江苏省徐州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题(附答案)

2012--2013 学年度第一学期期末抽测

高二数学试题(理科)
球的表面积为 S ? 4?R ,其中 R 表示球的半径.
2

锥体的体积 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题。每小题 5 分。共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上 1.命题“ ?x ? R, x ? x ? 3 ≥ 0 ”的否定是
2

. .

2.直线 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角为 3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是



4.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9



5.已知球 O 的半径为 3,则球 O 的表面积为 . 6.若一个正三棱锥的高为 5,底面边长为 6,则这个正三棱锥的体积为 7.函数 f ( x) ? x 2 在点(1, f (1) )处的切线方程为 . .



8.已知向量 a ? (3,?2, z ) , b ? (1, y,?1) ,若 a // b ,则 yz 的值等于
2 2 2 2

9 . 已 知 圆 x ? y ? m 与 圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 11 ? 0 相 内 切 , 则 实 数 m 的 值 为 .

2 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件, 10.已知命题 p : x ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 ;命题 q:

则正实数 m 的最大值为



11 . 已 知 两 条 直 线 a1 x ? b1 y ? 4 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 4 ? 0 都 过 点 A (2 , 3) , 则 过 两 点

P 1 (a1 , b1 ) , P 2 (a 2 , b2 ) 的直线的方程为
12.已知 F1 是椭圆

.

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, P 是椭圆上的动 25 9

点 , A(1,1) 是 一 定 点 , 则 PA ? PF 1 的 最 大 值 为 . 13.如图,已知 AB ? 2c (常数 c ? 0 ),以 AB 为直径的圆有 一内接梯形 ABCD ,且 AB // CD ,若椭圆以 A , B 为焦 点,且过 C , D 两点,则当梯形 ABCD 的周长最大时,椭圆的离心率为
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14.设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax2 ? bx ,若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有 x


两个不同的公共点,则当 b ? (0,1) 时,实数 a 的取值范围为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸制定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 AD , AB 的中点. (1)求证: EF ∥平面 CB1 D1 ; (2)求证:平面 CAA 1C1 ⊥平面 CB1 D1 .

16.(本小题满分 l4 分) 已知圆 C 经过三点 O(0,0) , A(1,3) , B(4,0) . (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 P(3,6) 且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程.

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17.(本小题满分 14 分) 已知在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 4 , AD ? 2 , AA 1 ? 3 , M , N 分别是 棱 BB1 ,

BC 上的点,且 BM ? 2 , BN ? 1 ,建立如图所示的空间直角坐标系.求:
(1)异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦值; (2)直线 DM 与平面 AMN 所成角的正弦值。

18.(本小题满分 l6 分) 现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它做成一只无盖长方体铁 皮盒, 要求材料利用率为 l00%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中闻,沿虚线折起, 求此时铁皮盒的体积; 方案二:如图 (2),若从长方形 ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的 底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值,并说明 如何剪拼? 。

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19.(本小题满分 l6 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) , a2 b2

左、右顶点分别为 A , B ,离心率为 (1)求动点 P 的轨迹方程;

3 ,动点 P 到 F1 , F2 的距离的平方和为 6. 3

(2)若 C( 3,,3) , D(? 3,,3) , Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点,直线 AQ , BQ 分别交直线 CD 于点 M , N . (i)当直线 AQ 的斜率为

1 时,求 ?AMN 的面积; 2

(ii)求证:对任意的动点 Q , DM ? CN 为定值.

20.(本小题满分 l6 分)
3 2 已知函数, f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 .

(1)求实数 c , d 的值; (2)若过点 P(?1,?3) 可作出曲线 y ? f ( x) 的三条不同的切线,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 x ? [1,2] ,均存在 t ? (1,2] ,使得 et ? ln t ? 4 ≤ f ( x) ? 2 x ,试求实数 b 的 取值范围.

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2012—2013 学年度第一学期期末抽测

高二数学(理)参考答案与评分标准
一、填空题: 1. ? x ? R , x 2 ? x ? 3 ? 0 6.15 3 12. 10 + 10 二、解答题: 15. (1)连结 BD ,在 △ ABD 中, E 、 F 分别为棱 AD 、 AB 的中点,故 EF // BD , 又 BD // B1 D1 ,所以 EF // B1 D1 , ?????2 分 又 B1 D1 ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 , 所以直线 EF ∥平面 CB1D1 . ??????6 分 A1 D1 B1 C1 7. 2 x ? y ? 1 ? 0 13. 3 ? 1 2. 45o 8. 2 14. (? 3. (1,0) 9.1 4. y = 10. 2

3 x 2

5. 36?

11. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0

2 3 2 3 , ) 9 9

(2)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,则 A1C1 ? B1 D1 ,??????8 分 又 CC1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , B1 D1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , A 则 CC1 ? B1 D1 , ??10 分 又 AC 1 1 E D F B C

(第 15 题图)

CC1 ? C1 , A1C1 ? 平面 CAA1C1 , CC1 ? 平面 CAA1C1 ,所以 B1 D1 ? 平面
???14 分

CAA1C1 ,又 B1 D1 ? 平面 CB1D1 ,所以平面 CAA1C1 ? 平面 CB1D1 .
2 2

ì F = 0, ? ? ? 16. (1)设圆 C 的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,则 í 1 + 9 + D + 3E + F = 0, ?3 分 ? ? ? ? ? 16 + 4 D + F = 0,
解得 D = - 4 , E = - 2 , F = 0 , 所以圆 C 的方程为 x2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0 . ?????????????6 分 ????????????7 分

(2)①若直线斜率不存在,直线方程为 x = 3 ,经检验符合题意; ?????9 分 ②若直线斜率存在,设直线斜率为 k ,则直线方程 y - 6 = k (x - 3) , 即 kx - y - 3k + 6 = 0 ,则

5- k 1+ k
2

= 1 ,解得 k =

12 , ?????????12 分 5
??????????14 分

所以直线方程为 12 x - 5 y - 6 = 0 . 综上可知,直线方程为 x = 3 和 12 x - 5 y - 6 = 0 .

17.由题意知, D(2,0,0) , B(0, 4,0) , A1 (0,0,3) , M (0,4,2) , N (1, 4,0) , (1) DM ? (?2,4,2) , AN ? (1,4,0) ,

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cos DM , AN ?

DM ? AN DM AN

?

?2 ? 1 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 2 6 ? 17

?

7 102 , 102

??????5 分

可得异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦值为

7 102 . 102

???????7 分

(2) AM ? (0,4,2) , AN ? (1,4,0) ,设平面 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

? ?4 y ? 2 z ? 0 ? x ? ?4 y ? m ? AM ? 0 则? ,即 ? ,解得 ? , ?x ? 4 y ? 0 ? z ? ?2 y ? ? m ? AN ? 0
不妨取 x ? 4 ,则 y ? ?1 , z ? 2 ,故平面 AMN 的一个法向量为 m ? (4, ?1, 2) ,10 分 则 cos DM , m ?

DM ? m DM m

?

?2 ? 4 ? 4 ? (?1) ? 2 ? 2 2 6 ? 21

??

2 14 ,??????12 分 21

2 14 . ?????14 分 21 18.方案一:设小正方形的边长为 x ,由题意得 4 x ? 60 , x ? 15 , 所以铁皮盒的体积为 65 ? 30 ?15 ? 29250(cm3 ) . ??????????4 分 方案二:设底面正方形的边长为 x(0 ? x ? 60) ,长方体的高为 y ,
根据图形可知,直线 DM 与平面 AMN 所成角的正弦值为

4800 ? x2 , 4x 4800 ? x2 1 所以铁皮盒体积 V ( x) ? x2 y ? x2 ? ? x3 ? 1200x , ????????10 分 4x 4 3 , V / ( x) ? ? x2 ? 1200 ,令 V / ( x) ? 0 ,解得 x ? 40 或 x ? ?40 (舍) 4 当 x ? (0, 40) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? (40,60) 时, V ?( x) ? 0 ,
由题意得 x2 ? 4 xy ? 4800 ,即 y ? 所以函数 V ( x) 在 x ? 40 时取得最大值 32000cm3 . 将余下材料剪拼成四个长 40cm, 宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可. ???????????15 分 答:方案一铁皮盒的体积为 29250cm3 ;方案二铁皮盒体积的最大值为 32000cm3 ,将余下 材料剪拼成四个长 40cm,宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可.16 分 19. (1)设 P ( x, y ) ,则 PF12 ? PF2 2 ? 6 ,即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 6 , 整理得, x 2 ? y 2 ? 2 , 所以动点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 2 .?4 分
2 2

y D N Q C M

?a 2 ? b 2 ? 1 ?a ? 3 ? ? (2)由题意知, ? 1 , 3 ,解得 ? 2 ? ?b ? 2 ? ? 3 ?a
所以椭圆方程为

A

O

B

x

x2 y2 ? ? 1 . ??6 分 3 2

(第 19 题图)

