潮州市2013年高考第二次模拟考试文科数学


潮州市 2013 年高考第二次模拟考试

数学(文科)
参考公式: 锥体体积公式

V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
1.集合 A ? {1, 2}, B ? {2, 4},U ? {1, 2,3, 4} ,则 ? U ( A ? B) ? A. {2} 2.复数 B. {3} C. {1, 2,3} D. {1, 4}

1? i 的实部是 i
B. ?1 C. 1 D. i

A. ?i

3.抛物线 y ? x2 的焦点坐标为 A. ( , 0)

1 4

B. ( , 0)

1 2

C. (0, )

1 2

D. (0, ) 城市 有冰箱 无冰箱 农村

1 4

4.某地共有 10 万户家庭,其中城市住户与农村住户之比 为 4 : 6 ,为了落实家电下乡政策,现根据分层抽样的方法, 调查了该地区 1000 户家庭冰箱拥有情况,调查结果如右表, 那么可以估计该地区农村住户中无冰箱总户数约为 A. 1.6 万户 5. x ? 1 是 | x | ? B. 1.76 万户 C. 0.24 万户

356 (户) 440 (户) 44(户) 160 (户) D. 4.4 万户

1 的 x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

潮州市二模数学(文科)试卷第 1 页

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6.下列函数中,周期为 1 的奇函数是 A. y ? 1 ? 2sin 2 ? x C. y ? tan B. y ? sin ? x cos ? x D. y ? sin(2? x ?

?
2

x

?
3

)

7.设 m 、 n 是两条直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列命题中正确的是 A.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ? B.若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n D.若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n

8.点 P (a, b) 关于 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的点仍在 l 上,则 a ? b ? A. ?1 B. 1 C. 2 D. 0
开始

9.已知如右程序框图,则输出的 i 是 A. 9 C. 13 B. 11 D. 15

S ?1
i ?3


10.为加强食品安全管理,某市质监局拟招聘专业技术人员 x 名,

?y ? x 行政管理人员 y 名,若 x 、 y 满足 ? , ? y ? ?x ? 4
则 z ? 3x ? 3 y 的最大值为 A. 4 C. 18 B. 12 D. 24
输出i

S ? 1000?

S ? S *i

结束

i ?i?2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.在等比数列 {an } 中,公比 q ? 2 ,前 3 项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? 12.设 a, b 都是单位向量,且 a 与 b 的夹角为 60? ,则 | a ? b | ? 13.比较大小: lg9 ? lg11 . .

? ?

?

?

? ?

1 (填“ ? ”“ ? ”或“ ? ” , )

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(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题;如果二题都做,则按第 14 题评分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 M (2, 离为 .

?
3

) 到直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 的距 2

C

O

15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 OA ? OB ? OC, ?ACB ? 45? , 则 ?OBA 的大小为 .

A

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

y

?
3

)
?
3 ? 7? 12 5? 6

(1)在给定的坐标系内,用五点法画出 函数 y ? f ( x) 在一个周期内的图象; (2)若 f ( x) ? ? , x ? (0,
?
6

3 5

?
2

O

?
12

?
2

?

x

) ,求

sin 2x 的值.

17. (本小题满分 12 分) 口袋中装有质地大小完全的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号.如果两个编号的和为偶数就算甲 胜,否则算乙胜. (1)求甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由. 18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两个焦点为 F (?1,0) , F2 (1,0) ,点 A(1, 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 B(2, 0) ,设点 P 是椭圆 C 上任一点,求 PF 1 ? PB 的取值范围.
潮州市二模数学(文科)试卷第 3 页 (共 4 页)

2 ) 在椭圆 C 上. 2

??? ??? ? ?

19. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面 ABE, AE ? EB ? BC ? 2, D

C

F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE , BD ? AC ? G.
(1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求证: AE // 平面 BFD ; (3)求三棱锥 E ? ADC 的体积.

