广州市七区联考2013-2014学年第二学期期末教学质量监测高一数学_图文

2013-2014 学年第二学期期末教学质量监测

高一数学
本试卷共 4 页, 20 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 5.本次考试不允许使用计算器. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. sin 330 等于(
A. ?
o


B. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2
)

2.已知角 ? 的终边上有一点 P 的坐标是 - 1,2 2 ,则 cos? 的值为( A. ?1 3.函数 f ( x) ? A. ? ? C. ?

?

?

B. 2 2

1 3


D.

3 3

2 sin( x ? ) 的一个单调递增区间可以是( 4
B. ? ?

?

? ? ?? , ? 4 4? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

C. ?

? ? 3? ? , ?2 4 ? ?

D. ? 0, ? ?

4.如图,点 O 是梯形 ABCD 对角线的交点, AD P BC ,

uur uuu r uu u r 则 OA ? BC ? AB ?
A. CD

A ( ) C. DA O

D

uuu r

B. ?CO

uuu r

uuu r

D. CO

uuu r

B

C

2 5.若 0 ? ? ? 2? ,且满足不等式 cos

?
2

? sin 2

?
2

? 0 ,那么角 ? 的取值范围是 (

)

A. ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ?

B. ?

?? ? ,? ? ?2 ?

C. ?

? ? 3? ? , ? ?2 2 ?

D. ?

? 3? 5? ? , ? ? 4 4 ?


6.设 {an } 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1 , a5 ? 16 ,则数列 {an } 前 7 项的和为( A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 )

?? ? 7.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只要把函数 y ? sin x 的图象上所有的点( 3? ?
A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移

?
3

个单位长度后横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) 个单位长度后横坐标缩短为原来的

?
3

1 倍(纵坐标不变) 2

?
3

个单位长度后横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) 个单位长度后横坐标缩短为原来的

D. 向左平移

?
3

1 倍(纵坐标不变) 2
( )

8.在等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 45 ,则 S9 ? A. 18 B. 81 C. 63

D. 45 ) y
? x 2

9. 函数 y ? cos x tan x ( ? y -?
2

?
2

?x?
y 1

?
2

) 的大致图象是 (
y
? x 2

1
? x 2

1 -?
2

1
? x 2

o -1 A

-?
2

o -1 B
? ??

-?
2

o -1 C

o -1 D

10.已知长度均为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运 动,如图所示,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是 ( A. 2 B. 2 C. 4 D. 1

? ??

o

)

uuu r

uur

uu u r



C B O A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知向量 a 、 b , a ? (4, 2) , b ? (6, m) ,且 a // b , 则m? .

A

12. 若 x ? 0 ,则函数 y ?

x2 ?1 的最小值是____ _. x
C D
米.

13. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔 底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D .测得

B

?BCD ? 150,?BDC ? 300,CD ? 30 米,并在
点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ,则塔高 AB= 14. 定义运算符号: “ 记作
0

?

” ,这个符号表示若干个数相乘,例如,可将 1×2×3×?×n ,其中 a i 为数列 {an }(n ? N ) 中的第 i 项。
*

? i (n ? N
i ?1

n

*

) ,记

Tn ? ? ai
i ?1

n

若 Tn ? 2n (n ? N ) ,则 an =__________.
2 *

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分) 已知向量 a 、 b , a ? 4 , b ? (1)求 a ? b ; (2)求 a ? b .

3 , ? a + b ? ? ? a ? 2b ? ? 4 .

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A , ? 是常数, A ? 0 , 0 ? ? ? ? , x ? R ) 在x ? 时取得最大值 3 . 8 ⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 的解析式; ⑶若 f (? ?

?

?
8

) ? ?1 ,求 sin ? .

17. (本小题满分 14 分)

{an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和.若 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等
差数列. (1)求 {an } 的通项公式. (2)令 bn ? log 2 a2n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 14 分) 浙江卫视为《中国好声音》栏目播放两套宣传片,其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时 间为 30 秒(即宣传和广告每次合共用时 4 分钟),收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广 告时间为 1 分钟,收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有 4 分钟广告,而电视台每周只能为该 栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间.两套宣传片每周至少各播一次,问电视台每周应播映两 套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多?

19.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 S?ABC ? (1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 a ? c 的取值范围.

r 3 uur uuu BA ? BC . 2

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? N ? , n ? 2) ,且 a4 ? 65 . (1)求数列 ?an ? 的前三项; (2)是否存在一个实数 ? ,使数列 ?

