ? ? + n 3 ) + 3(12 + 2 2 + ? ? ? + n 2 ) + (1 + 2 + ? ? ? + n)

(分组)

=

n 2 (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + + 2 2 2 n(n + 1) 2 (n + 2) 2

(分组求和)

=

六、裂项相加法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质一般是将数列中的通项分解成含 bn +1 ? bn 或

bn ? bn+1 的形式,然后求 S n 时能消去中间项,只剩两项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
4

(1)

1 (n + 1) ? n 1 1 = = ? n(n + 1) n(n + 1) n n +1 1 1 (n + k ) ? n 1 1 1 = ? = [ ? ] n(n + 1) ? ? ? (n + k ) k n(n + 1) ? ? ? (n + k ) k n(n + 1) ? ? ? (n + k ? 1) (n + 1)(n + 2) ? ? ? (n + k )
1 1 1 1 = ( ? ) a n a n+1 d a n a n +1

推广:

一般式: {a n }为等差数列,公差为d ,则

推广:

1 1 1 1 = [ ? ] a n a n+1 ? ? ? a n + k kd a n a n +1 ? ? ? a n+ k ?1 a n +1 a n + 2 ? ? ? a n + k

(2) n( n + 1) =

1 1 {n(n + 1)[(n + 2) ? (n ? 1)]} = [n(n + 1)(n + 2) ? (n ? 1)n(n + 1)] 3 3 1 推广: n( n + 1)( n + 2) ? ? ? ( n + k ) = {n(n + 1) ? ? ? (n + k )[(n + k + 1) ? (n ? 1)]} k +1 1 = [n(n + 1) ? ? ? (n + k )(n + k + 1) ? (n ? 1)n(n + 1) ? ? ? (n + k )] k +1
(3) n ? n! = [(n + 1) ? 1] ? n! = ( n + 1)!? n!

n (n + 1 ? 1 1 ) 1 = = ? (n + 1)! (n + 1) n! n! (n + 1)! ?
(4)

1 n + n +1

= n +1 ? n 1 a n + a n +1 = 1 ( a n +1 ? a n ) d

一般式: {a n }为等差数列,公差为d , 则

(5)

( 2 n) 2 ( 2n ) 2 ? 1 + 1 1 1 1 = = 1+ ( ? ) (2n ? 1)(2n + 1) (2n ? 1)(2n + 1) 2 2 n ? 1 2n + 1

2 2 a n +1 a n +1 ? d 2 + d 2 (a n +1 ? d )(a n +1 + d ) + d 2 一般式: {a n }为等差数列,且公差为d , 则 = = an an+2 an an+2 an a n+2

= 1+

d 1 1 ( ? ) 2 an a n+2

(6)

2n (2 n+1 ? 1) ? (2 n ? 1) 1 1 = = n ? n +1 n n +1 n n +1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1 ) 2 ?1 2 ?1

一般式:

a n +1 ? a n 1 1 = ? (a n ? t )(a n +1 ? t ) a n ? t a n +1 ? t

(7)

n +1 2n ? (n ? 1) 1 1 = = ? n n n ?1 n(n ? 1) ? 2 n(n ? 1) ? 2 (n ? 1) ? 2 n ? 2n
5

2n + 1 3n ? (n ? 1) 1 1 = = ? n n n ?1 n(n ? 1) ? 2 n(n ? 1) ? 3 (n ? 1) ? 3 n ? 3n (k ? 1)n + 1 1 1 = ? n n ?1 n(n ? 1) ? k (n ? 1) ? k n?kn
sin 1o sin[(n + 1) ? n]o = tan(n + 1) o ? tan n o = o o o o cos n cos(n + 1) cos n cos(n + 1)

推广:

(8) a n =

(9) a n = cos nθ ? cos nθ sin ①当 sin

θ

θ
2

= 0时,即

θ
2

1 θ θ 1 1 1 = [sin(nθ + ) ? sin(nθ ? )] = [sin(n + )θ ? sin(n ? )θ ] 2 2 2 2 2 2 2

