辽宁省丹东市2014届高三文科数学10月阶段测试试题含详解答案

2014 届高三总复习阶段测试 数学(供文科考生使用)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 其中第 II 卷第(22)题~第(24) 题为选考题,其它题为必考题.第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 3 至 6 页.考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {x || x |? x} , B ? {x | x ? x ? 0} ,则 A ? B ?
2

(A) [?1, 0] (C) [1, ??)

(B) [0, ??) (D) (??, ?1]

(2)等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10 , a4 ? 7 ,则数列 {an } 的公差为 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D)1

(3)已知 ? 是第三象限角, cos ? ? ?

1 ,则 tan ? ? 3
(C) 2 (D) 2 2

(A)

2 4

(B)

2 2

(4)公比为 2 的等比数列{ an }的各项都是正数,且 a3a9 ? 16 ,则 a5 ? (A) 1 (5)已知 cos(? ? (B) 2 (C) 4 (D) 8

?
2

)?

3 (A) ? 5

4 ,则 cos(? ? 2? ) ? 5 7 3 (B) ? (C) 25 5

(D)

7 25

(6)已知 | a |? 1 , | b |? 2 , c ? a ? b ,若 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角是 (A) 30
?

(B) 60

?

(C) 120

?

(D) 150

?

(7)已知 f ?( x) 是函数 f ( x) ? cos x 的导函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 3 f ?( x) ,则使函数

y ? g ( x ? ? ) 是偶函数的一个 ? 值是
(A)

? 6

(B) ?

?
6

(C)

? 3

(D) ?

?
3
1

(8)已知 a、b、c 是空间的三条直线, ?、? 是空间的两个平面,则下列命题错误的是 .. (A)当 c ? ? 时,若 ? ∥ ? ,则 c ? ? (B)当 ? ? ? 时,若 b ? ? ,则 b ? ? (C)当 c ? ? ,且 b ? ? 时,若 c ∥ b ,则 c ∥ ? (D)当 a 在 ? 内的射影是 c ,且 b ? ? 时,若 b ? a ,则 b ? c (9)已知 f ?( x) 是函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x(a ? R) 的导函数,若 f ?(x) 满足
3 2

f ?(x ? 1) ? f ?(1 ? x) ,则以下结论正确的是
(A)函数 f ( x) 的极大值为 0 (C)函数 f ( x) 的极大值为 27 (B)函数 f ( x) 的极小值为 5 (D)函数 f ( x) 的极小值为 ?27

(10)已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 (A) (2, ??) (B) [2, ??) (C) (1, ??) (D) [1, ??)

(11)在△ ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,已知 a、b、c 成等比数列,且

a2 ? c2 ? ac ? bc ,则
(A)

c ? b sin B
3 2
(C)
*

1 2

(B)

2 3 3

(D) 3

(12)数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? pan ? p(n ? N , p ? R, p ? 0) ,则“ p ? 1 ”是“数列

{an } 是等差数列”的
(A)充分不必要条件 (C)充分且必要条件 (B)必要不充分条件 (D)不充分也不必要条件 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知 A(?1,1) , B(2, ?3) , O 是坐标原点, OP ? OA ? ? AB(? ? R ) ,若点 P 在第 三象限,则 ? 的取值范围是 ;

??? ?

??? ?

??? ?

2

(14)若直线 y ? kx ? 1 是曲线 y ?

2 ( x ? 0) 的切线,则实数 k ? x

; ;

(15)如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为

2

2

主视图
2 2 2

左视图

俯视图 (16)已知函数 f ( x) ? x ? ln x ,若 ?x1 ? [ , 2] , ?x2 ? [ , 2] ,使 f ( x1 ) ? x2 ? b 成立,
2

1 2

1 2

则实数 b 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和. (I) 已知 {an } 是首项为 a1 , 公差为 d 的等差数列, 推导 S n 的计算公式 (用含有 a1 和 d 的式子表示) ; (II)已知 a1 ? 1 , q ? 0 ,且对所有正整数 n ,都有 S n ? 比数列.

1 ? qn ,判断 {an } 是否为等 1? q

(18) (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 图象经过如下三个步骤变化得到的: ①将 y ? sin x 的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

1 ; 2
3

②将①中图象整体向左平移

? 个单位; 6

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍. (I)求 f ( x) 的单调递增区间; (II)在△ ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 3 , a ? 2 ,

b ? c ? 6 ,求△ ABC 面积.

(19) (本小题满分 12 分) 将函数 y ? (sin x ? cos x ) 在区间 (0, ??) 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列
2

{an } .
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn ? 2n an ,其中 n ?N ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
*

(20) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA ? 底面 ABC,△ABC 为正三角形,D、E 分别是 BC、CA 的 中点. (I)证明:平面 PBE ? 平面 PAC; (II)在 BC 上找一点 F,使 AD∥平面 PEF,并说明理由; (III)在(II)的条件下,若 PA=AB=2,求三棱锥 B-PEF 的体积. P

A

E D B

C

4

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x 与函数 g ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 均在 x ? x0 时取得最小值,设函数 ax

h( x) ? f ( x) ? g ( x) , e 为自然对数的底数.
(I)求实数 a 的值; (II)证明:

1 是函数 h( x ) 的一个极大值点; e

(III)证明:函数 h( x ) 的所有极值点之和的范围是 ( , ..

