四川省雅安中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

雅安中学 2015--2016 学年高二下期半期考试 数学(理工类)
第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项 是符合题目要求的. 1.函数 f(x)在定义域 ? ?

? 3 ? ,3 ? 内的图象如图所示,记 f(x)的导函数为 f′(x),则不等式 ? 2 ?
) B. ? ? 1, ? ∪ ? , ? 2 3 3

f′(x)≤0 的解集为(
A. ?? C. ? ?

? 3 1? , ? ∪[1,2) ? 2 2?
? 1 ? ,1 ∪[2,3) ? 3 ? ?
4 2

? ?

1? ?

?4 8? ? ?

D. ? ?

? 3 1? ?1 4 ? ? 4 ? 3? ,? ? ∪ ? , ? ∪ ? , ? 2 3? ? 2 3 ? ? 3 ?

2. 若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 ( ) A.-1 3.复数 z= A. B.-2 C. 2 ) D.2 ) D.ln 2 D.0

3?i (其中 i 为虚数单位)的虚部为( 1? i
B. ? i C. 2 i

?1

4.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于( ln 2 2 A.e B.e C. 2 5. 函数 f(x)=x -2ln x 的单调递减区间是( A.(0,1)
2

)

B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) 1 π 6. 已知函数 f(x)=asin 2x- sin 3x (a 为常数)在 x= 处取得极值, 则 a 的值为 ( ) 3 3 1 1 A.1 B.0 C. D.- 2 2 7.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢 4 个红包,每人最多抢一个,且红包被 全部抢光,4 个红包中有两个 2 元,两个 3 元(红包中金额相同视为相同的红包) ,则甲乙 两人都抢到红包的情况有( A 6种 B
1

) 18 种 C 24 种 D 36 种

8.若函数 f(x),g(x)满足

?

-1

f ( x) g ( x)dx ? 0 ,则称 f ( x), g ( x) 为区间[-1,1]上的一组
1 1 x, g ( x) ? cos x ; ② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1; 2 2
)

正交函数, 给出三组函数: ① f ( x) ? sin
2

③ f ( x) ? x, g ( x) ? x .其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3

1

9.设函数 f ? x ? 在 R 上可导,其导函数为 f ? ? x ? ,且函数 f ? x ? 在 x ? ?2 处取得极小值, 则函数 y ? xf ? ? x ? 的图象可能是 ( )

A

B ) B. 3
3 2

C

D

10.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面

BED 的距离为 (
A.2

C. 2

D.1

11.已知函数 f ( x) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范 围为( )

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

12.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导, 则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立, 则称函数 f(x)在 D 上为凸函数,以下四个函数在 ? 0, ? 上不是凸函数的是 A.f(x)=sin x+cos x C.f(x)=-x +2x-1
3

? ?? ? 2?

(

)

B.f(x)=ln x-2x D.f(x)=-xe
-x

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

(1 ? i )3 =______________. (1 ? i ) 2
2

14.函数 y=x (x>0)的图象在点 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 a k ?1 , 其中 k∈N (ak , ak) 若 a1 =16,则 a1 ? a3 ? a5 的值是________.

2

*

15.设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (?2, 0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f '( x ) , 且 有

2 f ( x) ? xf '( x) ? x2 ,则不等式 ( x ? 2014)2 f ( x ? 2014) ? f (?1) ? 0 的解集为
16.下列命题: ①若 f ( x) 存在导函数,则 f ?(2 x) ? ? f (2 x)? ; ②若函数 h( x) ? cos x ? sin x ,则 h?(
4 4

?

) ? 0; 12 )(x ? 2016 ) ,则 g ?(2016) ? 2015!; ③若函数 g ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)?( x ? 2015
3 2 ④若三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 则“ a ? b ? c ? 0 ”是“ f ( x) 有极值点”的

?

2

充要条件. 其中假命题为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分,每小题 5 分) (1)求函数 y ?

1 ? cos x 的导数; x2

3 3 3 3 (2)计算: C4 ? C5 ? C6 ? ? ? C10

18.(本小题满分 12 分) 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知侧棱与底面垂直,∠CAB = 90°,且 AC =1, AB =2,E 为 BB1 的中点,M 为 AC 上一点, AM (1)证明:CB1∥平面 A1EM ; (2)若二面角 C1 一 A1E-M 的余弦值为

?

