四川省资阳市2013届高三第一次模拟考试 数学文 Word版含答案


资阳市高中 2013 级第一次高考模拟考试

数 学(文史财经类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 用 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回. 参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R 2 (其中 R 表示球的半径) 4 球的体积公式 V ? ? R3 (其中 R 表示球的半径) 3 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目的要求的. 1.已知全集 U=N,集合 A ? {1,3,5,7,9} , B ? {0,3,6,9} ,则 A ? (? N B) ? (A) {1, 2,3} (B) {1,3,9} (C) {3,5,7} (D) {1,5,7}

2.已知 i 是虚数单位,复数 z ? (m2 ? 4) ? ? m ? 2? i (其中 m ? R )是纯虚数,则 m= (A)-2 (B)2 (C) ?2 (D) ?4
1 1

3.已知命题 p:“若直线 ax+y+1=0 与直线 ax-y+2=0 垂直,则 a=1”;命题 q:“ a 2 ? b 2 ” 是“ a ? b ”的充要条件,则 (A)p 真,q 假 (B)“ p ? q ”真 (C)“ p ? q ”真 (D)“ p ? q ”假

4.当前,某城市正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题.已知甲、乙、 丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户,若第一批经济适用房中有 90 套住 房用于解决这三个社区中 90 户低收入家庭的住房问题,先采用分层抽样的方法决定各社区户 数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为 (A)40 (B)36 (C)30 (D)20

5.在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 (A)

1 2

(B)1

(C)2

(D)4

??? ? ??? ? ??? ? 6.已知向量 a,b 不共线,设向量 AB ? a ? kb , CB ? 2a ? b , CD ? 3a ? b ,若 A,B,D

三点共线,则实数 k 的值为 (A)10 (B)2

(C)-2

(D)-10

7.如果执行右面所示的程序框图,那么输出的 S ? (A)2352 (B)2450 (C)2550 (D)2652
? y ? 0, y ?1 ? 8.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0, 则 的取值范围 ? 2 x ? y ? 2, x ? 1 ?



1 (A) [? ,1) 4

(B) ( ?1,1)

1 (C) [? ,1) 2

1 (D) [? , 2) 2

9.已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? (A) 30? (B) 60?

2 3 | a | ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为 3

(C) 120?

(D) 150?

?3x , x ? 0, ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x) ? t ( t ? R ) .关于函数 g ( x) ?log3 (? x), x ? 0, ?

的零点,下列判断不正确的是 ... (A)若 t ? ?2 , g ( x) 有四个零点 (C)若 ?2 ? t ?

(B)若 t ? ?2 , g ( x) 有三个零点 (D)若 t ?

1 , g ( x) 有两个零点 4

1 , g ( x) 有一个零点 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接答在此试题 卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题目中的横线 上. 1 11.若关于 x 的不等式 x2 ? (2 ? m) x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 2} ,则实数 m=______. 2 12. 在钝角△ABC 中, b, 分别为角 A、 C 的对边, a, c B、 b=1, c= 3 , ∠B=30° 则△ABC , 的面积等于___________. 13.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2 x ? b (其中 b 为常数) , 则 f (?1) ? ___________. 14. P 是双曲线 x2 ? 设

y2 右焦点, 若△ PF1 F2 ? 1 上的一点,F1 、F2 分别是该双曲线的左、 12

的面积为 12,则 ?F1 PF2 ? _________. 15 . 若 函 数 y ? f ( x) 对 定 义 域 的 每 一 个 值 x1 , 在 其 定 义 域 内 都 存 在 唯 一 的 x 2 , 使
f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立, 则称该函数为“依赖函数”. 给出以下命题: y ? x 是“依赖函数”; y ? ① ②

1 x

是“依赖函数”; y ? 2 x 是“依赖函数”; y ? ln x 是“依赖函数”; y ? f ( x) ,y ? g ( x) 都是“依 ③ ④ ⑤ 赖函数”,且定义域相同,则 y ? f ( x) ? g ( x) 是“依赖函数”. 其中所有真命题的序号是________________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时 间进行了一次社会实践活动,且每个小组有 5 名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该 班的所有同学都进行了测评,该班的 A、B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如 图所示,其中 B 组一同学的分数已被污损,但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分. (Ⅰ)若在 B 组学生中随机挑选 1 人,求其得分超过 85 分的概率; (Ⅱ)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m,n,求 | m ? n |? 8 的概率.

17. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 6 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; 1 ? 1 ? (Ⅱ)若 f ( ? ? ) ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f (? ) 的值. 2 6 3 2 18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) bn ?n n ? l g a n , 令 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 求使不等式 Tn ? (n ? 1)(Sn ? 2) ? 43 ? 0 a o 1
2

?

