qwx2.3等差数列前n项和公式(二)_图文

(二 )
张家界市第一中学 高一数学组

一.复习回顾
等差数列前n项和公式

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证用的是倒序相加法 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知 道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.

等差数列的前n项和公式:

形式1:

n(a1 ? an ) Sn ? 2

形式2: n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n(n ? 1) n(a1 ? an ) ? na ? d ? 1 sn 2 2
n

a

n

a

1

等差数列前n项和公式:
可以看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2


d d A ? , B ? a1 ? 2 2 则

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2
Sn=An2+Bn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;
2+bn S = an ②{an}为等差数列? n ,这 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” ( 注意 a 还可以是 0)
6

二.应用举例

例1. 已知一个等差数列的前10项的和是310,
前20项的和是1220,求Sn. 解: S =310,S =1 220
10 20

?10a1 ? 245d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1 220

n( n ? 1) 2 S n ? 4n ? ? 6 ? 3n ? n 2

? a1 ? 4, d ? 6

例2. 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?
解: 由等差数列的性质可得:

答:前16项的和为144。

a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(18/2 )× 16=144

已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?

例3.已知数列?an ?

1 的前n项和为 Sn ? n ? n 2
2

,求这个数列的通项公式.这个数列是等 差数列吗?如果是,它的首项与公差分别

是什么?

书本P45第2题

例4.己知等差数列
5,
2 4 4 , 3 ,… 7 7

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的项数n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n ? 为 7,所以sn= 2

[2×5+(n-1)( ?
7 5n ? 5n 2 14

5 7

)]
15 2 1125 n- 2 ) + 56

=

=

?

5 ( 14

例5. 已知数列{an}中Sn=2n2+3n,
求证:{an}是等差数列.

,n ?1 ? a1 an ? ? ?S n ? S n ?1 , n ? 2
当用第二个式子求出来的an可以表示a1 时,只用第二个式子表示,当用第二个式 子求出来的an不能表示a1时,分开表示

等差数列的前n项的最值问题 例6.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例6.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例6.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ?an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n ?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn ? n ? (a1 ? )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ?a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2.结合二次函数图象和性质求

d 2 d S n ? n ? ( a1 ? ) n 2 2
的最值.

3.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有

性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也成等差数列.
性质2:两等差数列{an} 、{bn}的前n项和
S 7 n ? 1 n 分别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27

a5 an 求 和 . a5 64 b5 bn ? b5 63

an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

作 业 P45 练习:2, 3
P46
习题2.3 A组:5,6 B组2,4


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