安阳市第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

安阳市第一中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 执行如图所示的程序框图,若输出的 S=88,则判断框内应填入的条件是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.k>7 B.k>6 C.k>5 D.k>4   2. 四棱锥的八条棱代表 8 种不同的化工产品,由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没 有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存 放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( A.96 3. 设集合 A ? ? x | ( ) B. 1 ? a ? 2 y=ax+2 (a>0 且 a≠1)图象一定过点( B.(0,3) + 的定义域是( ) D.(3,0) C.(1,0) ) D.{x|x≥﹣1 且 x≠3} C. a ? 2 D. 1 ? a ? 2 B.48 C.24 ) D.0

? ?

x ?3 ? ? 0 ? ,集合 B ? ? x | x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? 0? ,若 A ? B ,则的取值范围 x ?1 ?

A. a ? 1 4. 函数   5. 函数 y= A.(0,1)

A.{x|x≥﹣1} B.{x|x>﹣1 且 x≠3} ( )

C.{x|x≠﹣1 且 x≠3}

6. 过点 P(﹣2,2)作直线 l,使直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为 8,这样的直线 l 一共有

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A.3 条   7. 复数 z ?

B.2 条

C.1 条

D.0 条 )

(2 ? i ) 2 ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( i A. - 4 + 3i B. 4 + 3i C. 3 + 4i D. 3 - 4i

【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识,意在考查基本运算能力. 8. 在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? ( A.12 B.16 ) 9. 下列各组函数为同一函数的是( A.f(x)=1;g(x)= C.f(x)=|x|;g(x)= 10.函数 f(x)=2x﹣ A.0 B.1 C.2 ) C.20 D.24

B.f(x)=x﹣2;g(x)= D.f(x)= 的零点个数为( D.3 ) ? ) ;g(x)=

11.不等式

的解集为(

A.{x|x<﹣2 或 x>3} B.{x|x<﹣3 或 x>2} C.{x|﹣2<x<3} D.{x|﹣3<x<2} 12.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点 M 是边 AB 上的动点,记四面体 E ? FMC 的体 积为 V1 ,多面体 ADF ? BCE 的体积为 V2 ,则 A.

1 4

B.

1 3

V1 ?( V2 1 C. 2

)1111] D.不是定值,随点 M 的变化而变化

13.已知向量 =(1, A.1 则|AB|=( A.2 B.6 ) C.4 D.2 B. 14.已知直线 x+ay﹣1=0 是圆 C:

), =( C. x2+y2

,x)共线,则实数 x 的值为( tan35° D.tan35°



﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴,过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,

15.若不等式 1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4,则 4a﹣2b 的取值范围是( A.[5,10] B.(5,10) C.[3,12]

) D.(3,12)

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二、填空题
16.如图所示,在三棱锥 C﹣ABD 中,E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角是      .

17.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ' ( x) ? 1 , f (0) ? 4 ,则不等式 e f ( x) ? e ? 3 (其
x x

中为自然对数的底数)的解集为
2

.

18.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AC 所成的角是      °. 19.已知 f ? x ? 1? ? 2 x ? 8 x ? 11 ,则函数 f ? x ? 的解析式为_________.

三、解答题
20.设{an}是公比小于 4 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 a1=1,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna3n+1,n=12…求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ( 3 ? 1) a cos B ? 2b cos A ? c , (Ⅰ)求

tan A 的值; tan B

(Ⅱ)若 a ?

6 ,B ?

?
4

,求 ?ABC 的面积.

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22.(本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? AD ? a , E 是棱 CD 上的一点, P 是棱 AA1 上的一点. (1)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 D ; (2)求证: B1E ? AD1 ; (3)若 E 是棱 CD 的中点, P 是棱 AA1 的中点,求证: DP // 平面 B1 AE .

23.已知函数 f(x)=x2﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数. (1)求实数 m 的取值范围; (2)设向量 不等式   的 α 的取值范围. ,求满足

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24.已知函数 f(x)=xlnx+ax(a∈R). (Ⅰ)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,求正整数 k 的值.(参考数据:ln2=0.6931, ln3=1.0986)  

25.(本小题满分 12 分)设 f(x)=-x2+ax+a2ln x(a≠0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)是否存在 a>0,使 f(x)∈[e-1,e2]对于 x∈[1,e]时恒成立,若存在求出 a 的值,若不存在说明理由.

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安阳市第一中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 C 【解析】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K 循环前 1 第一圈 2 第二圈 3 第三圈 4 第四圈 5 第五圈 6 S 0 2 7 18 41 88 是 是 是 是 否 是否继续循环

故退出循环的条件应为 k>5? 故答案选 C. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 ①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的 考试题型,这种题考试的重点有 : 概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.   2. 【答案】   B 【解析】 排列、组合的实际应用;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共点的两条棱代 表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品, 求安全存放的不同方法的种数. 首先需要把四棱锥个顶点设出来, 然后分析到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况.然后求出即可得到答案. 8 种化工产品分 4 组,设四棱锥的顶点是 P,底面四边形的个顶点为 A、B、C、D. 【解答】解 : 分析得到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况, (PA、DC;PB、AD;PC、AB;PD、BC)或(PA、BC;PD、AB;PC、AD;PB、DC) 那么安全存放的不同方法种数为 2A44=48. 故选 B. 【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用,其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断,把空间 几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖.

