四川省成都市2013届高三一诊模拟考试文科数学试题

四川省成都市 2013 届高三一诊模拟考试 文科数学试题
(考试时间: 2012 年 12 月 27 日 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 A 总分:150 分)

x?2 x?3

? 2 的解集是(

) B D

( ??, ?8] ? ( ?3, ?? )

( ??, ?8] ? [ ?3, ?? )
( ?3, 2]

C. [ ?3, 2]

2.若复数
A

( B

,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 4 C 6 D -6 )

-2

3.公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则这三项的公比为( A.1 B.2 C.3 D.4

r r r r r r r r r 4.已知平面向量 a , b 满足 | a |? 1,| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则“m=1”是“ ( a ? mb) ? a ”
的( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件

5.关于命题 p : A ? ? ? ? ,命题 q : A ? ? ? A ,则下列说法正确的是( A. ? ? p ? ? q 为假 C. ? ? p ? ? ? ? q ? 为假 6.设函数 f ( x ) ? sin 3 x ? | sin 3 x |, 则f ( x ) 为 ( A.周期函数,最小正周期为 B. ? ? p ? ? ? ? q ? 为真 D. ? ? p ? ? q 为真 )

2?

B.周期函数,最小正周期为

D.非周期函数 7.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):( ) ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b” ; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d ∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b” . 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

3 C.周期函数,最小正周期为 2?

? 3

8.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长 为 2 的正三角形, 侧棱长为 3, BB1 与平面 AB1C 1 所成的角为 则 ( )
A1

B1 C1

? A. 6

? ? B. C. 4 3 1 1 9.设集合 A ? [0, ), B ? [ ,1] ,函数 2 2

? D. 2

B

1 ? ? x ? , ( x ? A) f ( x) ? ? x0 ? A且 f [ f ( x0 )] ? A , x 0 的取值范围是 则 2 ? 2(1 ? x ), ( x ? B ) ?
( )

A

C

A.( 0,

1 4

]

B.( ,

1 1 4 2

]

C.( ,

1 1 4 2

) D.[0,

3 8

]

10 . 定 义 在 ( ? 1, 1) 的 函 数 f ( x ) ? f (y ) f ( 上 ?

x? y

1 ? xy

) ( ) 0 ; 当 x ? ( ?1, 0时 f x ? , 若 )


1 1 1 P ? f ( ) ? f ( ) ,Q ? f ( ) ,R? f (则) , P Q 的大小关系为( 0 , R , 5 11 2
A. R ? Q ? P B. R ? P ? Q C. P ? R ? Q D. Q ? P ? R

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.若

x ? log 4 3, 则(2 x ? 2 ? x ) 2 ?

12.某程序的框图如图所示,若执行该程序,则输出的 i 值为 13 . 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D! 中 , M、N、P、Q 分 别 是

AB 、AA1、C1 D1、CC1 的中点,给出以下四个结论:
① AC1 ? MN ; ② AC1 //平面 MNPQ ; ③ AC1 与 PM 相交; ④ NC1 与 PM 异面 其中正确结论的序号是 . 。

14 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ,则其最大值为

15.设两个向量 a ? (? ? 2, ? ? cos ? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中 ?, m, ? 为实数.若
2 2

r

r

? ?

m 2

? ?

r r ? a ? 2b ,则 的取值范围是

m

三、解答题(第 16—第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。共 75 分) 16.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A、B、C 三个区 中抽取 6 个工厂进行调查.已知 A、B、C 区中分别有 18,27,9 个工厂. (1)求从 A、B、C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 6 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。

17.已知向量 m ? ( 3 sin

u r

r u r r x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x ) ? m ? n 4 4 4 x

(1)若 f ( x ) ? 1 ,求 cos( x ?

?
3

) 的值;

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、 C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cos C ?

1 2

c ? b ,求函数

f ( B ) 的取值范围.

18.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点, G 是

DF 上的一动点.
(1)求证: GN ? AC ; (2)当 FG ? GD 时,在棱 AD 上确定一点 P ,使得 GP //平面 FMC ,并给出证明.

19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q ( x ) ? 170 ? 0.05 x ,试问生 产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)

20



















? ?
ur u an







ur a1 ? (1,1)



ur u 1 an ? ? xn , yn ? ? ? xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ? ? n ? 2 ? . 2 uu r (1)证明: a n 是等比数列;

? ?
ur u

(2)设 ? n 是 a n ?1 , a n 的夹角 ? n ? 2 ? , bn = 2 n? n ? 1 , S n ? b1 ? b2 ? L ? bn ,求 S n ; (3)设 cn ? an log 2 an ,问数列 ?cn ? 中是否存在最小项?若存在,求出最小值;若不 存在,请说明理由.

uuu uu r r

ur u

21.已知函数 f ? x ? ? x ln x. (1)求函数 f ? x ? 的极值点; (2)若直线 l 过点(0,—1),并且与曲线 y ? f ? x ? 相切,求直线 l 的方程; (3)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? a ? x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数)

参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 C 8 A 9 B 10 B

二、填空题 11、

4 3

12、7 13、1\3\4 14、2

6 15、 ? ?1,?
三、解答题(第 16—第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分。共 75 分) 16.【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考 查.

6
1 解:(1)工厂总数为 18+27+9=54,样本容量与总体中的个体数的比为 54 = ,所以从 A, 9 B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1.????5 分 (2)设 A1,A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1,B2,B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1 为 在 C 区中抽得的 1 个工厂. 在这 7 个工厂中随机地抽取 2 个, 全部可能的结果有: (A1, A2), (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),,(B2,B3),(B2,C1),,(B3,C1)共 15 种. 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区(记为事件 X)的结果有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),,(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1)共 9 种.所

9
以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X)= 15

?

