数学-高考数学知识点总结及解题思路

高中数学第一章-集合 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com 考试内容: 集合、子集、补集、交集、并集. 逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包 含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义. § 01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章 知识主要分 为 集合、简 单不等式的 解法(集合 化简)、简 易逻辑三部 分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B. 如果 A ? B,B ? C,那么A ? C . [注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集, 则集合 A 也是有限集. (×) (例: S=N; A= N ? , 则 CsA= {0}) 第 1 页 共 76 页 ③空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA= ? ,CAB = ? CS(CAB) =D 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R (注: CAB = ? ) . ?二、四象限的点集. ③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ? ?x ? y ? 3 ?2 x ? 3 y ? 1 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是 ? . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? ) 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ③n 个元素的非空真子 集有 2n-2 个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例:①若 a ? b ? 5,则a ? 2或b ? 3 应是真命题. 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ② x ? 1且y ? 2, 解:逆否:x + y =3 ? x ? 1且y ? 2 x ? y ? 3. x = 1 或 y = 2. x ? y ? 3 ,故 x ? y ? 3 是 x ? 1且y ? 2 的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若 x ? 5, ? x ? 5或x ? 2 . 4. 集合运算:交、并、补. 交:A B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并:A B ? {x | x ? A或x ? B} 补:C U A ? {x ?U , 且x ? A} 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系: A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ?U, A ? B, B ? C ? A ? C; A B ? A, A B ? B; A B ? A, A B ? B. (2) 等价关系: A ? B ? A (3) 集合的运算律: 交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) B ? A? A B ? B ?C B ?U UA 第 2 页 共 76 页 0-1 律: ? A ? ?, ? A ? A,U A ? A,U A ?U 等幂律: A ? A ? A, A ? A ? A. 求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ =U 反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式: (1)card ( A B) ? card ( A) ? card ( B) ? card ( A B) (2)card ( A B C ) ? card ( A) ? card ( B) ? card (C ) ? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C ? card ( A B C ) (3) card(?UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式, 并将各因式 x 的系数化 “+” ; (为 了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等 式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间. A) x1 x2 x3 x m-3 - x m-2 x m-1

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