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3. 【答案】A 【解析】

考 点:集合的包含关系的判断与应用. 【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用,其中解答中涉及到分式不等式的求解,一元二次 不等式的解法,集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的 应用,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 4. 【答案】B 【解析】解:由于函数 y=ax (a>0 且 a≠1)图象一定过点(0,1),故函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)图象一定 过点(0,3), 故选 B. 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.   5. 【答案】D 【解析】解:由题意得: , 解得:x≥﹣1 或 x≠3, 故选:D. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.   6. 【答案】C 【解析】解:假设存在过点 P(﹣2,2)的直线 l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为 8, 设直线 l 的方程为: 则 . ,

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即 2a﹣2b=ab 直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积 S=﹣ ab=8, 即 ab=﹣16, 联立 ,

解得:a=﹣4,b=4. ∴直线 l 的方程为: 即 x﹣y+4=0, 即这样的直线有且只有一条, 故选:C 【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式,属于基础题.   7. 【答案】A 【解析】根据复数的运算可知 z ? 8. 【答案】B 【解析】 试题分析:由等差数列的性质可知, a 2 ? a10 ? a 4 ? a8 ? 16 . 考点:等差数列的性质. 9. 【答案】C 【解析】解:A、函数 f(x)的定义域为 R,函数 g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故不是相同函数; B、函数 f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠﹣2},定义域不同,故不是相同函数; C、因为 综上可得,C 项正确. 故选:C.   10.【答案】C 【解析】解:易知函数的定义域为{x|x≠1}, ∵ >0, ,故两函数相同; D、函数 f(x)的定义域为{x|x≥1},函数 g(x)的定义域为{x|x≤1 或 x≥1},定义域不同,故不是相同函数. ,

(2 ? i ) 2 ? ?i (2 ? i ) 2 ? ?3i ? 4 ,可知 z 的共轭复数为 z = - 4 + 3i ,故选 A. i

∴函数在(﹣∞,1)和(1,+∞)上都是增函数, 又 <0,f(0)=1﹣(﹣2)=3>0,

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故函数在区间(﹣4,0)上有一零点; 又 f(2)=4﹣4=0, ∴函数在(1,+∞)上有一零点 0, 综上可得函数有两个零点. 故选:C. 【点评】本题考查函数零点的判断.解题关键是掌握函数零点的判断方法.利用函数单调性确定在相应区间的 零点的唯一性.属于中档题.   11.【答案】A 【解析】解:不等式 求得 x>3,或 x<﹣2, 故选:A.   12.【答案】B 【 解 析 】 ,即 >0,即(x﹣3)?(x+2)>0,

考 点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 13.【答案】B 【解析】解:∵向量 =(1, ∴x= 故选:B. 【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题.   14.【答案】B 【解析】解:∵圆 C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2 =4, 表示以 C(2,1)为圆心、半径等于 2 的圆.
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), =( =

,x)共线, = ,

=

由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1), 故有 2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点 A(﹣4,﹣1). ∵AC= ∴切线的长|AB|= 故选:B. 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属 于基础题.   15.【答案】A 【解析】解:令 4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b) 即 解得:x=3,y=1 即 4a﹣2b=3(a﹣b)+(a+b) ∵1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4, ∴3≤3(a﹣b)≤6 ∴5≤(a﹣b)+3(a+b)≤10 故选 A 【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划,其中令 4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b),并求出满足条件的 x,y, 是解答的关键.   = =2 =6. ,CB=R=2,

二、填空题
16.【答案】 30° . 【解析】解:取 AD 的中点 G,连接 EG,GF 则 EG 故∠GEF 即为 EF 与 CD 所成的角. 又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在 Rt△EFG 中 EG=2,GF=1 故∠GEF=30°. 故答案为:30° DC=2,GF AB=1,

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【点评】 此题的关键是作出 AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解, 如果一味的想利用余弦定理 求解就出力不讨好了.   17.【答案】 (0,??) 【 解 析 】

考点:利用导数研究函数的单调性. 【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不 等式进行变形,可得 f ? x ? ? f ?? x ? ? 1 ? 0 ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以 e ,即
x

以构造满足前提的特殊函数,比如令 f ? x ? ? 4 也可以求解.1 18.【答案】 60° °. 【解析】解:连结 BC1、A1C1, ∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A 平行且等于 C1C, ∴四边形 AA1C1C 为平行四边形,可得 A1C1∥AC,

e x f ? x ? ? e x f ?? x ? ? e x ? 0 ,因此构造函数 g ? x ? ? e x f ? x ? ? e x ,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可