成立的正整数 n 的最小值.

19. (本小题满分 12 分)如图,边长为 a 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 AB、BC 上, 1 且 BE ? BF ? BC ,将△AED、△CFD 分 2 别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于 点 A? ,连结 A?B. (Ⅰ)判断直线 EF 与 A?D 的位置关 系,并说明理由; (Ⅱ)求四棱锥 A?-BEDF 的体积.

20. (本小题满分 13 分)如图,已知点 M 在圆 O: x2 ? y 2 ? 4 上运动,MN⊥y 轴(垂足 为 N) ,点 Q 在 NM 的延长线上,且 | QN |? 2 | MN | . (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹方程; 1 (Ⅱ)直线 l : y ? x ? m 与(Ⅰ)中动点 Q 的轨迹交于两个不 2 | 同的点 A 和 B, O 上存在两点 C、 满足 | CA |?| CB | , DA |?| DB | . 圆 D, (ⅰ)求 m 的取值范围; | CD | (ⅱ)求当 取得最小值时直线 l 的方程. | AB |

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a (其中 a>0) ,函数 f ( x) 的图象在与 y 轴交点处的切线为 l1,函数 g ( x) 的图象在与 x 轴的交点处的切线为 l2,且直线 l1∥l2. (Ⅰ)求切线 l1 与 l2 的距离; x ?m ? x0 ,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 ?x0 ,满足 0 f ( x0 ) (Ⅲ)当 x ? 0 时,试探究 | f ( x) ? g ( x) | 与 2 的大小,说明你的理由.

资阳市高中 2013 级第一次高考模拟考试

数学(文史财经类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.

1-5. DBDCC;6-10.BCCBA. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 3 ? 11.3; 12. ; 13.-3; 14. ;15.②③. 4 2 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 16.解析: (Ⅰ)A 组学生的平均分为 , ? 85 (分) 5 91 ?93 ? ? x 75 83 ? ∴B 组学生平均分为 86 分,设被污损的分数为 x,由 ? 86 ,∴ x ? 88 , 5 故 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75, ··················4 分 ··········· ······· ·········· ······· 3 则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? . ·············6 分 ··········· ·· ·········· ·· 5 (Ⅱ)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学, 其分数组成的基本事件(m, n)有(94,88), (94,86), (94,80), (94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共 10 个, ········ 8 分 ········ ········ 随机抽取 2 名同学的分数 m,n 满足 | m ? n |? 8 的事件(94,88),(94,86),(88,86),(88,80), (86,80),(80,77)共 6 个. ·································· 分 ································· 10 ·········· ··········· ··········· · 6 3 故学生得分 m,n 满足 | m ? n |? 8 的概率 P ? ? . ················12 分 ··········· ····· ·········· ····· 10 5 17.解析: f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 6 ? ? 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) . ······· 分 = cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? sin 2 x ? ······ 2 ······ 6 6 2 2 3 ? ? ? 5? ? (Ⅰ)令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ?Z ,则 k? ? ? x ? k? ? , k ?Z , 2 3 2 12 12 5? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为 [k? ? ··········· ··· ·········· ···· , k? ? ](k ?Z). ·············· 4 分 12 12 1 ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( ? ? ) ? sin ? ? , 2 6 3 2 2 ? ∵ ? ? ( , ? ) ,∴ cos ? ? ? , ··········· ··········· ···· 6 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 3 2 1 2 2 4 2 2 2 2 7 )?? ) ? 1 ? , ··········10 分 故 sin 2? ? 2 ? ? (? , cos 2? ? 2( ? ·········· ········· 3 3 9 3 9 ? 1 3 1 4 2 3 7 7 3?4 2 cos 2? ? ? (? )? ? ? ∴ f (? ) ? sin(2? ? ) ? sin 2? ? . ·12 分 · 3 2 2 2 9 2 9 18 18.解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2 ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , ∴ an ? 2an ?1 ,故数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列, 故 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ··································4 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? n ? 2n ? log 1 2n ? n ? 2n ? n ,
2

?