G

A

F B

E
20. (本小题满分 14 分) 已知各项都不为零的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:

1 an an ?1 (n ? N *) , a1 ? 1. 2

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? . 2 a1 a2 a3 an 4

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

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潮州市 2009 年高考第二次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 A 6 B 7 D 8 A 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选 做一题,两题全答,只计算前一题得分. 13. ?

11.

84

12.

3

14.

6 2

15. 45?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解: (1)列表:

x
2x ?

?

?
6

?
3

0 0

? 12 ? 2
1

? 3

?
0

7? 12 3? 2
?1

5? 6
2?
??????????????2 分

f ( x)

0

y
1

描点,连线,得 y ? f ( x) 在一个周期 内的图象。如右图所示.????5 分 (2)由已知得 sin(2 x ? ∵0 ? x ?
?

7? 12

5? 6

?
6

O

?
12

?
3

x

?
2

3 )?? ?0 3 5 ? ? 4? ∴ ? 2x ? ? 3 3 3

?

?1

??????6 分

(描 5 个点正确给 1 分, 图象基本正确给 2 分)

∴ cos(2 x ?

?

? 3 4 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x ? ) ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? ??????????8 分 3 3 5 5
? ?

sin 2 x ? sin[(2 x ? ) ? ] 3 3


? sin(2 x ? ) cos ? cos(2 x ? ) sin 3 3 3 3 3 1 4 3 4 3 ?3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
潮州市二模数学(文科)试卷第 5 页

?

?

?

?

??????????????10 分

??????????????12 分
(共 4 页)

17.解: (1)设“甲胜且两个编号的和为 6”为事件 A .甲编号 x ,乙编号 y , ( x, y ) 表示一个基 本事件,则两人摸球结果包括(1,1)(1,2) , ,??, (1,5)(2,1)(2,2) , , ,??, (5,4) , (5,5)共 25 个基本事件;??????????????????????????1 分

A 包含的基本事件有(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)共 5 个 , , , ,
所以 P( A) ?

????3 分

5 1 ? 25 5

????????????????????????????4 分

答:编号之和为 6 且甲胜的概率为 (2)这种游戏不公平.

1 。 5

???????????????5 分

设“甲胜”为事件 B , “乙胜”为事件 C .甲胜即两编号之和为偶数所包含基本事件数为以下 13 个: (1,1)(1,3)(1,5)(2,2)(2,4)(3,1)(3,3)(3,5)(4,2)(4,4) , , , , , , , , , , (5,1)(5,3)(5,5) , , 所以甲胜的概率为 P ( B ) ? ?????????????????????????7 分

13 ,?????????????????????????9 分 25 13 12 ? 乙胜的概率为 P (C ) ? 1 ? ,??????????????????????11 分 25 25
∵ P( B) ? P(C ) ,∴这种游戏规则不公平.

18.解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ??????????????1 分 a 2 b2

由椭圆定义, 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? (1 ? 1)2 ? ( ∴ a ? 2,

2 2 2 ) ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? 2 2 ????4 分 2 2

2 ? c ? 1,?b ? a2 ? c2 ?.????????????????????5 分 1

x2 ? y 2 ? 1. 故所求的椭圆方程为 2

??????????????????????6 分

(2)设 P( x, y). PF ? (?1 ? x, ? y), PB ? (2 ? x, ? y) ??????????????7 分 1 ∴ PF ? PB ? (?1? x, ? y) ? (2 ? x, ? y) ? (?1? x)(2 ? x) ? y 2 ? x2 ? x ? 2 ? y 2 ????9 分 1 ∵点 P 在椭圆上,∴ y ? 1 ?
2

????

??? ?

???? ??? ?

x2 ????????????????????????10 分 2
(共 4 页)

潮州市二模数学(文科)试卷第 6 页

∴ PF1 ? PB ? ∵? 2 ? x ?

???? ??? ?

