2014·新课标高考总复习·数学选修4-1-2直线与圆的位置关系_图文

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第二节

直线与圆的位置关系

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一、圆周角定理、弦切角定理 1.圆周角定理 (1)定理:圆周角的度数等于它所对弧的度数的 一半 . (2)推论

推论1:直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 .
推论2:同弧或等弧所对的 圆周角 相等. 推论3:等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径 .

2.弦切角定理
(1)定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的 一半 (2)推论:弦切角等于它所夹弧所对的 圆周角 .
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1.(课本习题改编)如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线

PB、PD,PA=AB= 5,CD=3,则PC等于(

)

A.2或-5 C.3

B.2 D.10

解析:设PC=x,由割线定理知PA·PB=PC·PD.
即 5×2 5=x(x+3),解得 x=2 或 x=-5(舍去).故选 B.

答案:B

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2.(2013年广州模拟)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径, MN与⊙O相切,切点为A,∠MAB=35°,则∠D=( )

A.35°

B.90°

C.125°

D.150°

解析:连接BD,则∠MAB=∠ADB=35°,∵BC是⊙O的直径, ∴∠BDC=90°,所以∠D=∠ADB+∠BDC=125°.

答案:C

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3.(2013年天津十二校联考)如图所示,EA是圆O的切线,割线 EB交圆O于点C,C在直径AB上的射影为D,CD=2,BD=4,则EA

=(

)

A.4 C.3

5 B.2 1 D.2

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解析:根据题意可得 BC2=CD2+BD2=22+42=20,即 BC=2 5. 由射影定理可得 BC2=AB· BD,即 20=4AB,解得 AB=5,所以 AC= 52-20= 5,设 EA=x,EC=y,根据切割线定理可得 x2=y(y+2 5), 即 x2=y2+2 5y,在 Rt△ACE 中,x2=y2+( 5)2,故 2 5y=5,解得 y 5 5 25 5 5 = 2 ,故 x2=4+5= 4 ,得 x=2,即 EA=2.

答案:B

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4.(课本习题改编)如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,

OB = PB = 1 , OA 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 60° 到 OD , 则 PD 的 长 为
________.

解析:在Rt△OAP中,OP=2OA=2,

∴∠APO=30°.
在△POD中,易得OD=1,∠POD=120°,根据余弦定理,得 PD2=12+22-2×1×2cos 120°=7, ∴PD= 7 . 答案: 7
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5.(2012年高考湖南卷)如图所示,过点P的直线与⊙O相交于A, B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径等于________.

解析:利用割线定理求解.

设⊙O的半径为r(r>0),
∵PA=1,AB=2, ∴PB=PA+AB=3.

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延长PO交⊙O于点C,则PC=PO+r=3+r. 设PO交⊙O于点D,则PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA·PB=PD·PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),∴9-r2=3,∴r= 6. 答案: 6

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考向一 [ 例 1]

圆周角、弦切角和圆的切线问题 (2013年 银 川 模 拟 )如 图 , 已 知 AB是 ⊙ O 的 直 径 , 锐 角

∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与 AB的延长线交于点E.

(1)求证:直线CD为⊙O的切线;

(2)当AB=2BE,且CE= 3 时,求AD的长.
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[解析] (1)证明:连接OC,

∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB, ∴∠OCA=∠DAC,∴AD∥CO. ∵CD⊥AD,∴OC⊥DE,∴CD为⊙O的切线. (2)∵AB=2BO,AB=2BE, ∴BO=BE=CO. 设BO=BE=CO=x, 则OE=2x. 在Rt△OCE中, OC2+CE2=OE2,则 x2+( 3 )2=(2x)2, ∴x=1,∴AE=3,∠E=30°, 3 AD=2 .
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1.(2013年安徽六校联考)已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA 切圆O于A点,DC是∠ACB的平分线交AE于点F,交AB于D点.

(1)求∠ADF的度数; (2)若AB=AC,求AC∶BC.

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解析:(1)∵AC为圆O的切线,
∴∠B=∠EAC. 又知DC是∠ACB的平分线,

∴∠ACD=∠DCB.∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF
=∠AFD,又因为BE为圆O的直径, ∴∠DAE=90°, 1 ∴∠ADF= (180° -∠DAE)=45° . 2

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(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, ∴△ACE∽△BCA, AC AE ∴ = . BC AB 又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30° . AC AE 3 ∴在 Rt△ABE 中,BC=AB=tan∠B=tan 30° 3 . =

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考向二

圆内接四边形的性质定理及判定定理

[例2]

(2011年高考课标全国卷)如图,D,E分别为△ABC的边

AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的 长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.

