北京高考数学公式及知识点总结表格(文科)——与2013北京高考考试说明对应

北京 140 中学 2013 高三文科数学高考复习——知识点篇
一、集合与常用逻辑用语: 考试内容 集 合 集合间的关系 集合的交 ? 、 并 ? 、补运算 公式及方法 注意点 集合 A 中有 n 个元素, 则集合 A 的 所有不同的子集个数为 ,真 子集的个数是 ; ①注意集合中的代表元素的形式 ②注意判断区间端点情况 原命题 否命题 关系: 逆命题 逆否命题 ①“非 p ” -----“真假相对” ②“ p 且 q ”-----“全真且真” ③“ p 或 q ”-----“全假或假”
p ? q 则 p 是q 的 p ? q 则 p 是q 的 p ? q 则 p 是q 的

“ ? ”用于____与____之间 “ ? ”用于____与____之间 借助数轴和韦恩图 原命题: p ? q ; 逆命题: q ? p ; 否命题: ? p ? ? q ; 逆否命题: ? q ? ? p “或”、“且”、“非”

四种命题 常 用 逻 辑 用 语

简单的逻辑联 结词

充要条件 全称量词与 存在量词

条件; 1、小范围推出大范围 2、注意语句形式: 条件; “A 是 B 的什么条件” 条件 “B 的什么条件是 A”

“ ? ”、“ ? ”

二、函数概念与指、对、幂函数: “四项基本原则”: 求定义域 注意定义域用集合表示

函 数 的 概 念 与 表 示

求值域

求解析式

①单调性法 ②均值不等式法 ③导数法 ①代入法(已知原函数求复合函数) ②换元法(已知复合函数求原函数) ③待定系数法(知道函数的类型)

必须先考虑定义域

使用换元法时注意新元的范围

函数 单调性

①定义法:设量,作差,判断正负,下结论 设 x 1 ? x 2 ,若 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? 0 ? f ( x ) 为增函数 若 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? 0 ? f ( x ) 为减函数 ②导数法:(适用于多项式函数) 定义:_________ ? f ( x ) 为偶函数 ①先看定义域是否关于原点对称 ________ ? f ( x ) 为奇函数 图象:“偶关 y 轴奇原点”
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奇偶性

②如果一个奇函数的定义域包括 0,则必有

平移变换 伸缩变换 图象变换 对称变换

y ? f (x) ? y ? f (x ? h) y ? f (x) ? y ? f (x) ? k y ? f ( x ) ? y ? f (? x ) y ? f ( x ) ? y ? Af ( x )

y ? f (x) ? y ? ? f (x)
y ? f ( x) ? y ? f (? x)

y ? f (x) ? y ? f ( x )
y ? f (x) ? y ? f (x)

幂的运算 指 数 函 数

①a ? 1 ,
0

a
m?n

?n

?
n

1 a
n

m


mn

a

n

= a
n

n

m

②a
图象

m

?a

n

? a

, (a ) ? a
m



( ab )

? a b
n
x

n

定义 定义域 值域 单调性

形如 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1)

指数函数 的概念图 象及性质


x



①对数式与指数式的互化 x ? lo g a N ? a

? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0 )
lo g a N

对数的 概念及 运算性质 对 数 函 数

②对数恒等式: log ②对数运算: log
a

a

1 ? 0 , log
a

a

a ?1 , a
a

? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0 ) ;

( MN ) ? log
M ? log
n
a

M ? log
a

N

log

a

M ? log
a

N

N

log

a

M

? n log

M ;

换底公式

lo g a N ?

lo g b N lo g b a

( a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1)

图象

定义 定义域 值域 单调性

形如 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1)

对数函数 的概念图 象及性质
图象:

定义

幂 函 数

幂函数的 概念图象 及性质

单调性

应 用

函数的 零点

函 数 y ? f (x) 的 零 点 就 是 方 程
f ( x ) ? 0 实数根, 即函数 y ? f ( x )

的图象与 x 轴交点的横坐标。
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求零点个数的方法: ① 解方程,看根的个数 ② 画图,看交点个数

三、三角函数:“一看角、二看名、三看式” 弧度角度 定义
180
?

? ? ( 弧度 )

1弧度 ? (

180

?

) ? 57 1 8 ?
? ?

sin ? ?

y r

, cos ? ?

x r

, tan ? ?

y x

符号规律:“才”

三角函数 线
?
2

诱导公式 同角三角 函数基本 关系 三 角 函 数

“k ?
sin
2

?? , 奇变偶不变, 符号看象限” 注意:符号看变化前的函数
2

? ? cos ? ? 1 sin ? tan ? ? cos ?

注意:开方时符号的选取
y ? cos x

函数 图像

y ? sin x

y ? tan x

定义域 值域 函数的图 象和性质 奇偶性 周期性 单调性

R
[ ? 1, 1 ]

R
[ ? 1, 1 ]

{ x x ? k ? ? ? / 2}

R

奇函数
2?

偶函数
2?

奇函数
?

对称轴 对称中心 三 角 恒 等 变

x ? k? ?
(k? , 0)

?
2

x ? k?
(k? ?


( k? 2 , 0)

?
2

, 0)

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

辅助角公式:
a sin ? ? b cos ? ? a
2

两角和 与差

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ?? ? ?

??