若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由; (3)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

? an ? ? ? ? 为等差数列? n ? 2 ?

2013-2014 学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B 9 C 10 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 题号 11 12 13 14

答案

3

2

AB ? 15 6

?2(n ? 1), ? an ? ? n 2 ( ) (n ? 2). ? ? n ?1
漏 n=1 的情况给 3 分

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分) 已知向量 a 、 b , a ? 4 , b ? (1)求 a ? b ; (2)求 a ? b . (本小题主要考查向量的基本概念和性质,考查向量的线性运算的能力等) 15.解:(1) (a ? b) ? (a ? 2b) ? 4

3 , ? a + b ? ? ? a ? 2b ? ? 4 .

? a ? a ? b ? 2b ? 4 ???????????????????????1 分
即 a ? a ?b ? 2 b ? 4
2 2

2

2

?????????????????????3 分

即 42 ? a ? b ? 2 ? ( 3) 2 ? 4 ????????????????????4 分

?a ? b ? 6
(2)

??????????????????????6 分 ??????????????????8 分
2 2 2

a ? b ? (a ? b) 2
2

而 (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 42 ? 2 ? 6 ? ( 3) 2 ? 31 ??11 分

? a ? b ? (a ? b) 2 ? 31

???????????????12 分

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A , ? 是常数, A ? 0 , 0 ? ? ? ? , x ? R ) 在x ? 时取得最大值 3 . 8 ⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 的解析式; ⑶若 f (? ?

?

?
8

) ? ?1 ,求 sin ? . 2? ? ? ??????2 分(列式 1 分,计算 1 分) 2

(本小题主要考查解三角函数的简单性质,考查简单恒等变换.) 解: (1) f ( x) 的最小正周期 T ? ⑵依题意 A ? 3

???????????????4 分

3 sin( 2 ?
因为

?
8

? ? ) ? 3 ?????????????5 分 5? ? 且 sin( ? ? ) ? 1 ???????6 分 4 4

?
4

?

?
4

?? ?

所以

?
4

?? ?

?
2

,? ?

?
4

?????????????7 分

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?
⑶由 f (? ?

?
4

) ??????????????8 分

?
8

) ? ?1 得 3 sin( 2? ?

?
2

) ? ?1 ???????9 分

1 ?????????????????10 分 3 1 2 所以 1 ? 2 sin ? ? ? ??????????????11 分 3
即 cos 2? ? ?

sin ? ? ?

6 ??????????????????12 分. 3

17.(本小题满分 14 分)

{an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和.若 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等
差数列. (1)求 {an } 的通项公式.(2)令 bn ? log 2 a2 n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式,考查运算求解能力.) 解: (1)设 ?an ? 的公比为 q (q ? 1) ,则

a1 ? a 2 ? a3 ? 7 ? ? ( a ? ? 1 3) ? (a3 ? 4) ? 3a ??????????????2 分 2 ? 2 ?
即?

? a1 ? a 2 ? a 3 ? 7 ??????????????3 分 ?a1 ? 6a 2 ? a 3 ? ?7

? a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7 ???????????????5 分 ? 2 ?a1 (1 ? 6q ? q ) ? ?7
解得 ?

?a1 ? 1 ????????????????????7 分 ?q ? 2

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n?1 ????????8 分
(2)由(1)得 a2n ? 2 2 n?1 ????????????9 分 故 bn ? log 2
2 2 n ?1

? 2n ? 1 ?????????????11 分

? bn?1 ? bn ? 2 ?????????????????12 分
故 ?bn ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 ?????13 分

? Tn ?

(b1 ? bn ) ? n ? n 2 ?????????????14 分 2

18.(本小题满分 14 分) 浙江卫视为《中国好声音》栏目播放两套宣传片,其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时 间为 30 秒(即宣传和广告每次合共用时 4 分钟),收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟, 广告时间为 1 分钟,收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有 4 分钟广告,而电视台每周只能为 该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间.两套宣传片每周至少各播一次,问电视台每周应播映 两套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多? (本小题主要考查线性规划的实际应用,考查规划建模、求解能力和数形结合能力).

