2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 正余弦定理应用教学案 新人教A版必修5.doc

2019-2020 学年高中数学 第一章 解三角形 正余弦定理应用教学案 新人教 A 版必修 5
本节课中,应先通过分析典型例题,帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理;应指出 正弦定理和余弦定理是相通的,凡是能用正弦定理解的三角形,用余弦定理也可以解,反之 亦然.但解题的时候,应有最佳选择.教学过程中,我们应指导学生对利用正弦定理和余弦 定理解斜三角形的问题进行归类,列表如下: 解斜三角形时可用的定理和 公式 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC 正弦定理 适用类型 (1)已知三边 (2)已知两边及其夹角 备注 类型(1) (2)有解时只有一 解

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
三角形面积公式

(3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的 对角 (5)已知两边及其夹角

类型 (3) 在有解时只有一解, 类型(4)可有两解、一解或 无解

1 S ? bc sin A ? 2 1 ac sin B ? 2 1 ab sin C 2
同时应指出,在解斜三角形问题时,经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换,转化的 主要途径有两条: (1) 化边为角, 然后通过三角变换找出角与角之间的关系, 进而解决问题; (2)化角为边,将三角问题转化为代数问题加以解决.一般地,当已知三角形三边或三边 数量关系时,常用余弦定理;若既有角的条件,又有边的条件,通常利用正弦定理或余弦定 理,将边化为角的关系,利用三角函数公式求解较为简便.总之,关键在于灵活运用定理及 公式. 教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形; 2.三角形各种形状的判定方法; 3.三角形面积定理的应用. 教学难点 1.利用正、余弦定理进行边角互换时 的转化方向 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求; 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用. 教学目标 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形; 2.三角形各种形状的判定方法; 3.三角形面积定理的应用.

教学过程 导入 新课 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理 解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1 .1.3A). 从幻灯片大体可以 看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理 可以进行边与角之间的转换,这一节 ,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换 功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用 推进新课 思考:在△ABC 中,已知 A=22cm,B=25 cm,A=133°,解三角形. (由学生阅读课本第 9 页解答过程) 从此题的分析我们发现, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 在某些条 件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三 角形的问题. 【例 1】在△ABC 中,已 知 A,B,A,讨论三角形解的情况 师 分析:先由 sin B ?

a sin C b sin A 可进一步求出 B;则 C =180°-(A+B),从而 c ? sin A a

一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况. 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解;否则无解. 2.当 A 为锐角时, 如果 a≥b,那么只有一解; 如果 a<b,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a>bsinA,则有两解; (2)若 a=bsinA,则只有一解; (3)若 a<bsinA,则无解. (以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页) 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 只有当 A 为锐角且 bsinA<a< b 时,有两解;其他情况时则只有一解或无解. (1)A 为直角或钝角

(2)A 为锐角

【例 2】在△ABC 中,已知 a =7,b=5,c =3,判断△ABC 的类型. 分析:由 余弦定理可知 a2=b2+c2 ? A 是直角 ? △ABC 是直角三角形, a2>b2+c2 ? A 是钝角 ? △ABC 是钝角三角形, a2<b2+c ? A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形。 (注意:A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形 ) 2 2 2 2 2 2 解:∵7 >5 +3 ,即 a >b +c , ∴△ABC 是钝角三角形. [教师精讲 1.利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题. ①已知两角和任一边,求其他两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) . 2. 正弦定理, 可以用来判断三角形的形状, 其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例 如:在判断三角形形状时,经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替. 3.余弦定理的主要作用一是解三角形, 二是判断三角形的形状, 它的主要功能是实现边 角之间的转化. (1)已知三边,求三个角. (2)已知两边和夹角,求第三边和其他两角. 2 2 2 4.用方程的思想理解和运用余弦定理,当等式 a =b +c -2bccosA 中含有未知数时,这 便成为方程,式中有四个量,知道三个,便可以解出另一个,运用此式可以求 A 或 B 或 C 或 cosA. 课堂小结 通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、 余 弦定理的边角转换功能 (1) 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 有两解或一解或无解等情形; (2)三角形形状的判定方法


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