2 AC . 3

5 ,求 AA1 的长度. 5

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? bx ? b) 1 ? 2x (b ? R) . (1) 当 b ? 4 时,求 f ( x) 的极值;

3

(2) 若 f ( x) 在区间 上单调递增,求 b 的取值范围. (0, )

1 3

21.(本小题满分 12 分)某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB,假设桥墩等距离分布,经设 计部门测算,两端桥墩 A、B 造价总共为 100 万元,当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中

64 ? x ? 100 ) ,中间每个桥墩的平均造价为
(2?

80 x 万元,桥面每 1 米长的平均造价为 3

x x )万元. 640

(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f ( x) ; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩 A、B 除外)应建多少个桥墩?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? bx ?

a (a, b 常数)在 x ? 1处的切线垂直于 x

y 轴.
(1)求实数 a, b 的关系式; (2)当 a ? ?1时,函数 y ? f ( x) 与函数 g ( x) ? ?2 x ? m 的图象有两个不同的公共点, 求实数 m 的取值范围; (3)数列 {an } 满足 an ? 1 ? 和为 S n ,求证: 2
n

1 an ?1 ? 1

( n? N 且 n ? 2 ) , a1 ?
*

1 ,数列 {an } 的前 n 项 2

? an ? eSn ?an ?1 ( n ? N * , e 是自然对数的底) .

雅安中学高 2014 级高二下期半期检测 数学(理工类)参考答案及评分标准
4

一、选择题:CBDBA

ABCCD

BD

二、填空题: 13. ?1 ? i ;

14. 21 ; 15. (?2016, ?2015) ;

16. ①②④ [f(2x)]′=f′(2x)(2x)′=2f′(2x),①错误;

( h′(x)=4cos3x(-sinx)-4sin3xcosx=-4sinxcosx=-2sin2x,则 h′

? ) =-1, 12

②错; f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ =4b2-12ac=4(b2-3ac),只需 b2-3ac>0 即可,a+b+c=0 是 b2-3ac>0 的充分不必要条件,④错. 三、解答题 17 .(1)解: y ? ? ?

x sin x ? 2 cos x ? 2 x3

?????5 分

3 3 3 3 4 3 3 3 4 (2)解: C4 ? C5 ? C6 ??? C10 ? C4 ? C4 ? C5 ??? C10 ? C4 4 3 3 3 4 = C5 =?= C11 ? 1 =329 ? C5 ? C6 ? ?? C10 ? C4
4

?????10 分

18 . 解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为 “4 个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三 组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分步乘法计 1 2 1 2 数原理,共有 C4C4C3×A2=144(种). ?????4 分 (2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即 另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球” 是同一件事,所以共有 144 种放法.?????8 分 2 (3)确定 2 个空盒有 C4种方法. 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C4C1A2种方法;第 C4C2 2 C4C2 2 2 3 1 2 二类有序均匀分组有 2 ·A2种方法.故共有 C4(C4C1A2+ 2 ·A2)=84(种).????12 分 A2 A2
2 2 2 2 3 1 2

5

20 . 解(1)当 b=2 时, f ? x ? = ? x+2 ?

2

1? ? 1-2x 的定义域为 ? -?, ? 2? ?

f ' ? x ? ? 2 ? x ? 2? 1 ? 2x ? ? x ? 2?
令f
'

2

?5x ? x ? 2 ? 1 1 ????2 分 ? ?2? ? 2 1 ? 2x 1 ? 2x

? x? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 0
1 ? 1? ' 时, f ? x ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? ??, ?2 ? ,? 0, ? 上单调递减; 2 ? 2?

当 x ? ?2和0<x<

当 ?2<x<

1? 1 ? ' 时, f ? x ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? ?2, ? 上单调递增;?????4 分 2? 2 ?

所 以 , 当 x ? ?2 时 , f ( x) 取 得 极 小 值 f (?2) ? 0 ; 当 x ?

1 时 , f ( x) 取 得 极 大 值 2

f (0) ? 4 .?????6 分
(2) f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增 ? f

? ?