3 5 .????11 分

答:(1)从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,1. (2)这 2 个工厂中至少有

3
1 个来自 A 区的概率为 5 .????12 分 17 【解析】本题主要考查向量的数量积、二倍角的正弦、余弦公式、两角和与的正弦公式、 以及余弦定理的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 解: (1)? f ? x ? ? m ? n ? 3 sin cos ? cos 2
4 4 x x x 4 ? 3 2 sin x 2 ? 1 2 cos x 2 ? 1 ?x ?? 1 ? sin ? ? ? ? , ?? 2 ?2 6? 2

3分 而 f ? x ? ? 1,? sin ? ?
?x ?2

??

1 ?? . 6? 2

?? ? ?x ?? ?x ?? 1 ? cos ? x ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ? . ??6 分 3? 2 6? ? ? ?2 6? 2

(2)? a cos C ? c ? b,? a ?
2

1

a 2 ? b2 ? c2 2 ab

?

1 2

c ? b, 即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc,? cos A ?

1 2

.

又? A ? ? 0, ? ? ,? A ? 又? 0 ? B ?
2? 3 ,?

?
3 ?

????????????9 分
B 2 ?

?
6

?
6

?

?
2

,

? 3? ? f ? B ? ? ? 1, ? . ????????????????12 分 ? 2?

18.【解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、空间直线与直线、直线与平面的位置 关系. 属于基础知识、基本思维的考查. 证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥DN 又 FD⊥AD FD⊥CD, ?FD⊥面 ABCD ?FD⊥AC

?AC⊥面 FDN

GN ? 面FDN

?GN⊥AC??????????????????????6 分
(2)点 P 在 A 点处 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ?G 是 DF 的中点,?GS//FC,AS//CM ?面 GSA//面 FMC GA ? 面GSA 即 GP//面 FMC????????????12 分 19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元, 若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q ( x ) ? 170 ? 0.05 x ,试问生 产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本) 【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.

?GA//面 FMC

P ( x) ?
解:(Ⅰ)

12500 x

? 40 ? 0.05 x
???????????????3 分

由基本不等式得 P ( x ) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500
当且仅当

x

? 0.05x

,即 x ? 500 时,等号成立

????????5 分

P ( x) ?


12500 x

? 40 ? 0.05 x

,成本的最小值为 90 元. ????????6 分

(Ⅱ)设总利润为 y 元,则

y ? xQ ( x ) ? xP ( x ) ? ?0.1x 2 ? 130 x ? 12500 ? ?0.1( x ? 650 ) 2 ? 29750
当 x ? 650 时,

ymax ? 29750

????????????????????11 分

答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.? ??12 分 20.【解析】 解: (1) an ? 5分 ∴数列 an 是以公比为 (2)∵ an ?1 ?an ? ? xn ?1 , y n ?1 ? ? ∴? n =

?? ?

1 2

? xn ?1 ? yn ?1 ?

2

? ? xn ?1 ? y n ?1 ? ?
2

2 2

2 2 xn ?1 ? y n ?1 ?

2 ???? an ?1 ? n ? 2 ? ?? 2

? ?

?? ?

2 2

?? ,首项为 a1 ?

2 的等比数列;??? ??6 分

???? ?? ?

1 2

? xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ? ?

1 2

? xn2?1 ? yn2?1 ? ?

1 ???? 2 an ?1 , 2

? ,?????????????????? ?????9 分 4 ? n? ∴ bn = 2 n ? ? 1 ? ? 1 ,?????????? ???????11 分 4 2
∴ Sn ? ?

?? ? ? 2? ? ? n? ? ? ? 1? ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? 1 ? ? ? n 2 ? n ? ? n ? ???13 分 ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? 4 。

? 21.(本题满分 14 分)【答案】解:(1) f ? x ? ? ln x ? 1, x >0.????????1 分
1 1 , f ?? x ? , f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > e 而 <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < e
? 1? ?1 ? ? 0, ? ? , ?? ? ? 上单调递增.??????3 分 所以 f ? x ? 在 ? e ? 上单调递减,在 ? e

x?
所以 (2)设切点坐标为

1

e 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在.???????4 分

? x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ? 1,

所以切线 l 的方程为

y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1?? x ? x0 ?.

????????5 分

又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以有 解得

? 1 ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??0 ? x0 ?.

x0 ? 1, y 0 ? 0.

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. ??????????????????8 分

? (3) g ? x ? ? x ln x ? a ? x ? 1? ,则 g ? x ? ? ln x ? 1 ? a. g ?? x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0< x < e a ?1 , g ?? x ? >0 ? x > e a ?1 ,
所以 g ? x ? 在 0, e ①当 e
a ?1

?

a ?1

?上单调递减,在 ?e

a ?1

,?? 上单调递增.??????9 分

?

? 1, 即 a ? 1 时, g ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增,

所以 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?1? ? 0. ???????????????10 分 ②当 1< e
a ?1

<e,即 1<a<2 时, g ? x ? 在 1, e

?

a ?1

? 上单调递减,在 ?e

a ?1

, e 上单调递增.

?

g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?e a ?1 ? ? a ? e a ?1 . ??????????????12 分
③当

e ? e a ?1 , 即 a ? 2 时, g ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减,

所以 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?e ? ? e ? a ? ae. ????????????13 分 综上,当 a ? 1 时, g ? x ? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e
a ?1



当 a ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e ? ae. ????????????????14 分


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