= kπ , θ = 2kπ (k ∈ Z )时,S n = cos θ + cos 2θ + ? ? ? + cos nθ = n cos θ sin

②当 sin

θ
2

θ
2

≠ 0时,即θ ≠ 2kπ (k ∈ Z )时,S n =

+ cos 2θ sin sin

θ θ
2

+ ? ? ? + cos nθ sin

θ
2

=

1 2 sin 1

θ
2

[sin

3θ θ 5θ 3θ 1 1 ? sin + sin ? sin + ? ? ? + sin(n + )θ ? sin(n ? )θ ] 2 2 2 2 2 2 cos n +1 nθ θ sin 2 2 sin

2

=

θ 1 [sin(n + )θ ? sin ] = θ 2 2 2 sin 2
1 1+ 2 1 n + n +1 1 1+ 2 + 1 2+ 3

θ

2 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 12] 求数列

,

,? ? ?,

1 n + n +1

解:设 a n =

= n +1 ? n 1 2+ 3 1 n + n +1

(裂项)

则 Sn =

+ ??? +

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) + ( 3 ? = n + 1 ?1

2) + ? ? ? + ( n + 1 ? n)

[例 13] 在数列{ a n }中, an = ∵ an =

1 2 n 2 + + ??? + ,又 bn = ,求数列{ bn }的前 n 项的和. n +1 n +1 n +1 a n ? a n+1

解:

1 2 n n + + ??? + = n +1 n +1 n +1 2 2 1 1 = 8( ? ) ∴ bn = n n +1 n n +1 ? 2 2
6

(裂项)



数列{ bn }的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 S n = 8[(1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? ? ? + ( ? )] 2 2 3 3 4 n n +1 1 8n = 8(1 ? ) = n +1 n +1

(裂项求和)

1 1 1 cos 1o [例 14] 求证: + + ??? + = cos 0 o cos 1o cos 1o cos 2 o cos 88 o cos 89 o sin 2 1o
解:设 a n =

sin 1° cos(n ? 1) ° cos n °

sin[n ° ? (n ? 1) ° ] sin n ° cos(n ? 1) ° ? cos n ° sin( n ? 1) ° 则 an = = = tan n ° ? tan(n ? 1) ° ° ° ° ° cos(n ? 1) cos n cos(n ? 1) cos n ? sin 1° × 左边 = S 89 = tan 1° ? tan 0 ° + tan 2 ° ? tan 1° + ? ? ? + tan 89 ° ? tan 88 ° = tan 89 ° = cot 1°
cot 1° cos 1° ? 左边 = = = 右边 sin 1° sin 2 1°

七、先求出数列的通项,再求出数列的前 n 项和 先求出数列的通项, 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列 的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 15] 求 1 + 11 + 111 + ? ? ? + 111 ? 3 之和. 12? ?1
n个1

解: a n = 111 ? ? ? 1 = 123
n个1

1 1 1 1 ? 999 ?49 = ? (10 n ? 1) = ? 10 n ? 1 2?3 9 4 ? 9 9 9 n个 9
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 + 11 + 111 + ? ? ? + 111 ? 3 12? ?1

=

1 n ? (10 + 10 2 + 10 3 + ? ? ? + 10 n ) ? 9 9 1 10(10 n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9 1 (10 n +1 ? 10 ? 9n) 81

(分组求和)

= =

[例 16]求数列 1,1 + 2,1 + 2 + 2 2 ,? ? ? 的前 n 项的和。 解: a n = 1 + 2 + 3 + ? ? ? + 2 n ?1 =
2 n ?1 = 2 n ?1 2 ?1 2(2 n ? 1) ? n = 2 n +1 ? n ? 2 2 ?1
7

∴ S n = (2 + 2 2 + ? ? ? + 2 n ) ? n =

[例 17] 已知数列{ a n }: a n =

∞ 8 , 求∑ (n + 1)(a n ? a n +1 ) 的值. (n + 1)(n + 3) n =1

解:∵ ( n + 1)(a n ? a n +1 ) = 8( n + 1)[
= 8[
= 8? = 8? = 8?

