www.bjbufa.com:高中数学教案 必修4教案 第二章 平面向量 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
三维目标:
1、知识与技能:
(1)理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义; (2)掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; (3)理解平面向量的数量积与向量投影的关系; (4)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表
示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法 (1)在学习和运用向量的数量积的过程中,进一步体会平面向量本质及它与生活和自
然科学联系,认识事物的统一性,并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想 方法; (2)培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神,培养 学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。 (3)通过对向量的数量积的探究、交流、总结,从各角度、用各方法来体会向量之间 的关系和作用,不断从感性认识提高到理性认识,。 3、情态与价值观 (1)通过用向量数量积解决问题的思想的学习,使学生加深认识数学知识之间的联系,
体会数学知识抽象性、概括性和应用性,培养起学生学习数学的兴趣,形成学数
学、用数学的思维和意识,培养学好数学的信心,为远大的志向而不懈奋斗。 (2)通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索,不断培养自主学习、主动
探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,并提高参与意识 和合作精神;
教学重点:
平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)
教学难点:
平面向量的数量积与向量投影的关系; 运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学过程:
一、情景导入、引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结 果是什么 ? 期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按
照怎样的顺序研究了这种运算的?
期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向
量数量积的物理背景及其含义
二、合作探究,精讲点拨
探究一:数量积的概念
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1、给出有关材料并提出问题 3: F
(1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S,

那么力 F 所做的功:W= |F| |S| cosα 。

(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 量,

α

S

②F(力)是 量,

③S(位移)是 量,

④α 是



(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

2、明晰数量积的定义

(1) 数量积的定义:

已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b b︱cos? 叫做

a 与 b 的数量积(或内积),记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos?
(2)定义说明:

①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“? ”代替。
② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。

(3)提出问题 4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小 的因素有哪些?
期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不

仅和向量 a 与 b 的模有关,还和它们的夹角有关。

(4)学生讨论,并完成下表:

? 的范围

0°≤? <90°

a · b 的符号

? =90°

0°<? ≤180°

(5)探究题组一 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b

的夹角是 60°时,分别求 a · b .

解:①当 a ∥ b 时,若 a 与 b 同向,则它们的夹角 θ =0°,

∴ a · b =| a |·| b |cos0°=3×6×1=18;

若 a 与b反向,则它们的夹角 θ =180°,
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∴ a · b =| a || b |cos180°=3×6×(-1)=-18;
②当 a ⊥ b 时,它们的夹角 θ =90°,
∴ a · b =0;
③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有
a · b =| a || b |cos60°=3×6× 1 =9 2
评述: 两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当 a ∥ b
时,有 0°或 180°两种可能. 探究二:研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念:
如图,我们把│ b │cos? (│ a │cos? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=︱│ b │︱cos?
注:投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当 ?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.
2.提出问题 5:数量积的几何意义是什么?
期望学生回答:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影 ︱ b ︱cos? 的乘积。
探究三:探究数量积的运算性质 1、数量积的性质 性质:若a和b均为非零向量
(1)a⊥b ? a·b=0 (垂直)
(2)a与b同向时,a·b =︱a︱·︱b︱,a与b 反向 时,a·b =-︱a︱·︱ b︱
特别地:a·a=︱a︱2 = a ? a (长度) (3)cosθ = a ? b (夹角)
a?b
(4)︱a·b︱ ≤︱a︱·︱b︱(注意等号成立的条件)
2、探究题组二(师生共同完成)已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求 ( a +2 b )·( a -3 b ),并思考此运算过程类似于实数哪种运算?
解:( a +2 b )·( a -3 b )= a . a -3 a . b +2 a . b -6 b . b
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=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72 评述:可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式:(1)( a + b )2= a 2+2 a · b + b 2

(2)( a + b )·( a - b )= a 2— b 2

探究四、数量积的运算律:

(1)交换律:



(2)对数乘的结合律:



(3)分配律:

注意:数量积不满足结合律和消去律,即:(1)

(2)_______________

探已知 究题a? ?组3,3b?:?

4,

a?与b?不共线,

k为何值时,向量a?

?

kb?与a?

?

? kb互相垂直?

解: (a ? kb) ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0

?

2
a

? k2b2

?

0

?

9 ?16k 2

?

0

?

k

?

?

3

4

三、思悟小结:

知识线:

(1)平面向量的数量积;

(2)平面向量的数量积的几何意义;

(3)平面向量数量积的重要性质及运算律;

(4)平面向量的数量积与向量投影的关系。

思想方法线:

(1)公式或定义法;

(2)数形结合、分类讨论等思想方法。

四、针对训练 巩固提高:

? ? ? ? 1、 (1)

?下?a列??各? b?式?:?

? a

?

? b

?

? a

?

? ? ?b

(2)

? a

?

? b

?

? a

?

? b

? ? (3) ? ? ? ? (4)

? a a

? ??b ?b ?

?? ?c ? a ?? c ?a?

?? ??c ? b b ?c

?

? c

2、

正确的个数为

已知:

? a

?

?2,3?,

? b

?

??

4,7?,则

? a



? b

上的投影为

3、( (下12) )列若 若命题aa?? ??中00??,,则则对对任任意一向个量非零b?有向a?量? b?b??,0有a?

? ?b

?

0

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(3) (4) (5) (6)

若 若 若 若aaaa???????bb??00????, a?,0a??,?则 ba?c??,??a?b则?,0b?= ,b?中 则?a至 ?b?c??c?,少?当0,有且则一仅b个?当=为ac?0?? 0?时成立

其中真命题的个数有

? ? 4、

已知

? a

? ? 3, b

?

4, a?与b?的夹角?

?

150

0

,

求a?

?

? b,

?? a?b

2
,

?? a?b

?? 5、已知:三角形 ABC中,a ? 5,b ? 8,C ? 60 0 , 求BC ? C A

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