「精品」人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义-精品课件_图文
1.2.2 双曲线的 简单几何性质(2)
复习
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
双曲线
x2 a2
?
y2 b2
?1
(a ? 0,b ? 0)
y2 a2
?
x2 b2
?1
(a ? 0,b ? 0)
y
x?a
o
或
x x ? ?a
y y?a
或
o x y ? ?a
关于 坐标 轴和
(?a,0) y ? ? b x
a
e? c a
原点
(其中
都对 称
(0,?a) y ? ? a x c2 ? a2 ?b2)
b
例1 点 M (x,y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线l : x ? a2 的 c
距离的比是常数 c (c ? a ? 0),求点M的轨迹 .
a
解:设 d是点M到直线 l的距离,则
l' y l
由题意知
|
MF d
|
?
c a
d .M
即
(x ? c)2 ? y2 | x ? a2 |
?
c. a
.
.
F’ O
F
x
c
化简 (c2 ? a2 )x2 ? a2 y2 ? a2 (c2 ? a2 ) .
设
c2 ? a2
? b2 ,则
方程化为
x2 a2
?
y2 b2
? 1 (a ? 0,b ? 0)
? 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义:
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e ? c (e ? 1),则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线,常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2
?
y2 b2
? 1,
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c,0),对应的右准线方程是
x
?
a2 c
.
左焦点F1(?c,0)对应的左准线方程是
x
?
?
a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是:y ? ? a2 c
例2 已知双曲线 x2 - y2 a2 b2
? 1(a
? 0,b
? 0)的焦点F(1 ? c,0)F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点,求证:| PF1 |? a ? ex0 ,
| PF2
|? ?a ? ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明:?双曲线的左准线为x ? ? a2
P.
c
?由整双理曲得线:的| P第F1二|?定ex义0 ?得a:x|0P?F1ac|2
?
c a
.
F1 O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得:|PF2 |?| PF1 | ?2a ? ex0 ? a
| PF1 |min ? c ? a
说明:|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式
双曲线第二定义的应用
P(x0,y0)是双曲线
x a
2 2
-
y b
2 2
=1
(a>0,
b>0)上的一点,F1,F2是左、右焦点,
则∣PF1∣=?∣PF2∣=?
当P在右支上时,∣PF1∣=ex0+a, ∣PF2∣=ex0-a
当P在左支上时,∣PF1∣=-ex0-a, ∣PF2∣=-ex0+a
例3.已知双曲线 y2 12
- x2 13
? 1上支有不同的三点A(x1,y1),B(x0,6),
C(x2,y2 )与焦点F(1 0,5)的距离成等差数列,(1)求y1+y2的值;
(2)求证:线段AC的中垂线经过某一定点,并求出这个点的坐标.
解解: (2):A(C1的) y中1垂?线y方2 程?:1y2? 6
?
x1 ? x2 y2 ? y1
(x
?
x1
? x2 2
)
即: y ? 6 ? x1 ? x2 x ? x12 ? x22 (1) y2 ? y1 2( y2 ? y1)
又
???1y212
? ?
y22
- x12 13
- x22
??12 13
?1 ,? x12
?1
?
x22
?
13 12
(
y12
?
y22 ), 又y1
?
y2
? 13,
? x12 ? x22 ? 13(2), 把(2)代入(1)得,y ? 6 ? x1 ? x2 x ? 13
y1 ? y2
y2 ? y1 2
即y- 25 2
?
x1 ? x2 y2 ? y1
x,则AC的中垂线恒过点(0,225 ).
例4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能
沿AP,BP运到P处,PA=100m,PB=150m?APB=60 ,
M
试证明怎样运土才能最省工.
解 : 设M是沿AP,BP到P同样近的点.
MA ? AP ? MB ? BP A O
B
? MA ? MB ? BP ? AP ?P 50,
又 AB ?
AP 2 ?
2
BP
?2
AP
BP cos 60
? 50
7
则 M A ? MB < AB ,分界线是以A,B为焦点双曲线
的右支, 分界线方程是 x2 ? y 2 ? 1( x ? 25), 625 3750
运土时,将双曲线左侧的土沿AP运到P处,将 双曲线右侧的土沿BP运到P处。
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作业: P56 : 5题, 6题,测试反馈10