(重点班)届高三数学一轮复习第十三篇坐标系与参数方程第2节参数方程课时训练理【含答案】


第 2 节 参数方程 【选题明细表】 知识点、方法 参数方程与普通方程互化 参数方程及其应用 极坐标方程与参数方程的综合 题号 1 2,3 4 1.(2016 张掖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,已知 P 点的极坐标为(4 ,),曲线 C 的极坐标方程为ρ +4 2 ρ sin θ =4. (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l: (t 为参数)距离的最大值. 解:(1)已知 P 点的极坐标为(4 ,), , 所以 x=ρ cos θ =6,y=ρ sin θ =2 所以点 P 的直角坐标为(6,2 由ρ +4 得 x +y +4 即 x +(y+2 2 2 2 2 ). ρ sin θ =4, y=4, ) =16, 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x +(y+2 ) =16. 2 (2)由 l: (t 为参数) 可得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0, 由曲线 C 的直角坐标方程 x +(y+2 可设点 Q(4cos θ ,4sin θ -2 ), 2 ) =16, 2 所以点 M 坐标为(2cos θ +3,2sin θ ), 所以点 M 到直线 l 的距离 d= = . 1 当 cos (θ +)=-1 时, d 取得最大值 2+ , . 所以点 M 到直线 l 距离的最大值为 2+ 2.(2016 贵阳一测)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴, 建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 (1)求直线 l 与圆 C 的公共点个数; (2)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换 2 2 (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是ρ =1. 得到曲线 C′,设 M(x,y)为曲线 C′上一点,求 4x +xy+y 的最大值,并求相应点 M 的坐标. 解:(1)直线 l 的参数方程 程ρ =1 化为直角坐标方程是 x +y =1. 因为圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d= 所以直线 l 与圆 C 的公共点的个数是 1. (2)圆 C 的参数方程是 (0≤θ <2π ), =1,等于圆的半径 r, 2 2 (t 为参数)化为普通方程是 x-y- =0,圆 C 的极坐标方 所以曲线 C′的参数方程是 2 2 2 (0≤θ <2π ), 2 所以 4x +xy+y =4cos θ +cos θ ·2sin θ +4sin θ =4+sin 2θ . 当θ =或θ = 时,4x +xy+y 取得最大值 5, 2 2 此时 M 的坐标为( , )或(- ,- ). 3.(2016 保定一模)已知直线 l 在直角坐标系 xOy 中的参数方程为 (t 为参数, α 为倾斜角),曲线 C 的极坐标方程为ρ =4cos θ (其中坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极 轴,取相同单位长度). (1)写出曲线 C 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M,N,设 P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围. 2 解:(1)由曲线 C 的极坐标方程ρ =4cos θ 化为ρ =4ρ cos θ , 2 2 所以 x +y =4x 即为所求直角坐标方程. 2 (2)把直线 l 的参数方程 2 代入 x +y =4x,可得 t +4(sin α +cos α )t+4

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