因此∠BA1C1(或其补角)是异面直线 A1B 与 AC 所成的角, 设正方体的棱长为 a,则△A1B1C 中 A1B=BC1=C1A1= ∴△A1B1C 是等边三角形,可得∠BA1C1=60°, 即异面直线 A1B 与 AC 所成的角等于 60°. 故答案为:60°. a,

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【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小,着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识,属于中档题.   2 19.【答案】 f ? x ? ? 2 x ? 4 x ? 5 【解析】 试题分析 : 由题意得, 令 t ? x ?1 , 则 x ? t ?1, 则 f ? t ? ? 2(t ? 1) ? 8(t ? 1) ? 11 ? 2t ? 4t ? 5 , 所以函数 f ? x ?
2 2

的解析式为 f ? x ? ? 2 x ? 4 x ? 5 .
2

考点:函数的解析式.

三、解答题
20.【答案】 【解析】解:(1)设等比数列{an}的公比为 q<4,∵a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. ∴2×3a2=a1+3+a3+4,∴6q=1+7+q2,解得 q=2. (2)由(1)可得:an=2n﹣1. bn=lna3n+1=ln23n=3nln2. ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3ln2×(1+2+…+n) = ln2.

  21.【答案】 【解析】(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 ( 3 ? 1) a cos B ? 2b cos A ? c 及正弦定理得

( 3 ? 1) sin A cos B ? 2sin B cos A ? sin C ? sin A cos B + cos A sin B , (3 分) tan A ? 3 (6 分) ∴ 3 sin A cos B ? 3sin B cos A ,∴ tan B
6 sin a sin B 4 ? 2 , (8 分) (Ⅱ) tan A ? 3 tan B ? 3 , A ? , b ? ? ? 3 sin A sin 3 6? 2 sin C ? sin( A ? B) ? , (10 分) 4 1 1 6? 2 1 ? (3 ? 3) (12 分) ∴ ?ABC 的面积为 ab sin C ? ? 6 ? 2 ? 2 2 4 2

?

?

22.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明,对空间想象能力及 逻辑推理有较高要求,对于证明中辅助线的运用是一个难点,本题属于中等难度.

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23.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=x2﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数 ∴x= ≤1 ∴m≤2 ∴实数 m 的取值范围为(﹣∞,2]; (2)由(1)知,函数 f(x)=x2﹣mx 在[1,+∞)上是单调增函数

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∵ ∵ ∴2﹣cos2α>cos2α+3 ∴cos2α< ∴ ∴α 的取值范围为





【点评】本题考查函数的单调性,考查求解不等式,解题的关键是利用单调性确定参数的范围,将抽象不等式 转化为具体不等式.   24.【答案】 【解析】解:(I)a=﹣2 时,f(x)=xlnx﹣2x,则 f′(x)=lnx﹣1. 令 f′(x)=0 得 x=e, 当 0<x<e 时,f′(x)<0,当 x>e 时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间是(0,e),单调递增区间为(e,+∞). (II)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立, 则 xlnx+ax>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,即 k(x﹣1)<xlnx+ax﹣ax+x 恒成立, 又 x﹣1>0,则 k< 设 h(x)= 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, ,则 h′(x)= .

设 m(x)=x﹣lnx﹣2,则 m′(x)=1﹣ , ∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则 m(x)在(1,+∞)上是增函数. ∵m(1)=﹣1<0,m(2)=﹣ln2<0,m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4),使得 m(x0)=0, 当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,即 h′(x)<0, 当 x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0, ∴h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, ∴h(x)的最小值 hmin(x)=h(x0)= ∵m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,∴lnx0=x0﹣2.∴h(x0)= ∴k<hmin(x)=x0. . =x0.

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∵3<x0<4, ∴k≤3. ∴k 的值为 1,2,3. 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的最值,函数恒成立问题,构造函数求出 h(x)的最 小值是解题关键,属于难题.   25.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=-x2+ax+a2ln x 的定义域为{x|x>0},f′(x)=-2x+a+a a -2(x+ )(x-a) 2 = . x
2

x

①当 a<0 时,由 f′(x)<0 得 x>-a, 2 由 f′(x)>0 得 0<x<-a. 2 a 此时 f(x)在(0,- )上单调递增, 2 a 在(- ,+∞)上单调递减; 2 ②当 a>0 时,由 f′(x)<0 得 x>a, 由 f′(x)>0 得 0<x<a, 此时 f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减. (2)假设存在满足条件的实数 a, ∵x∈[1,e]时,f(x)∈[e-1,e2], ∴f(1)=-1+a≥e-1,即 a≥e,① 由(1)知 f(x)在(0,a)上单调递增, ∴f(x)在[1,e]上单调递增, ∴f(e)=-e2+ae+e2≤e2,即 a≤e,② 由①②可得 a=e, 故存在 a=e,满足条件.

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