2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教版选修2_2_图文

第一章 §1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义 学习 目标 1.理解曲线的切线的含义. 2.理解导数的几何意义. 3.会求曲线在某点处的切线方程. 4.理解导函数的定义,会用定义法求简单函数的导函数. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 曲线的切线 如图所示,当点 Pn 沿着曲线 y=f(x) 无限趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于 确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的 切线 . (1)曲线y=f(x)在某点处的切线与该点的位置有关; (2)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可 以有无穷多个. 答案 思考 有同学认为曲线 y = f(x) 在点 P(x0 , y0) 处的切线 l 与曲线 y = f(x) 只 不正确.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点 有一个交点,你认为正确吗? 答案 个数不一定只有一个,如图所示. 答案 知识点二 导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x= x0处的导数f′(x0) 就是曲线 y=f(x)在点(x0 ,f(x0)) 处切线的 斜率 . 答案 思考 (1)曲线的割线与切线有什么关系? 答案 曲线的切线是由割线绕一点转动,当割线与曲线的另一交点无 限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点. (2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系? 答案 且在该点处的导数就是该切线的斜率 .函数 f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0)) 但不可导. 函数 f(x)在x0处有导数,则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线, 处有切线,但函数 f(x)在该点处不一定可导,如 f(x)= 3 x 在x=0处有切线, 答案 知识点三 导函数的概念 对于函数 y=f(x) ,当 x=x0 时, f′(x0) 是一个确定的数,这样,当 x 变化 时,f′(x)便是关于x的一个函数,称它为函数 y=f(x)的 导函数 ,简称 f?x+Δx?-f?x? Δy 导数,也可记作y′, 即 f′(x)=y′=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→0 Δx 函数y=f(x)在x=x0处的导数 y ' |x ? x0 就是函数y=f(x)在开区间(a,b)(x∈(a, b))上的导数f′(x)在x=x0处的函数值,即 y ' |x ? = x0 f′(x0),所以函数y=f(x) 在x=x0处的导数也记作f′(x0). 答案 思考 如何正确理解“函数f(x)在x=x0处的导数”“导函数”“导数” 三者之间的区别与联系? 答案 “函数y= f(x) 在x=x0处的导数”是一个数值,是针对x0 而言的, 与给定的函数及x0的位置有关,而与Δx无关; “导函数”简称为“导数”,是一个函数,导函数是对一个区间而言 的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x,Δx无关. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 求曲线的切线方程 1.求曲线在某点处的切线方程 例1 求曲线y=f(x)=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程. 解 因为点(1,3)在曲线上,过点(1,3)的切线的斜率为 ?1+Δx?3-?1+Δx?+3-?1-1+3? f′(1)=Δ lim x→0 Δx ?Δx? +3?Δx? +2Δx 2 =Δ lim = lim [ (Δ x ) + 3 Δ x + 2 ] = 2 , → → x 0 Δx Δx 0 3 2 故所求切线方程为y-3=2(x-1), 即2x-y+1=0. 反思与感悟 解析答案 解析答案 (2)曲线y=f(x)=x3在点P处切线斜率为3,则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1). 解析 设点P的坐标为 (x0,x3 0) ,则有 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx 2 3 3x2 Δ x + 3 x ? Δ x ? + ? Δ x ? 0 0 =Δ lim x→0 Δx 2 2 2 =Δ lim [3 x + 3 x Δ x + (Δ x ) ] = 3 x 0 0 0. → x 0 ∴3x2 1. 0=3,解得 x0=± ∴点P的坐标是(1,1)或(-1,-1). 解析答案 2.求曲线过某点的切线方程 例2 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解析答案 题型二 例3 求导函数 求函数 f(x)= x2+1的导函数. 解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x) 2 2 x Δ x + ? Δ x ? 2 2 = ?x+Δx? +1- x +1= , 2 2 ?x+Δx? +1+ x +1 2x+Δx Δy ∴Δx= , 2 2 ?x+Δx? +1+ x +1 Δy ∴f′(x)=Δ lim x→0 Δx =Δ lim x →0 2x+Δx x = 2 . 2 2 ?x+Δx? +1+ x +1 x +1 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 解 已知函数f(x)=x2-1,求f′(x)及f′(-1). 因Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)2-1-(x2-1) =2Δx· x+(Δx)2, 2 2Δ x · x + ? Δ x ? Δy 故Δ lim =Δ lim =2x, x→0 Δx x→0 Δx 得f′(x)=2x,f′(-1)=-2. 解析答案 题型三 导数几何意义的综合应用 例4 设函数 f(x)= x3 + ax2- 9x- 1(a < 0),若曲线 y= f(x) 的斜率最小的 切线与直线12x+y=6平行,求a的值. 解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)3+a(x+

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