高中数学必修4__课件第一章_1.6__三角函数模型的简单应用(新人教A版)_图文

情景引入:

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在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化,用数 学语言可以说这些现象具有周期性,而我们所学的三角函数是刻 画周期变化数量的典型函数模型,比如下列现象就可以用正弦型 函数模型来研究,这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用 (课题)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、物理情景—— ①简谐运动 ②星体的环绕运动 2、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 3、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ? ②股票变化 ? …………

? 正弦型函数

y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0)

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1.6 三角函数模型的简单应用

观察、发现:

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1、由图象求振幅A

y ? 2 sinx

y?

y ? A sinx ? b

5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x ? 3 2 1

O
5 ?1 最大值 ? 最小值 A? ?2? 2 2 b? 5 ?1 最大值 ? 最小值 ?3? 2 2

?

2?

?2

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y ? A sinx ? b
最 大 值? 最 小 值 A? 2 4 ? ( ?2) ? ?3 2
b? 最 大 值? 最 小 值 2 4 ? ( ?2) ? ?1 2

y

4 3 2 1

x

O
?2

?

2?

y ? 3 sin x ? 1

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2、由图象求解析式

y ? A sin( x ? ? ) ?
(1) A ? 2
( 2) T ? ? ? ? 4 12 6

y 2

A

?

?
4

T ??

又T ?

2?

(3) y ? 2 sin( x ? ? ) 2
A点的坐标为(
2sin(2 ?

?

??2
?
12

O
? ? 6
? 12

x

, 2)

?2

?
12

??) ? 2

sin( ? ? ) ? 1 6 ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z
6 2

?

?一般取:| ? |≤π ? ? ? 2k? , k ? Z 3 ? 当k ? 0时 ,? ?
y ? 2 sin( x ? 2

?
3

3

)

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练习:
? 函数 y ? Asin(? x ? ? ),( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 2 的最小值是?2,其图象最高点与最低点横
坐标差是3?,且图象过点(0,1),求函数解 析式.

例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化 y 曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b的半个周期 1 1 的图象, 所以,A ? ? 30 ? 10 ? ? 10, b ? ? 30 ? 10 ? ? 20 2 2 ? 3? 1 2? ? ? ? 14 ? 6 ? ? ? . 将x ? 6, y ? 10代入上式,解得?= . 8 4 2 ?
10

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一般的,所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况,因此应当特 别注意自变量的变化范围.

3? 综上,所求解析式为y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ? ? 6,14? 8 4

?

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小结:
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? 2? 1 b ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ? 2?

2? 利用T ? ,求得? ?

利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标 满足函数解析式可求得? , 注意通常 ? ? ?

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练习:
练习:如图,它表示电 流
I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

)

在一个周期内的图象. (i)试根据图象写出的 解析式. 3 (ii)在任意一段 秒 100 的时间内,电流I既能 取得最大值A,又能取 得最小值-A吗?

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思考:

y ? x 的图象与y ? x的图象有何区别?

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例2 画出函数 y ? ysin x 周期。
-3π -2π -π 0

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的图象并观察其
π 2π 3π x

解:函数图象如图所示。 从图中可以看出,函数 y ? sin x 是以π为 周期的波浪形曲线。
我们也可以这样进行验证:

由于 sin(x ? ? ) ? ? sin x ? sin x , 所以,函数 y ? sin x 是以π为周期的函数。 利用函数图象的直观性,通过观察图象而 获得对函数性质的认识,这是研究数学问题 的常用方法.

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练习:
? 求下列函数的周期:
? (1) ? (2)

y ? sin x ? sin x
y ? sin x ? cos x

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总结提炼
?1?已知函数y ? Asin ??x ? ? ? ? b的图象,如何求其解析式?

? 2? 如何作出三角函数的图象?

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作业设计:
教科书P 习题1.6A组 1, 2,3 65


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