1 2 1 3 x ? x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2

2

?????????????????????????????12 分

???? ??? ? 3 1 2 ; x ? ? 2 , PF ? PB 有最大值 ? (? 2) ? 2 ? 1 ? 2 1 2 2 ? ???? ??? ? 3 ???? ??? 3 ∴ ? ? PF1 ? PB ? 2 ,∴ PF ? PB 的范围是 [? , 2] ????????????14 分 1 2 2
∴ x ? 1, PF ? PB 有最小值 ? 1 19. (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC ,∴ BC ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC . ??2 分 又∵ BF ? 平面 ACE , ∴ BF ? AE , ∵ BC ? BF ? B ,∴ AE ? 平面BCE ?????????????????????4 分

???? ??? ?

(2)证明:连结 GF ,∵ BF ? 平面 ACE ,∴ BF ? CE ∵ BE ? BC , ∴ F 为 EC 的中点;∵矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点, ∴ GF // AE . ??????????????????????????????7 分 ?????????????9 分

∵ AE ? 面BFD,GF ? 面BFD , ∴ AE // 平面 BFD .

(3)解:取 AB 中点 O ,连结 OE ,∵ AE ? EB ,∴ OE ? AB ∵ AD ? 平面 ABE ,∴ OE ? AD ∴ OE ? 平面ADC ???????????11 分

∵ AE ? 平面 BCE ,∴ AE ? EB ,∴ AB ? ∴ OE ?

AE 2 ? BE 2 ? 2 2 ??????????12 分

1 AB ? 2 2 1 1 1 4 S△AdC ? OE ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ?????14 分 3 3 2 3 1 ∴ S n ?1 ? an ?1an ( n ? 2) ② 2
????????????????????2 分

故三棱锥 E ? ADC 的体积为 VE ? ADC ? 20. (1)∵ S n ?

1 an an ?1 2



① ? ②得 an ? S n ? S n ?1 ?

1 (an ?1 ? an ?1 )an 2

∵ an ? 0 ,∴ an?1 ? an?1 ? 2

??????????????????????????3 分

数列 {an } 的奇数项组成首项为 a1 ,公差为 2 的等差数列,偶数项组成首项为 a2 , 公差为 2 的等差数列 ????????????????????????????5 分

潮州市二模数学(文科)试卷第 7 页

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∵ a1 ? 1, ∴ a2 ?

S1 ?2 1 a1 2

∴ a2n?1 ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1

???????????6 分

a2n ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n

????????????????????????7 分

∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n. (n ? N*) ; (2)证明:当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? 2 an n (n ? 1)n (n ? 1) n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? 2 a1 a2 a3 an 1 2 3 n 4 2 3 3 4 (n ? 1) n ? 7 1 7 ? ? 4 n 4
??????????????12 分

当 n ? 1 时,

1 7 1 1 5 7 ? 1 ? ; 当 n ? 2 时, 2 ? 2 ? ? ;???????????13 分 2 a1 4 a1 a2 4 4
??????????????????????14 分



1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 a1 a2 a3 an 4

21.解(1) f ?( x) ? 3x2 ? 3, f ?(2) ? 9, f (2) ? 23 ? 3 ? 2 ? 2

???????????2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 2 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 16 ? 0 ;????4 分 (2)过点 A(1, m) 向曲线 y ? f ( x) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 ) 则 y0 ? x03 ? 3x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 3. 则切线方程为 y ? ( x0 ? 3x0 ) ? (3x0 ? 3)( x ? x0 ) ??????????????????6 分
3 2

整理得 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 (*)
3 2

∵过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线 ∴方程(*)有三个不同实数根. 记 g ( x) ? 2x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6x ? 6x ? 6x( x ?1)
3 2 2

令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1.

????????????????????????10 分

潮州市二模数学(文科)试卷第 8 页

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则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x
g ?( x )
g ( x)

(??, 0)

0
0
极大

(0,1)

1

(1, ??)

?
?

?
?

0
极小

?
?
??????????12 分

当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 .

由 g ( x) 的简图知, 当且仅当 ?

? g (0) ? 0 ?m ? 3 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零 ,即? , ? 3 ? m ? ?2 时, ? g (1) ? 0 ?m ? 2 ? 0

点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .??????14 分

潮州市二模数学(文科)试卷第 9 页

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