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) , ······· 5 分 ······· ·······
2

令 Rn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , 则 2Rn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 1? 2 ∴ Rn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ,································· 分 ··········· ·········· ··········· 7 ·········· ··········· ···········
两式相减得 ?Rn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?

n(n ? 1) , ··········· ······· 8 分 ··········· ······· ·········· ········ 2 又由(Ⅰ)得, Sn ? 2an ? 2 ? 2n?1 ? 2 ,······················· 9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· n(n ? 1) 不等式 Tn ? (n ? 1)(Sn ? 2) ? 43 ? 0 即为: (n ? 1)2n?1 ? 2 ? ? (n ? 1)2n?1 ? 43 ? 0 , 2 ∴ n2 ? n ? 90 ? 0 ,··································· 分 ·································· 10 ·········· ··········· ··········· ·· 解得 n ? 9 或 n ? ?10 ,································· 分 ································ 11 ·········· ··········· ··········· * 因为 n ? N ,故使不等式 Tn ? (n ? 1)an?1 ? 43 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 10. ·12 分 · 19.解析: (Ⅰ)A?D⊥EF. ····························· 1 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 证明如下: 因为 A?D⊥A?E,A?D⊥A?F, 所以 A?D⊥面 A?EF,又 EF?面 A?EF, 所以 A?D⊥EF. ··········· ·········· · ·········· ··········· ? 直线 EF 与 A?D 的位置关系是异面垂直······················4 分 2a a a (Ⅱ)设 EF、BD 相交于 O,连结 A?O. BF ? ,A?E=A?F= ,EF= , 2 2 2 则 EF 2 ? A?E 2 ? A?F 2 ,所以△A?EF 是直角三角形, 1 2 3 3 2 a , OD ? BD ? a, 则 OA? ? EF ? 2 4 4 4 1 ∴ sin A?DB ? ,作 A?H ? BD 于 H,可得 A?H ⊥平面 3 BEDF,设 A?到面 BEDF 的距离为 d, a 则 d ? A?D ? sin A?DB ? , 3 则四棱锥 A?-BEDF 的体积 1 1 1 2a a a3 ? 2a ) ? ? V 四棱锥 A?-BEDF ? ? S BEDF ? d ? ? ( ? .················ 12 分 ··········· ····· ·········· ······ 3 3 2 2 3 18 1 1 a a a3 【另解:V 三棱锥 A?-DEF=V 三棱锥 D-A?EF ? ? ( ? ? ) ? a ? , 3 2 2 2 24 S OD 1 ? 3 ,∴V 三棱锥 A?-BEF= V 三棱锥 A?-DEF, ∵ ?DEF ? S ?BEF OB 3 ∴四棱锥 A?-BEDF 的体积 V 四棱锥 A?-BEDF=V 三棱锥 A?-BEF+V 三棱锥 A?-DEF 4 a3 a3 1 4 ·········· 12 ·········· ? V 三棱锥 A?-DEF +V 三棱锥 A?-DEF ? V 三棱锥 A?-DEF ? ? ? 】 ··········· 分 3 3 3 24 18 20.解析: (Ⅰ)设动点 Q( x, y ) ,点 M ( x0 , y0 ) ,
∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ?
2 2 因为点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 ? y0 ? 4 , 因为 | QN |? 2 | MN | ,所以 x ? 2 x0 , y ? y0 ,

把 x0 ?

x2 y 2 x 2 2 , y0 ? y 代入 x0 ? y0 ? 4 得动点 Q 的轨迹方程为 ? ······ ····· ? 1 . ······4 分 2 16 4

1 ? ? y ? 2 x ? m, (Ⅱ) (ⅰ)联立直线 l 与(Ⅰ)中的轨迹方程得 ? 2 ∴ x2 ? 2mx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ? x y2 ? ? ? 1, ?16 4 ?

由于有两个交点 A、B,故 ? ? 0 ,解得 | m |? 2 2 ,

① ··········· ··· 5 分 ··········· ··· ·········· ····

x1 ? x2 ? ? x3 ? 2 ? ?m, ? 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 的中点 E ( x3 , y3 ) , AB 由根与系数的关系得 ? ? y ? 1 ? ( ? m) ? m ? m , ? 3 2 ? 2 m 3m 故 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? ?2( x ? m) ,即 2 x ? y ? ········ ······· ? 0 . ········6 分 2 2 由圆 O 上存在两点 C、D,满足 CA ? CB , DA ? DB ,可知 AB 的垂直平分线与圆 O

3m | 2 ? 2 ,解得 | m |? 4 5 , ② 交于 C、D 两点,由直线与圆的位置关系可得 3 5 |

由①、②解得 | m |? 2 2 , ··········· ·········· ··· 8 ·········· ··········· ··· ? m 的取值范围是 ?2 2 ? m ? 2 2 . ························· 分 ? x1 ? x2 ? ?2m, ? (ⅱ)由(ⅰ)知 ? 所以 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 2 ? x1 x2 ? 2m ? 8, ?
1 5 ? 1 ? ( )2 ? 4m2 ? 4(2m2 ? 8) ? ? 32 ? 4m2 , ·················· 分 ················· 10 ·········· ······· 2 2

3m | | 80 ? 9m2 3m 2 又直线 2 x ? y ? , ····11 分 ···· ··· ? 0 与圆的相交弦 | CD |? 2 2 ? ( 2 )2 ? 2 20 2 5

?

| CD | ? | AB |

2

80 ? 9m2 20

5 ? 32 ? 4m2 2

?

