2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第46讲两条直线的位置关系_图文

两直线的位置关系
【例1】 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+ my-1=0,试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

【解析】(1)由条件知 m2-8+n=0,且 2m-m-1=0, 所以 m=1,n=7. (2)由 m·m-8×2=0,得 m=±4. 由 8×(-1)-n·m≠0,得???mn≠=-4 2 或???mn≠=2-4 . 即 m=4 且 n≠-2 时,或 m=-4 且 n≠2 时,l1∥l2.

(3)当且仅当 m·2+8·m=0, 即 m=0 时,l1⊥l2, 又-8n=-1,所以 n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

若直线 l1、l2 的方程分别为 A1x+B1y+C1 =0 与 A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2 的充要条件 是 A1B2-A2B1=0 且 A1C2≠A2C1;而 l1⊥l2 的 充要条件是 A1A2+B1B2=0.

【变式练习1】
集合A={(x,y) | y ? 3=a+1}, x?2
B={(x,y) | (a2-1)x+(a-1) y=15},
当a为何值时,A B= ??

【解析】注意到集合A表示直线(a+1) x-y-2a+1
=0(除去点? 2, 3?),
故两直线平行,则应有(a2-1) ? (-1)=(a-1) ? (a+1),
所以a=? 1,若直线B过?2,3?点, 则将点?2,3?代入(a2-1)x+(a-1) y=15,
得a=-4或 5 2
综上,当a=? 1,或a=-4或 5时,A ? B=? 2

对称问题
【例2】 一条光线经过点P(2,3),射在直线l:x+y+1 =0上,反射后穿过点Q(1,1). (1)求光线的入射光线方程; (2)求这条光线从P到Q的长度.

【解析】先求出Q关于直线l 的对称点Q′的坐标,从而 可确定过PQ′的直线方程. (1)设点Q′(x′,y′)为Q关 于直线l的对称点,且QQ′交l于M点,因为kl= -1,所以kQQ′=1, 所以QQ′所在直线方程为x-y=0.

由??? xx

? ?

y y

? ?

1? 0

0

得点M

坐标为(?

1 2

,

?

1 ),又因为M 2

为QQ?中点,

?
故由???
? ??

1 2 1 2

(1 (1

? ?

x y

') ')

? ?

? ?

1 2 1 2

, Q?(-2,-2).

设入射光线与l交点为N,且P,N,Q?共线,

得入射光线方程为 y ? 2 ? x ? 2,即5x-4y+2=0. 3?2 2?2
?2?因为l是QQ?的垂直平分线,因而:NQ =| NQ? |,所以

PN + NQ = PN +| NQ? |=| PQ?= ?3 ? 2?2 ? ?2 ? 2?2= 41

即这条光线从P到Q的长度是 41

无论是求曲线关于直线的对称方程, 还是解答涉及对称性的问题,关键在于 掌握点关于直线的对称点的求法.

【变式练习2】 有一条光线从点A(-2,1)射到直线l:x- y=0上后再反射到点B(3,4),求反射光 线的方程.

【解析】设点A关于直线l的对称点A?的坐标为(a,b),

则有

? ?? ? ? ??

b a a

?1 ?2 ?2 2

?1 ? ?1 ? b?1 ?
2

,解得 0

?a ??b

? ?

1 ?2

即A?的坐标为(1,-2),又反射光线经过点B,

则得反射光线的方程为3x-y-5=0.

直线过定点问题
【例3】 当实数a变化时,直线l1:(2a+1)x+(a+1)y+(a-1) =0与直线l2:m2x+2y+2n-6=0都过同一个定点. (1)当实数m、n变化时,求P(m,n)所在曲线C的方程; (2)过点(-2,0)的直线l与(1)中所求曲线C交于E、F两点, 又过E、F作曲线C的切线l1、l2,当l1⊥l2时,求直线l 的方程.

【解析】?1? l1:(2x+y+1)a+( x+y-1)=0.



?2 ?? x

x? ?y

y ?1 ? 0,得 ?1? 0

? ? ?

x y

? ?

?2, 3

所以直线l1过点(-2, 3).

因为点(-2, 3)在直线l2上,

所以-2m2+6+2n-6=0,

所以n=m2,即点P在曲线C:y=x2上.

所以曲线C的方程为y=x2.

?2?设直线l的方程为y=k(x+2),E(x1,y1),F (x2,y2 )

因为y=x2,所以y?=2x,所以两切线的斜率为2x1、2x2.

由??x2 ? y

,得x2-kx-2k=0.

