「精品」人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义-精品课件_图文
1.2.2 双曲线的 简单几何性质(2)
复习
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
双曲线
x2 a2
?
y2 b2
?1
(a ? 0,b ? 0)
y2 a2
?
x2 b2
?1
(a ? 0,b ? 0)
y
x?a
o
或
x x ? ?a
y y?a
或
o x y ? ?a
关于 坐标 轴和
(?a,0) y ? ? b x
a
e? c a
原点
(其中
都对 称
(0,?a) y ? ? a x c2 ? a2 ?b2)
b
例1 点 M (x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线l : x ? a2 的 c
距离的比是常数 c (c ? a ? 0)，求点M的轨迹 .
a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
l' y l
由题意知
|
MF d
|
?
c a
d .M
即
(x ? c)2 ? y2 | x ? a2 |
?
c. a
.
.
F’ O
F
x
c
化简 (c2 ? a2 )x2 ? a2 y2 ? a2 (c2 ? a2 ) .
设
c2 ? a2
? b2 ，则
方程化为
x2 a2
?
y2 b2
? 1 (a ? 0,b ? 0)
? 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e ? c (e ? 1)，则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线，常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2
?
y2 b2
? 1，
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
?
a2 c
.
左焦点F1(?c，0)对应的左准线方程是
x
?
?
a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是：y ? ? a2 c
例2 已知双曲线 x2 － y2 a2 b2
? 1(a
? 0,b
? 0)的焦点F（1 ? c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 |? a ? ex0 ，
| PF2
|? ?a ? ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明：?双曲线的左准线为x ? ? a2
P.
c
?由整双理曲得线:的| P第F1二|?定ex义0 ?得a：x|0P?F1ac|2
?
c a
.
F1 O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得：|PF2 |?| PF1 | ?2a ? ex0 ? a
| PF1 |min ? c ? a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
双曲线第二定义的应用
P（x0，y0）是双曲线
x a
2 2
－
y b
2 2
＝1
（a＞0，
b＞0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，
则∣PF1∣＝？∣PF2∣＝？
当P在右支上时，∣PF1∣＝ex0＋a， ∣PF2∣＝ex0－a
当P在左支上时，∣PF1∣＝－ex0－a， ∣PF2∣＝－ex0＋a
例3.已知双曲线 y2 12
－ x2 13
? 1上支有不同的三点A(x1,y1),B(x0,6),
C(x2,y2 )与焦点F（1 0,5）的距离成等差数列,(1)求y1+y2的值;
(2)求证：线段AC的中垂线经过某一定点,并求出这个点的坐标.
解解: (2):A(C1的) y中1垂?线y方2 程?:1y2? 6
?
x1 ? x2 y2 ? y1
(x
?
x1
? x2 2
)
即: y ? 6 ? x1 ? x2 x ? x12 ? x22 (1) y2 ? y1 2( y2 ? y1)
又
???1y212
? ?
y22
－ x12 13
－ x22
??12 13
?1 ,? x12
?1
?
x22
?
13 12
(
y12
?
y22 ), 又y1
?
y2
? 13,
? x12 ? x22 ? 13(2), 把(2)代入(1)得，y ? 6 ? x1 ? x2 x ? 13
y1 ? y2
y2 ? y1 2
即y- 25 2
?
x1 ? x2 y2 ? y1
x,则AC的中垂线恒过点(0,225 ).
例4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能
沿AP,BP运到P处,PA=100m,PB=150m?APB=60 ,
M
试证明怎样运土才能最省工.
解 : 设M是沿AP,BP到P同样近的点.
MA ? AP ? MB ? BP A O
B
? MA ? MB ? BP ? AP ?P 50,
又 AB ?
AP 2 ?
2
BP
?2
AP
BP cos 60
? 50
7
则 M A ? MB < AB ,分界线是以A,B为焦点双曲线
的右支, 分界线方程是 x2 ? y 2 ? 1( x ? 25), 625 3750
运土时，将双曲线左侧的土沿AP运到P处，将 双曲线右侧的土沿BP运到P处。
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作业： P56 : 5题, 6题,测试反馈10