高中数学教案-三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质 课程目标 知识点 三角函数的图象与性质 考试要求 C 具体要求 理解正弦、余弦、正切函数在一个 周期内的图象与性质.理解三角函数 的图象变换规律. 能画出三角函数的图象,了解三角 函数的周期性. 理解正弦函数、余弦函数在一个周 期内的性质(如单调性、最大值和最 小值以 及与 x 轴的交点等),理解正切函数的 单调性 . 理解三角函数的图象变换规律. 会解简单的三角方程与不等式. 1.了解正弦型三角函数的物理意 义;能画出其图象,了解参数对函 数图象变化的影响 . 2.了解三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型,会用三角函数 解决一些简单实际问题 . 考察频率 必考 三角函数的图象 三角函数的性质 C C 少考 必考 三角函数的图象变换 三角方程与不等式 三角函数模型的应用 B A B 常考 少考 少考 知识提要 三角函数的图象与性质 主要研究三角函数的图像及性质. 三角函数的图象 ? 正弦函数的图象 第 1 页 共 55 页 正弦函数 ? 余弦函数的图象 的图象叫做正弦曲线. 把正弦曲线向左平移 个单位就可以得到余弦函数的图象.余弦函数 图象叫做余弦曲线. 的 ? 正切函数的图象 用单位圆上的正切线可作正切函数 在开区间 内的图象.根据正切函数的 周期性,我们可以把函数图象向左、向右连续平移,得出 , 的图象,即正切曲线. 第 2 页 共 55 页 ? 正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图,一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点,然后在描点作图时 要注意到,被这五个点分隔的区间上的变化情况,在 些,曲线“陡”一些,在 叫做五点法. 附近函数增加或下降快一 附近,函数变化慢一些,曲线变得“平缓”.这种作图方法 三角函数的性质 ? 正弦函数的性质 定义域: ; 值域: 小值 ;当且仅当 ,其中 ; ; 时取得最大值 ,当且仅当 时取得最 周期性:最小正周期为 奇偶性:奇函数; 单调性:在 调递减. ? 正弦型函数 周期性:最小正周期为 上单调递增;在 上单 的性质 ; 第 3 页 共 55 页 频率 值域为 ? 余弦函数的性质 定义域: ; 值域: ,其中 ,初相为 ; ,最小值为 . 又称为振幅. ,最大值为 ;当且仅当 ; ; 时取得最大值 ,当且仅当 时取得最小值 周期性:最小正周期为 奇偶性:偶函数; 单调性:在 调递增. ? 正切函数的性质 定义域: 值域: ; 上单调递减;在 上单 ; 周期性:最小正周期为 ; 奇偶性:奇函数; 单调性:正切函数在每一个开区间 内都是增函数. 三角函数的图象变换 ? ? 三角函数的图象变换包括: 左右平移 一般地,把函数 平移 的图象上所有的点(当 时)向左或(当 的图象. 时)向右 个单位长度,就得到函数 ? 上下平移 一般地,把函数 平移 的图象上所有的点(当 时)向上或(当 时)向下 个单位长度,就得到函数 的图象. ? 轴方向上的伸缩 一般地,函数 (其中 且 )的图象,可以看作是把 第 4 页 共 55 页 上所有的点的横坐标缩短(当 的 ? 倍(纵坐标不变)而得到的. 轴方向上的伸缩 一般地,函数 (其中 且 时)或伸长(当 时)到原来 )的图象,可以看作是把 时)或缩短(当 时)到原来 上所有的点的纵坐标伸长(当 的 倍(横坐标不变)而得到的. 三角方程与不等式 三角方程与三角不等式是指与三角函数相关的方程与不等式问题. 简单的三角方程与三角不等式问题借助三角函数的图象或三角函数线便可以解决,复杂的问题 需要先换元解出三角函数的范围再去解决,要注意这类问题和普通的方程与不等式的区别在于 三角函数的周期性使得结果往往是与周期相关的. 三角函数模型的应用 如果某种变化着的现象具有周期性,那么就可以借助三角函数来描述,建立某种三角函数的模 型. 精选例题 三角函数的图象与性质 1. 若对一切实数 【答案】 2. 已知 【答案】 【分析】 又 , , ,且 ,则 . 不等式 恒成立,则实数 的取值范围是 . 第 5 页 共 55 页 所以 所以 3. 求函数 , . 的单调区间是 . 【答案】 【分析】 由 得 所以函数 4. 已知函数 为 【答案】 . 或 , , , , , , 都有 . ,则 的值 的单调递减区间是 ,对于任意 【分析】 因为 所以 所以 5. , 是函数 . , 的大小关系为 , 图象的一条对称轴, . 【答案】 【分析】 而 在 . 6. 设平面向量 (1)求函数 , 的最小正周期; ,函数 . , 上是增函数,故 ,又 ,即 , 【解】 所以, (2)求函数 的最小正周期为 . 的单调递增区间. 第 6 页 共 55 页 【解】 得 所以, 由 的单调递增区间为 . . 7. 已知函数 (1)利用“五点法”,画出函数一个周期的图象; 【解】 按五个关键点列表如下: 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示. (2)当 【解】 所以 所以 所以 所以 因为 时, , , , , . 有解,即 有解,求实数 的取值范围. 有解,故 . 的一段图象过点 ,如图所示. 8. 函数 第 7 页 共 55 页 (1)求函数 【解】 将 所以 将 因此 (2)将函数 代入 的表达式; ,则 . ,解得 . 的图象向右平移 个单位,得函数 的集合. . , 时, , . 的图象,求 , . 的图象, 由题图知 的图象向左平移 ,即得 的最大值,并求出此时自变量 【解】 当 即 此时 的取值集合为 依题意,得 , 9. 一根长为 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离开 )与时间 (单位: )的函数关系是 , 平衡位置的位移 (单位: . (1)求小球摆动的周期和频率; 【解】 (2)已

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