解:设电视台每周应播映甲片 x 次,乙片 y 次,总收视观众为 z 万人.????1 分

? 0.5 x ? y ? 4 ? x ? 2y ? 8 ?3.5 x ? y ? 16 ?7 x ? 2 y ? 32 ? ? 由题意得 ? ,即 ? (每个不等式 1 分)????5 分 * * ? x ? 1, x ? N ? x ? 1, x ? N * * ? ? ? y ? 1, y ? N ? y ? 1, y ? N
目标函数为

Z ? 60x ? 20y ???????????????????6 分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域如下图 (能画出相应直线,标出阴影部分,标明可行域,即可给分)????????9 分

作直线 l: 60x ? 20 y ? 0 ,即 3x ? y ? 0 .(画虚线才得分)?????10 分 平移直线 l,过点(1,12.5)时直线的截距最大, 但 x, y ? N * A(1,12),B(2,9)这两点为最优解 故得:当 x=1,y=12 或 x=2,y=9 时,zmax=300.???????????13 分 (本题两组答案,答对每组给 1 分) 答:电视台每周应播映宣传片甲 1 次,宣传片乙 12 次 或宣传片甲2次,宣传片乙9次才能使得收视观众最多.一???????14分 19.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 S?ABC ?

3 BA ? BC . 2

(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 a ? c 的取值范围. (本小题主要考查解三角形和不等式的相关知识,考查简单恒等变换.) 解: (1)

S ?ABC ?

1 ac sin B ,???????????1 分 2

BA ? BC ? ac cos B ,???????????????2 分

? ac sin B ? 3ac cos B ,?????????????3 分
? 0 ? B ? ? ,??????????????????4 分

? tan B ? 3,
?B ?

?????????????????5 分

?
3

????????????????????6 分

(2)方法一:由余弦定理得

4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

????8 分
a?c 2 ) 2

? 4 ? (a ? c) 2 ? 3ac ? (a ? c) 2 ? 3(

当且仅当 a ? c 时取等号??????????????10 分 解得 0 ? a ? c ? 4 ???????????????11 分

a ? c ? b, ???????????????????12 分 ? 2 ? a ? c ? 4, ?????????????????13 分

?a ? c 的取值范围为 (2,4] ????????????14 分
方法二:由正弦定理得

a?

4 3

sin A, c ?
2? , 3

4 3

sin C

???????????8 分

又 A?C ?

?a ? c ? 4 3

4 3

(sin A ? sin C ) ?

4 3

[sin A ? sin( A ? B)] ????????10 分

?

[sin A ? sin( A ?

?
3

) ]?

4

1 3 [sin A ? sin A ? cos A] ??????11 分 2 2 3

= 4(

3 1 ? sin A ? cos A) ? 4 sin( A ? ) ????????????????12 分 2 2 6

?0 ? A ?

2? ? ? 5? 1 ? ,? ? A ? ? , ? ? sin( A ? ) ? 1 ????????13 分 3 6 6 6 2 3

?a ? c 的取值范围为 (2,4] ?????????????????????14 分
20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: an ? 2an?1 ? 2 n ? 1 n ? N ? , n ? 2 且 a4 ? 65 . (1)求数列 ?an ? 的前三项; (2)是否存在一个实数 ? ,使数列 ? 若不存在,说明理由; (3)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . (本小题主要考查等差数列、等比数列及前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、分类 讨论的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力.) 解:(1) 由 a4 ? 2a3 ? 24 ?1 ? 65 得 a3 ? 25 ???????????????????1 分 ????????????????2 分 同理可得; a2 ? 9

?

?

? an ? ? ? ? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; n ? 2 ?

a1 ? 3 . ?????????????????????3 分
(2)? an ? 2an?1 ? 2n ? 1

a n a n ?1 1 ? n ?1 ? 1 ? n , ??????????????4 分 n 2 2 2 an ? 1 an ?1 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ???????????????5 分 2 2 ?a ? ? ? ? ? ? ?1 时, ? n n ? 成等差数列?????????7 分 ? 2 ? a ?1 3 ?1 ? ( n ? 1) ? n ????????????8 分 (3) ? n n ? 2 2 ?an ? n ? 2n ? 1 ?????????????????9 分 ?

?Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ? n ??????10 分
令 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n 则

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1)2n ? n ? 2n?1 ?????11 分
? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1

??Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ????????12 分
? (1 ? n)2n?1 ? 2 ?Tn ? (n ? 1)2n?1 ? 2
Sn ? (n ? 1)2
n?1

??????????????13 分 ??????????????14 分

?n?2


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