高中数学人教课标版必修四《平面向量基本定理和正交分解及坐标表示》参考课件2_图文

2.3.1~2.3.2 平面向量基本定理和正交分解 及坐标表示 温故知新 向量的加法(三角形法则) a b a+b 向量的加法(平行四边形法则) a a+b b a-b 向量的减法(三角形法则) 向量的数乘运算 对λa a b (1)|λa|=|λ| |a| (2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0 设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb ? ? ? (?? )a ? ?(?a) ? ? (?a) ? ? ? ? ?(a ? b ) ? ?a ? ?b 特别地: 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅 当有且 只有一个实数λ,使得 b=λa 问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东 30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的 方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力 是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动? 问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东 30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的 方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力 是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动? 如果是1只大猴子和4只小猴子呢? 如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改变大小 猴子的数量? C M a e2 e1 N a A B e 1 o e2 OC=OM+ON = xe1+y e2 给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2,其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式? C M a e2 a N A e1 B e 1 o e2 OC=OM+ON = xe1+y e2 平面向量的基本定理 如果e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实 数? 1、 ?2使 a = ?1 e 1+ ?2 e 2 其中不共线的向量e1 ,e2 叫做表示这一平面内 的所有向量的一组基底。 思考:平面内,向量的基底是否唯一? C E M a N F o 例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 . 作法:(1)任取一点o,作OA=-2.5e1,OB=3e2 (2)作 OACB.于是OC就是所求作的向量. C e1 e2 A -2.5e1 O B 3e2 e2 a e2 N C e1 e1 o a M OC=OM+ON = xe1+y e2 平行四边形做法唯一,所以实数对x,y存在唯一 对定理的理解: 1)基底:不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解 成两个向量的和的形式; 3)分解是唯一的 思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北偏东30°方 向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉, 已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿, 问这筐桃子往正北运动,要几只小猴子? ? 30° 30° 向量的夹角 已知两个非零向量a和b如图, 则∠AOB=θ (0 ° ≤θ≤180°) 叫做向量的夹角 当θ =0° 时,a与b同向 o 当θ =180°时, a与b反向 共起点 b θ a B A a与b的夹角是90 °,则a与b垂直,记作a⊥b A 思考:正△ABC中,向量 AB与BC的夹角为几度? B D C 例2.如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB延长线 上,AB=BM,点N是BC中点,用向量方法证明:M、N、D三点 共线 D C N A B M 平面内的所有向量都可以用一组基底来表示 ,这 为我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法 :将 其他向量化到基底上进行运算,证明. 例3. 设 a、b是两个不共线的向量,已知 CB = a + 3b, CD = 2a – b, AB = 2a + kb, 若A、B、D三点共线,求k的值。 把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正 交分解。 分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为基底?任一向量a ,用这组基底可表示为有 且只有一对实数x、y,使得a =xi + yj. (x,y)叫做向量a的坐标,记作 y a j O i a=( x , y ) 那么i =( 1 , 0) j =( 0 ,1 ) 0) 0 =( 0 , x 把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解。 分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作 为基底?任一向量a ,用这组基底可表示为有且只有一对实 y 数x、y,使得 a =xi + yj. a (x,y)叫做向量a的坐标,记作 j a=( x , y ) x O i 那么i =(1 , 0) 1 ) 0 =( 0 ,0) j =( 0 , 课堂小结: 1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实 数?1、?2使 a = ?1e 1+ ?2e 2 2.向量的夹角:共起点的两个向量形成的角 3.基本定理的应用 ?? ? x ? e1+ μe2= xe1+ ye2 ? ? ?? ? y 4.向量的坐标表示 把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向 量正交分解。 分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、 j 作为基底,任一向量a ,用这组基底可表示为a =xi + yj, (x,y)叫做向量a的坐标 a e2 e1 a e1 e2 a e2 e1 a e1 e2

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