则 A(? 3,0) , B( 3,0) ,设 Q( x0 , y0 ) , y0 ? 0 ,则 2 x0 2 ? 3 y0 2 ? 6 ,

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直线 AQ 的方程为 y ?

y0 x0 ? 3

( x ? 3) ,令 y ? 3 ,得 M (

3x0 ? 3 y0 ? 3 , 3) , y0
3x0 ? 3 y0 ? 3 , 3) , y0

直线 BQ 的方程为 y ?

y0 x0 ? 3

( x ? 3) ,令 y ? 3 ,得 N (

1 ? y0 ? 1 ? (i)当直线 AQ 的斜率为 时,有 ? x0 ? 3 2 ,消去 x 0 并整理得, 11y02 ? 8 3 y0 ? 0 , 2 ?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 0 ? 0
解得 y0 ?

8 3 或 y0 ? 0 (舍) , 11
3 3 ? MN ? ? 2 2 ? 3?

??????????10 分

所以 △ AMN 的面积 S△ AMN ?

3x0 ? 3 y0 ? 3 3x0 ? 3 y0 ? 3 ? y0 y0
???????12 分 (ii)

3 ? y0 9 ? . y0 8

DM ?

3x0 ? 3 y0 ? 3 ? 3 ? y0
3x0 ? 3 ? y0

3x0 ? 3 , CN ? y0

3x0 ? 3 y0 ? 3 ? 3 ? y0

3x0 ? 3 , y0

3x0 ? 3 3x0 2 ? 9 3x0 2 ? 9 9 ? ? ? . 6 ? 2 x0 2 y0 y0 2 2 3 9 所以对任意的动点 Q , DM ? CN 为定值,该定值为 . ????????16 分 2 20. (1) f '( x) ? 3x2 ? 2bx ? c ,由题意得,切点为 (0, ?1) , ? f '(0) ? 2 ?c ? 2 则? ,解得 ? . ???????4 分 ? f (0) ? ?1 ?d ? ?1 (2)设切点为 Q( x0 , y0 ) ,则切线斜率为 k ? 3x02 ? 2bx0 ? 2 , y0 ? x03 ? bx0 2 ? 2 x0 ? 1,
所以 DM ? CN ? 所以切线方程为 y ? (3x02 ? 2bx0 ? 2)( x ? x0 ) ? y0 , 即 y ? (3x02 ? 2bx0 ? 2) x ? 2 x03 ? bx0 2 ? 1 , ??????6 分

2 又切线过点 P (?1, ?3) ,代入并整理得 x0 ? ?2 x0 ? (b ? 3) x0 ? 2b ? ? ? 0,

由题意,方程 2 x02 ? (b ? 3) x0 ? 2b ? 0 有两个不同的非零实根,

??????8 分

?(b ? 3)2 ? 16b ? 0 ?b ? 1或b ? 9 所以 ? ,解得 ? , ?b ? 0 ?2b ? 0
故实数 b 的取值范围为 (??,0)

(0,1) (9, ??) .

??????10 分

(3)由(1)知, f ( x) ? x3 ? bx2 ? 2x ? 1 ,则不等式 et ? ln t ? 4 ? f ( x) ? 2 x , 即 et ? ln t ? x3 ? bx 2 ? 3 ,由题意可知, et ? ln t 的最小值应小于或等于 x3 ? bx 2 ? 3 对任
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意 x ?[1,2] 恒成立, 令 h(t ) ? et ? ln t ,则 h '(t ) ? e ? ?

??????12 分

t
h '(t ) h (t )

1 et ? 1 1 ,令 h '(t ) ? 0 ,解得 t ? ,列表如下: t t e 1 1 1 (0, ) ( , ??) e e e
?
0 极小值 h( )

?
1 e

因此, h(t ) 的最小值为 h( ) ? 1 ? ln ? 2 . 所以 2 ? x3 ? bx 2 ? 3 对任意 x ?[1,2] 恒成立,即 b ? ? 令 g ( x) ? ?

1 e

1 e

????14 分

x3 ? 1 对任意 x ?[1,2] 恒成立, x2

x3 ? 1 2 ,则 g '( x) ? ?1 ? 3 ,令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 3 2 ,列表如下: 2 x x

x
g '(t )
g (t )

1

(1, 3 2)

3

2
0

( 3 2,2)
?

2

?

?2
3 4 ??

极大值 g ( 3 2)

?

9 4

因此, g ( x) 的最大值为 g ( 3 2) ? ? 3

33 2 33 2 ,所以 b ? ? . ????16 分 2 2

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