(1)证明:C,B,D,E四点共圆; (2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半 径.
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(1) 证 明 : 如 图 , 连 接 DE , 在 △ ADE 和 △ ACB 中 , AD AE AD·AB = mn = AE·AC , 即 . 又 ∠ DAE = ∠ CAB , 从 而 = AC AB △ADE∽△ACB. 因此∠ADE=∠ACB. 所以C,B,D,E四点共圆.

[解析]

(2)m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.

故AD=2,AB=12.

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如图,取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的 垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90° ,故 GH∥AB,HF∥AC. 1 从而 HF=AG=5,DF=2(12-2)=5. 求得 DH=5 2, 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2.

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2.(2011年高考辽宁卷)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD 的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.

(1)证明:CD∥AB; (2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,

F四点共圆.

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证明:(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为A,B,C,D四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.

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(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接AF,BG,则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE. 又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.

所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A,B,G,F四点共圆.

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考向三 [例3]

与圆有关的比例线段 (2012年高考辽宁卷)如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,

过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点 E.证明:

(1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE.

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[证明]

(1)由 AC 与⊙O′相切于点 A,得∠CAB=∠ADB,同理

∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD=BD,即 AC· BD=AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于点 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而AB=BD,即 AE· BD=AD· AB. 结合(1)的结论知,AC=AE.

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3.(2013年大连三校联考)如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC, M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线 于P.

(1)求证:PM2=PA·PC; (2)若⊙O的半径为2 3,OA= 3 OM,求MN的长.

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解析:(1)证明:连结ON,则ON⊥PN,且△OBN为等腰三角形, 则∠OBN=∠ONB,∴∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN,∠PNM= 90°-∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN. 由条件,根据切割线定理,有PN2=PA·PC, 所以PM2=PA·PC.

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(2)依题意得 OM=2,在 Rt△BOM 中, BM= OB2+OM2=4. 延长 BO 交⊙O 于点 D,连结 DN.由条件易知 BO BM △BOM∽△BND,于是 BN= BD , 2 3 4 即 BN = ,得 BN=6. 4 3 所以 MN=BN-BM=6-4=2.

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【答题模板】 几何证明问题 【典例】 (10分)(2012年高考课标全国卷)如图,D,E分别为

△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若
CF∥AB,证明:

(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.
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【思路导析】 结论;

(1)连接AF,利用平行关系构造平行四边形可得

(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形,再证明两三角形顶角相等 即可. 【规范解答】 (1) 因 为 D , E 分 别 为 AB , AC 的 中 点 , 所 以

DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF= BD=AD.3分

而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=
AF.5分 因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC. ……………… 6分

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(2)因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD,所以∠BGD=∠BDG.8分 由BC=CD知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,所以△BCD∽△GBD.10分 【名师点评】 1.解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定

理、推理和现有的结论,要熟悉各种图形的特征,利用好平行、垂直、

相似、全等的关系,适当添加辅助线和辅助图形,这一些知识都有利
于问题的解决.

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2.证明等积式时,通常转化为证明比例式,再证明四条线段所
在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明. 3.弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据之一,解

题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.
4.圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得到角相 等,进而为三角形的相似创造了条件.

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1.(2012年高考陕西卷)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直, 垂 足 为 E, EF⊥DB , 垂 足 为 F, 若 AB = 6 , AE= 1 , 则 DF·DB = ________.

解析:利用相交弦定理及射影定理求解. 由题意知,AB=6,AE=1,∴BE=5. ∴CE·DE=DE2=AE·BE=5.

在Rt△DEB中,∵EF⊥DB,
∴由射影定理得DF·DB=DE2=5. 答案:5
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2.(2012年高考天津卷)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点 B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相 3 交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段CD 2 的长为________.

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解析:先根据相交弦定理求出 CF,再求出 BD,最后求出 CD. 3 2 8 因为 AF· BF=EF· CF,解得 CF=2,所以 = ,即 BD= .设 CD 4 BD 3 64 4 =x,AD=4x,所以 4x = ,所以 x= . 9 3
2

4 答案: 3

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