2 80 ? 9m2 2 9 2 , ? ? 5 32 ? 4m2 5 4 8 ? m2
| CD | 2 9 2 ? ? 取得最小值, ·· 分 · 12 · | AB | 5 4 8 ? m2

由(ⅰ) ?2 2 ? m ? 2 2 ,故当 m ? 0 时, 故直线 l 方程为 y ?

1 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· x . ·······························13 分 2 1 21. 解析:Ⅰ)f ?( x) ? ae x , ?( x) ? , ( 函数 y ? f ( x) 与坐标轴的交点为 (0, a) , 函数 y ? g ( x) g x 1 与坐标轴的交点为 (a, 0) ,由题意得 f ?(0) ? g ?(a) ,即 a ? ,又 a ? 0 , a ∴ a ? 1 . ··········· ··········· ·········· ········ 分 ··········· ·········· ··········· ······· 2 ·········· ··········· ··········· ······· ∴ f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x ,所以函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象与其坐标轴的交点处的切 线方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 , ························ 3 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
∴两条平行线间的距离为 2 . ···························· 分 ··········· ·········· ······ 4 ·········· ··········· ······ x?m x?m ? x 得 x ? x ,故 m ? x ? x ? e x 在 [0, ??) 上有解, (Ⅱ)由 f ( x) e 令 h( x) ? x ? x ? ex ,只需 m ? h( x)max . ······················· 6 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ·· ①当 x ? 0 时, h( x) ? x ? x ? ex ? 0 ,所以 m ? 0 ; ②当 x ? 0 时,∵ h?( x) ? 1 ? ( ∵ x ? 0 ,∴
1 ? x?2
ex 2 x ? x ? ex ) ? 1 ? ( 1 2 x ? x )e x ,

2 x 1 ? x )e x ? 0 ,即函数 h( x) ? x ? x ? e x 在区间 [0, ??) 上单调递减, 故 h?( x) ? 1 ? ( 2 x

1 1 ? x )e x ? 2 , ? 2 , e x ? 1 ,∴ ( 2 2 x

所以 h( x)max ? h(0) ? 0 ,此时 m ? 0 . 综合①②得实数 m 的取值范围是 (??,0) . ······················ 分 ··········· ·········· 9 ·········· ··········· (Ⅲ)当 x ? 0 时, | f ( x) ? g ( x) |? 2 ,理由如下: 方法一、由题 | f ( x) ? g ( x) |? e x ? ln x , x ? (0, ??) ,令 F ( x) ? e x ? ln x , 1 1 1 则 F ?( x) ? e x ? ,设 x ? t 是方程 F ?( x) ? e x ? ? 0 的根,即有 et ? ? 0 x x t 则当 x ? (0, t ) 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? (t , ??) 时, F ?( x) ? 0 . ∴ F ( x) 在 (0, t ) 上单调递减,在 (t , ??) 上单调递增, 1 ∴ F ( x)min ? et ? ln t ? et ? ln t ? et ? t ,························ 分 ······················· 12 ·········· ··········· ·· e 1 1 ∵ F ?(1) ? e ? 1 ? 0 , F ?( ) ? e ? 2 ? 0 ,∴ ? t ? 1 , 2 2 1 1 1 1 故 F ( x) min ? et ? t ? e 2 ? ? e ? ? 2.25 ? ? 2 , 2 2 2 所以对于 ?x ? (0, ??) , | f ( x) ? g ( x) |? 2 .······················14 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 方法二、由题 | f ( x) ? g ( x) |? e x ? ln x , x ? (0, ??) ,令 F ( x) ? e x ? ln x , x ? (0, ??) , 令 F1 ( x) ? e x ? x , x ? (0, ??) ; F2 ( x) ? x ? ln x , x ? (0, ??) , ··········· 12 分 ··········· ·········· · 1 x ?1 ∵ F1?( x) ? e x ? 1 , F2?( x) ? 1 ? ? , x x ∴ F1 ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, F2 ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, ∴ F1 ( x) ? F1 (0) ? 1 , F2 ( x) ? F2 (1) ? 1 , ∴ F ( x) ? ex ? ln x ? e x ? x ? x ? ln x ? F1 ( x) ? F2 ( x) ? 2 , 所以对于 ?x ? (0, ??) , | f ( x) ? g ( x) |? 2 .······················14 分 ··········· ·········· · ·········· ···········


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