高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修4_图文

第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用 学习目标:1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用 三角函数模型解决一些简单的实际问题.(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 1.三角函数可以作为描述现实世界中_____ 周期 现象的一种数学模型. 2.解三角函数应用题的基本步骤: (1)审清题意; (2)搜集整理数据,建立数学模型; (3)讨论变量关系,求解数学模型; (4)检验,作出结论. [ 基础自测] 1.思考辨析 1 (1)函数y=|sin x+2|的周期为π.( ) (2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内 通过的路程为50 cm.( ) s ? π? 1 ? ? (3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin 100πt+3 ,则当t= 200 ? ? 5 时,电流强度I为2 A.( ) [ 解析] 1 (1)错误.函数y=|sin x+2|的周期为2π. 2 (2)错误.一个周期通过路程为20 cm,所以2 s内通过的路程为20× 0.4 = 100(cm). (3)正确. [ 答案] (1)× (2)× (3)√ 2.如图161为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s往返一 次. 图161 0.8 [ 观察图象可知此简谐运动的周期T=0.8,所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.] 3.如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数 关系式为________________. 图162 π y=-6sin 6 x 6, [设y与x的函数关系式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)则A= 2π π T= ω =12,ω=6. 当x=9时,ymax=6.故 π π 6×9+φ=2+2kπ,k∈Z. π 取k=1得φ=π,即y=-6sin6x.] [合 作 探 究· 攻 重 难] 三角函数图象的应用 (1)函数y=x+sin|x|,x∈[ -π,π] 的大致图象是( ) A B C D (2)作出函数y=|cos x|的图象,判断其奇偶性、周期性并写出单调区间. 【导学号:84352127】 [ 思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断. ? ?cos x,cos x≥0 x|=? ? ?-cos x,cos x<0 (2)依据y=|cos 画图,并判断此函数的性质. (1)C [(1)y=x+sin|x|是非奇非偶函数, 图象既不关于y轴对称,也不关于原点对称,故选C. (2)y=|cos x|图象如图所示. 由图象可知:T=π;y=|cos ∈Z, ? π ? x|是偶函数;单调递增区间为?-2+kπ,kπ?,k ? ? ? ? π 单调递减区间为?kπ,2+kπ?,k∈Z.] ? ? [规律方法] ?1?一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数 的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依 据.? ?2?一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如:①由函数y =f?x?的图象要得到y=|f?x?|的图象,只需将y=f?x?的图象在x轴下方的部分翻折 到x轴上方,x轴上方的图象保持不动,即“上不动,下翻上”.②由函数y=f?x? 的图象要得到y=f?|x|?的图象,应保留y=f?x?位于y轴右侧的图象,去掉y轴左侧 的图象,再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象,即“右不动,右翻左”. [ 跟踪训练] 1.函数f(x)=2sin x(x∈[ -π,π] )的图象大致为( ) A B 0 C D A [f(-π)=2 sin(-π) =2 ? π? ? π? - =1,f ?-2? =2sin ?-2? =2 1=0.5,f(0)=2sin 0=20= ? ? ? ? ?π? π ? ? 1,f 2 =2sin2=2,f(π)=2sin π=20=1.由此知选项A符合要求.] ? ? 三角函数模型在物理学中的应用 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 ? π? s=4sin?2t+3?,t∈[0,+∞).用“五点法”作出 ? ? 这个函数的简图,并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 【导学号:84352128】 [ 思路探究] 关键. [ 解] 确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题 列表如下: t π 2t+3 ? π? sin?2t+3? ? ? π -6 0 0 0 π 12 π 2 1 4 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -4 5π 6 2π 0 0 s 描点、连线,图象如图所示. ? π? (1)将t=0代入s=4sin ?2t+3? ,得s=4sin ? ? π 3 =2 3 ,所以小球开始振动时的 位移是2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin?ωx+ φ?表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置 2π 1 的最大距离,T= ω 为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f=T为频率, 表示物体在单位时间内往复振动的次数. [ 跟踪训练] 2.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:

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