? y ? k(x ? 2)

则?=k 2+8k ? 0,x1+x2=k,x1x2=-2k.

当l1

? l2时,2x1

2x2=-1,所以-8k=-1,得k=

1 8

符合? ? 0.

所以直线l的方程为y=1 (x+2),即x-8y+2=0. 8

(1) 对 求 动 直 线 过 定 点 的 问 题 , 也 可 以对参数a取两个不同值后得到的两直线, 求出它们的交点,得到定点坐标;
(2)曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线l 的斜率k=f'(x0).

【变式练习3】 已知直线l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点 P(3,4). (1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方 程.

【解析】?1? 将直线l的方程化为:a(2x+y+1)+b( x+

y-1)=0,所以无论a,b如何变化,该直线系都恒

过直线2x+y+1=0与直线x+y-1=0的交点.

由???2x x??y

y ? 1 ? 0,得 ?1? 0

? ? ?

x y

? ?

?2 3

所以直线l过定点Q(-2, 3)

?2?当l ? PQ时,点P到直线l的距离最大,

此时直线l的斜率为-5,

所以直线l的方程为y-3=-5( x+2), 即5x+y+7=0.

1. 设 A = {(x , y)|y = - 4x + 6} , B = {(x , y)|y=3x-8},则A∩B=__{_(_2_,__-__2_)_} __

【解析】A

B={(

x,y)

|

? ? ?

y y

? ?

?4x ? 3x ? 8

6 }

={(2,-2)}

2.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+ 3y + 2a = 0 , 则 l1∥l2 的 充 要 条 件 是 a = ____-__1____.
【解析】根据题意得 ???2aa(a??62()a??32), 解得a=-1.

3.点 A(1,2)在直线 l 上的射影为 B(- 1,4),则 l 的方程为 x-y+5=0 .

4.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它 与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差最 大,则 P 点坐标是 P(5,6) .

5.已知三条直线l1:2x-y+a=0?a ? 0?,直线l2:-4x+

2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是

75 10

?1?求a的值;

? 2 ?能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:

①P是第一象限的点;

②P点到l1的距离是P点到l2的距离的

1 2



③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是 2∶ 5; 若能,求P点坐标;若不能,说明理由.

【解析】?1?由l2:2x-y-

1 2

=0,所以l1与l2的距离

| a ? ?? 1 ? |

d=

2

?7

5

22 ? ??1?2 10

化简得:| a+1 |=7,因为a ? 0,所以a=3. 22

?2?设点P(x0,y0 ),若P点满足条件②,则P点在与l1,l2

平行的直线系l:2x-y+c=0(c ? 3,且c ? -1)上, 2



|

c

?

3

|=|

c

?

1 2

|,即c=13

或c=11

5

5

2

6

所以2x0-y0+123=0或2x0-y0+161=0.

若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,有:

| 2x0 ? y0 ? 3 |= 2 | x0 ? y0 ? 1|

5

5

2

即 | 2x0-y0+3 |=| x0+y0-1| ,所以x0-2y0+4=0, 或3x0+2=0,由P在第一象限,所以3x0+2=0不可能,

由方程组:???2x0-y0+123 ? ?? x0-2y0+4=0

0

?

? ?

x0

?

?? y0

? ?

?3 1 (舍去),
2

由???2x0-y0+121 ? ?? x0-2y0+4=0

0



? ?? ? ? ??

x0 y0

? ?

1 9 37 18

,所以P(

1 9

,37 18

),

即为同时满足三个条件的点.

1.?1? 两条直线平行:
l1 l2 ? k1=k2两条直线平行的条件是: ①l1和l2是两条不重合的直线; ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.
因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个
“ 前提”都会导致结论的错误.
推论:如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,? 2 , 则l1 l2 ? ?1=?2.

? 2 ? 两条直线垂直:
两条直线垂直的条件:
①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2, 则有l1 ? l2 ? k1k2=-1这里的前提是l1,l2的 斜率都存在.
②l1 ? l2 ? k1=0,且l2的斜率不存在或 k2=0,且l1的斜率不存在.

2.点到直线的距离公式:设点P(x0,y0),则

距离 点P到直线Ax+By+C=0

公式
d=| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

点P到直线x=a 点P到直线y=b

d=|x0-a| d=|y0-b|

与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By +C1=0(C1为参数且C1 ? C),与直线Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx-Ay+C2=0(C2为参数).
3.用公式d= | C1 ? C2 | 求两平行线的距离时, A2 ? B2
要先将两个方程中x、y项系数化为相同. 4.解决对称问题的常用方法是:待定系数法、
轨迹法.


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