1? 3?

'

? x ? ? 0, 且不恒等于 0 对 x? ? ? 0,
?

1? ? 恒成立 3?
6

f ' ? x ? ? ? 2 x ? b ? 1 ? 2 x ? ? x 2 ? bx ? b ?

1 1 ?5x 2 ? 2 x ? 3bx ? ?2 ? ? 2 1? 2x 1? 2x

??5x 2 ? 3bx ? 2 x ? 0 ??????????????8 分

? 2 ? 5x ? ?b ? ? ? ??????????????10 分 ? 3 ?min

?

2 ? 5x ? 3

2 ? 5?

1 3 ? 1 ??????????????11 分 3 9

1 ? b ? ??????????????12 分 9
21. 解: (1)由桥的总长为 640 米,相邻两个桥墩的距离为 x 米,知中间共有( 个桥墩,于是桥的总造价 f ( x) ? 640 (2 ?
3 1 1

640 ?1 ) x

x x 80 ? 640 ? ) ? x? ? 1? ? 100,?????4 分 640 3 ? x ?
( 64 ? x ? 100 ).?????6 分
3 1

即 f ( x) = x 2 ?

51200 ? 2 80 2 x ? x ? 1380 3 3
1

3 640? 40 ? 2 40 ? 2 x ? x , (2)由(1)可知 f ?( x) ? x 2 ? 2 3 3
整理得 f ?( x) ?

1 ?2 x (9 x 2 ? 80x ? 640? 80) 6
640 (舍) ,?????8 分 9

3

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 80, x2 ? ?

又当 x ? (64,80) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (80,100) 时, f ?( x) ? 0 , 所以当 x ? 80,桥的总造价最低,此时桥墩数为 22.解: (1) f ' ( x) ?

640 ? 1 =7 个.?????12 分 80

1 a ? b ? 2 ,由 f ' (1) ? 0 ,得 b ? a ? 1 .???????2 分 x x 1 (2)当 a ? ?1 时, b ? 0 , f ( x) ? ln x ? . x 1 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即 F ( x) ? ln x ? ? 2 x ? m , x
于是函数 y ? f ( x) 与函数 g ( x) ? ?2 x ? m 的图象有两个不同的公共点, 等价于 ln x ?

1 ? 2x ? m 有两个不同的根.???????3 分 x

7

令 h( x) ? ln x ?

1 1 2x 2 ? x ? 1 1 ' h ( x ) ? ? ? 2 ? ( x ? 0) , ???????4 分 , ? 2x x x2 x2 x

∴ h( x) 在 (0??,?? ] 上 单 调 递 减 , 在 [ ??,??? ?) 上 单 调 递 增 , 且

1 2

1 2

1 h( ) ? 3 ? ln 2 ???????5 分 2 当 x ? 0 时, h( x) ? ?? , 当 x ??? 时, h( x) ? ?? ,
∴当 m ? 3 ? ln 2 时 ,函数 y ? f ( x) 与函数 g ( x) ? ?2 x ? m 的图象有两个不同的公共 点 . ????? 7 分

(3) an ? 1 ?

1

an ?1 ? 1 1 ∴ an ? ?????8 分 n ?1 1 由(2)知 ln x ? ? 2 x ? 3 ? ln 2 , x n n ? 1 2n n ln ? ? ? 3 ? ln 2 令 得 即 x? n ?1 n n ?1 n ?1 n 2 1 ln ? ln 2 ? ? ????10 分 n ?1 n ?1 n 1 2 1 ∴ ln ? ln 2 ? ? 2 2 1 2 2 1 ln ? ln 2 ? ? 3 3 2 ?????? n 2 1 ln ? ln 2 ? ? n ?1 n ?1 n 1 1 1 1 1 ? n ln 2 ? ? ? ??? ? ? ? 1 ? Sn ? an ? 1 累加得 ln ????11 分 n ?1 2 3 n ?1 n ?1


,∴ an ?

an ?1 1 1 1 ? 1? ? n ?1 ,∴ ,∴ an ?1 ? 1 an an ?1 an

ln an ? ln 2n ? Sn ? an ?1



an ? 2n ? eSn ?an ?1 得证

?????12 分

8


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