1 1 ? ] (n + 1)(n + 3) (n + 2)(n + 4)

(找通项特征)

1 n +1 ? ] n + 3 (n + 2)(n + 4)
n 2 + 6n + 8 ? (n 2 + 4n + 3) (n + 2)(n + 3)(n + 4) 2n + 5 (n + 2)(n + 3)(n + 4) (n + 3) + (n + 2) (n + 2)(n + 3)(n + 4)

= 8 ?[

1 1 + ] (n + 2)(n + 4) (n + 3)(n + 4)

(设制分组)

(n + 4) ? (n + 3) 1 ( n + 4) ? ( n + 2) = 8? ? + 8? 2 (n + 2)(n + 4) (n + 3)(n + 4)

=4 ? (

1 1 1 1 ? ) + 8( ? ) n + 2 n + 4 n +3 n + 4
∞ 1 1 1 1 ? ? ) + 8∑ ( ) n+2 n+4 n+4 n =1 n + 3

(裂项)



∑ (n + 1)(a
n =1



n

? a n +1 ) = 4∑ (
n =1



(分组、裂项求和)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 4( ? + ? + ? + ? ? ?) + 8( ? + ? + ? + ? ? ?) 3 5 4 6 5 7 4 5 5 6 6 7 1 1 1 = 4?( + ) +8? 3 4 4 13 = 3
例 18.已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 = 8, a 4 = 4, 求a 4 + a 7 + a10 + a13 + a16 .

例 19.(1)公差为 1 的等差数列 {an } 的前 98 项和为 147,则 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 98 的值为多少?(2)等比数 列 {an } 中, a1 = 1,项数n为偶数,所有奇数项和为85,所有 偶数项和为 170,求 n .

例 20.(1)一等差数列的前 n项和25,前2n项和为100,求其前3n项的和. (2)一等比数列的前

8

n项和为2,紧跟后面的2n项和为12,再紧跟后面的3n项 和为 S , 求S .

例 21.等差数列 {an } 中,已知 3 3a11 = 5a13 , 且a1 ? 0,问此数列的前几项和最大?

例 22.已知 S n 为等差数列{a n }的前n项和,S 7 = 7, S15 = 75, Tn 为数列{

Sn }的前n 项和,求 Tn . n

例 23.已知数列 {an } 的首项为 b,它的前n项和为S n , 且S1 , S 2 , L , S n , L是一个等比 数列, 其公比为 q (0? q ?1) . (1)求证:数列 a 2 , a 3 , L , a n , L是一个等比数列; (2)求数列 {a n S n }的前n项和(b, q表示) .

【巩固练习】 巩固练习】 1. 等差数列 {an } 中, a 5 + a8 + a11 + a14 + a17 等于该数列中连续5项的和,那么 这 5 项中序号最大的是 _______. 2. 在数列 {an } 中, a n +1
2 an = ,且该数列既是等差数列又是等比数列,则 该数列的前 20 项的和 2a n ? 5

S 20 = ________.
3. 等差数列 {an } 共有 2n+1 项,其中奇数项和为 44,偶数项和为 33,则 n = _______, a n +1 = _______ 。
9

4. 设 {an } 是公比为 q的等比数列,S n 是它的前n项和,若{S n }是等差数列 ,则 q = _______. 5. 各项为实数的等比数列,若 S10 = 10, S 30 = 70,则S 40 = _______. 6. 已知等差数列 {an } 中, S 4 = 1, S 8 = 4, 则a17 + a18 + a19 + a 20 = _______.

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