3 e ?1 ). e e

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多答,则按答题位置最前的 、 、 题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延 长线上. (I)若

EC 1 ED 1 DC 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
2

F

A D C

(II)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF // CD . E (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

B

在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,以极点为原点, 极轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为

?5 x ? 1 ? 4t ( t 为参数) . ? ?5 y ? 18 ? 3t
(I)求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C 2 的普通方程; (II)设点 P 为曲线 C 2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,求这两条切线所成 角余弦值的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| .
5

(I)不等式 f ( x) ? a 的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ,求 a 值; (II)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? f ( x ? 1) ? m
丹东市 2014 届高三总复习阶段测试 数学(文科)参考答案与评分标准

说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)B (2)C (3)D (4)B (5)D (7)D (8)B (9)D (10)A (11)C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) ( , )

(6)C (12)A

1 1 4 3

(14) ?

1 8

(15) 8?

(16) ( ??, ]

3 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)∵ ?

? S n ? a1 ? a2 ? ??? ? an , a n ? a1 ? (n ? 1)d , ? S n ? an ? an ?1 ? ??? ? a1

???(2 分)

∴?

? S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? ??? ? (a1 ? (n ? 1)d ) , ? S n ? an ? (an ? d ) ? ??? ? (an ? (n ? 1)d )
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 2 2

???(4 分)

∴ Sn ?

???(6 分)

注:①写成 Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ??? ? (a1 ? (n ? 1)d ) ? na1 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1)]d 直接利用 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ?

n(n ? 1) n(n ? 1) 导出 Sn ? na1 ? d 不给分; 2 2

②写成 Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ??? ? (a1 ? (n ? 1)d ) ? na1 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1)]d , 在设 Tn ? 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ,写成 Tn ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ??? ? 1 , 导出 1 ? 2 ? ??? ? (n ? 1) ? (II)由题意知 q ? 1 ,

n(n ? 1) n(n ? 1) ,进一步得出 Sn ? na1 ? d 给满分. 2 2

6

当 n ? 2, n ? N 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? q n ?1 ,
*

???(8 分) ???(10 分) ???(12 分)

∵ q ? 0 ,∴当 n ? 1 时, q n ?1 ? 1 ? a1 , ∴ an ? q n ?1 ,∴ 数列{an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列. (18) (本小题满分 12 分) 解: (I)变换①得到函数 y ? sin 2 x 图象, 变换②得到函数 y ? sin(2 x ?

???(1 分) ???(3 分) ???(4 分)

?
3

) 图象, ) 图象,

变换③得到函数 y ? 2sin(2 x ? 由 2k? ?

?
3

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?

[ k? ?

5? ? , k? ? ](k ? Z) ; 12 12

2

,得到函数 f ( x) 的单调递增区间是 ???(6 分)

(II)∵ f ( A) ? 1 ,∴由于 sin(2 A ? ∵

?
3

)?

3 , 2
???(8 分)

?
3

? 2A ?

?

7 ? 2? ? ,A? , ? ? ,∴ 2 A ? ? 3 3 3 3 6
2 2

由余弦定理得 b ? c ? 3bc ? 2 ,即 (b ? c) 2 ? (2 ? 3)bc ? 2 , 又b ? c ?

6 ,? bc ? 4(2 ? 3) ,
???(12 分)

1 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 ? 3 . 2
(19) (本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ,
2

其极值点为 x ?

kπ π ? (k ? Z) , 2 4

???(2 分)
π π 为首项, 为公差的等差数列, 4 2

它在区间 (0, ??) 内的全部极值点构成以 ∴ an ?
π π π ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ; 4 2 4 π (2n ? 1) ? 2 n 4

???(6 分)

(II)∵ bn ? 2n an ?

π π ∴ Tn ? [1 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ] ,∴ T1 ? , 4 2 π 2Tn ? [1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4

???(8 分)

∴当 n ? 2, n ? N 时,相减,
*

7

π 得 ?Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4

???(10 分)

∴ Tn ?

π [(2n ? 3) ? 2n ? 3] , 2 π [(2n ? 3) ? 2n ? 3] . 2
???(12 分)

综上,数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn ?

(20) (本小题满分 12 分) 证明: (I)∵PA ? 平面 ABC,DE ? 平面 ABC, ∴PA ? DE,∵△ABC 为正三角形, E 是 CA 的中点,∴BE ? AC, 又 PA,CA ? 平面 PAC,PA ? CA=A, ∴BE ? 平面 PAC, ∵BE ? 平面 PBE,∴平面 PBE ? 平面 PAC; ???(4 分) (II)F 为 CD 的中点,∵E,F 分别为 AC,CD 的中点, ∴EF 是△ACD 的中位线,∴EF∥AD, 又 EF ? 平面 PEF,AD ? 平面 PEF, ∴AD∥平面 PEF; ???(8 分) (III)∵三棱锥 B-PEF 的体积等于三棱锥 P-BEF 的体积,高是 PA =2, 底面 BEF 的面积是

1 3 3 3 3 ? ? ? 2 2 2 8 3 . 4
???(12 分)

∴三棱锥 B-PEF 的体积 V= (21) (本小题满分 12 分)

解: (I) f ?( x) ? ln x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 ,列表: e

x
f ?( x)

1 (0, ) e

?

1 e 0
极小值 ?

1 ( , ??) e ?
1 e

f ( x)
∴当 x ?

?

?
???(3 分)

1 1 时,函数 f ( x) ? x ln x 取得最小值,∴ x0 ? , e e

当 a ? 0 时,函数 g ( x) 是增函数,在 (0, ??) 没有最小值, 当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? x ?

1 1 ?2 , ax a 1 , a
???(5 分)

是最小值,取等号时, x0 ?

8



1 1 ? ,得 a ? e2 ; a e
1 1 , h?( x) ? ln x ? 2 2 , 2 e x e x

???(6 分)

(II) h( x) ? x ln x ? x ? ∵ h??( x) ?

e2 x 2 ? 2 2 2 ,∴ h?( x) 在 (0, ) 递减,在 ( , ??) 递增, 2 3 e e e x

∵ h?( ) ? 0 ,∴ x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 递增,

1 1 e e 1 1 x ? ( , ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减,∴ 是函数 h( x) 的一个极大值点 e e
???(9 分)

(III)∵ h?(

2 2 1 1 1 ) ? ln ? ? (ln 2 ? 1) ? 0 , h?(1) ? 2 ? 0 , e e 2 2 e

h?( x) 在 (

2 2 , ??) 递增,∴在 ( ,1) 存在唯一实数 m ,使得 h?(m) ? 0 , e e

h?( x) 在 (

2 2 , ??) 递增,∴ x ? ( , m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减, e e

x ? (m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增,
∴函数 h( x ) 在 (

2 , ??) 有唯一极小值点 m , e

???(10 分)

∵ h?( ) ? ln 2 ?

2 e

3 16 2 ? ln 4 3 ? 0 ,∴ m ? ( ,1) , 4 e e
2 1 ) 有唯一极值点 , e e

由(II)知, h( x ) 在 (0,

∴函数 h( x ) 的所有极值点之和 ..

1 3 e ?1 ? m?( , ). e e e

???(12 分)

(22) (本小题满分 10 分) 解: (I)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴ ?EDC ? ?EBF , ∵ ?DEC ? ?AEB , ∴△ EDC ∽△ EBA ,

F A

EC ED DC , ? ? EA EB AB EC 1 ED 1 ∵ ? , ? , EB 3 EA 2


D

B

E

C

9



DC 6 ; ? AB 6

???(5 分)

EF FB , ? FA FE ∵ ?EFA ? ?BFE ,∴△ FAE ∽△ FEB , ∴ ?FEA ? ?EBF ,又∵ ?EDC ? ?EBF , ∴ ?FEA ? ?EDC ,∴ EF // CD .
(II)∵ EF 2 ? FA ? FB ,∴ (23) (本小题满分 10 分) 解: (I)对于曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,

???(10 分)

可化为直角坐标方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ;
2 2 2 2

?5 x ? 1 ? 4t 对于曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?5 y ? 18 ? 3t
可化为普通方程 3x ? 4 y ? 15 ? 0 ; ???(5 分)

(II)过圆心 (1, ?2) 点作直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的垂线,此时两切线成角 ? 最大,即余 弦值最小,则由点到直线的距离公式可知,

d?

| 3 ?1 ? 4 ? (?2) ? 15 | 3 ?4
2 2

? 4 ,则 sin

?
2

?

1 7 ,因此 cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? , 4 8 7 8
???(10 分)

因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是 [ ,1) . (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (I)不等式 f ( x) ? a 等价于 ?a ? 2 x ?1 ? a ,即

1? a 1? a , ?x? 2 2

?1 ? a ? 2 ?0 ? ∵不等式 f ( x) ? a 的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ,∴ ? , a ? 1; 1? a ? ?1 ? 2 ?
(II) g ( x) ?

???(5 分)

1 , | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | ? m

∵ g ( x) 的定义域为 R ,∴ | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |? ?m 没有实数根, ∵ | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3|?| (2 x ?1) ? (2 x ? 3) |? 2 ,当 ∴ ?m ? 2 ,实数 m 的取值范围是 (?2, ??) .

1 3 ? x ? 时取等号, 2 2
???(10 分)

10

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