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?b

2

sin( ? ? ? )

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换 二倍角

sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?

cos 2 ? ? cos

2

? ? sin
2

2

?
2

sin

2

? ?
? ?

1 ? cos 2 ? 2 1 ? cos 2 ? 2



? 2 cos
tan 2 ? ?

? ? 1 ? 1 ? 2 sin
2

?

cos

2

2 tan ?

内角和 正弦定理 解 三 角 形

1 ? tan A? B ?C ?? a ? b sin B ?

?
c sin C

? 2R

sin A

余弦定理

面积公式

S? ?

1 2

bc sin A ?

1 2

ac sin B ?

1 2

ab sin C ?

1 2

底 ?高

四、数 列:
概 念 定义 等 差 通项公式 数 列 、 前 n 项和 公式 等 比 数 中项 列 下标和 性质 按照一定次序排列起来的一列数 等差数列 等比数列

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

?

n (a1 ? a n ) 2

? n a 1 ( q ? 1) ? na 1(q ? ? ? n S n ? ? a (1 ? q ) ? ? a1 a ?a q 1 q ? 1 n ( q ? 1) ? ? ? 1? q ? 1? q ? 1? q
a , G , b 成等比数列 ?

a , A , b 成等差数列 ?

数 列

若 m ? n ? p ? q ,则

若 m ? n ? p ? q ,则

⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. ⑵已知含 S n 的关系式: a n ? ? 数列通项求法 ⑶已知递推关系式: “ a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 型”用迭加法; “ 数列求和方法
a n ?1
an

? S 1 , ( n ? 1) ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2 )

.并检验是否可以合并写

? f (n)

型”用迭乘法.

证明

①公式法:等差数列,等比数列求和公式; ②分组求和法:如 ③裂项相消法:如 ④错位相减法(“差比数列”): 如 证明一个数列为等差(或等比)数列必须从定义出发,
共 8 页(第 4 页)

五、不等式
a ? 0 二次函数

? ? 0

? ? 0

? ? 0

一元二次不等式

y ? ax ? bx ? c 的图象
2
O

ax ax

2

? bx ? c ? 0

的解集
2

不 等 式

? bx ? c ? 0

的解集

简单线性规划

直线定界, 特殊点定域, 画好平面区 注意规范作图 域,平移基准线,找到最值点。
如果 a,b∈ R ,那么
?

a ?b 2

≥ ab

使用条件: “一正二定三取等;

基本不等式

(当且仅当 a=b 时取“=”号) 基本变形: ①a ? b ? ; ② ab ? ; 有坐标

六:平面向量
运算 无坐标
a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 )

加减法

a ?b ?

数乘向量 向量的数量积 向量平行 向量垂直 距离 夹角
a· = b a // b ? a ⊥b ?

a ? · = a· = b a // b ? a ⊥b ?

︱ a ︱=
cos ? a , b ??

︱ a ︱=
cos ? a , b ??

七、导数
f

? x ? 在点 x 0 处的导数记作:
x ? x0

导数概念

y?

? f ? ( x 0 ) ? lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? 0

导数的几何意义

函数 y ? f ? x ? 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ? x ? 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的 切线的斜率,即:
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①C ? 0 ;
'

② ( x ) ? nx
n ' ' x x ' x

n ?1



③ (sin x ) ? cos x ;
'

④ (cos x ) ? ? sin x ; ⑥ (e ) ? e ; ; ⑧ (ln x ) ?
'

公式

⑤ ( a ) ? a ln a ;
x '

⑦ (log 导数的运算 运算 法则

a

x) ?
'

1 x ln a

1 x

?1 ? ?2?

?f ? ?f ?

? x ? ? g ? x ??? ? ? x ? ? g ? x ??? ?

? f ?? x ? ? g ?? x ? ? f ?? x? g ? x? ? f



? x? g?? x?



? ? f ?x?? f ?? x? g ? x ? ? f ? x ? g ?? x ? ?g ?x? ? 0? ? ? ? 2 ? g ? x ?? 3? ? g ? x? ? ? ? ?

单调 性

f

/

?x ? ?

0 ? 单调递增;

/ 单调递增 ? f ? x ? ? 0 ; / 单调递减 ? f ? x ? ? 0

f ? ? x ? ? 0 ? 单调递减.

解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x 0 ? ? 0 时:

? 1 ? 如果在 x 0 附近的左侧
导数的应用 极值
f

f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么

? x 0 ? 是极大值;
f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么

? 2 ? 如果在 x 0 附近的左侧
f

? x 0 ? 是极小值.
? f ? f

? 1 ? 求函数 y
最值

? x ? 在 ? a , b ? 内的极值; ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ?

? 2 ? 将函数 y

比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

八、复数
形如 复数的概念 的数

复数相等的条件 复数的代数表示法 及几何意义

z=a+bi 是实数 ? z=a+bi 是虚数 ? z=a+bi 是纯虚数 ? a+bi=c+di ?
? ? 复数 z ? a ? bi ? ? ? ? 向量 OZ ? ? ? ? 点 Z(a, b)
一一对应 一一对应

复数的四则运算

设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (2) z1z2 = (3)
z1 z2
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=

九、立体几何初步:画思维导流图
①由平行四边形得到 ②由三角形中位线得到 ③直线与平面平行的性质定理: 如果一天直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和两平面的 交线平行。 ④如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平 行。 ①直线与平面平行的判定定理: 如果不在平面内的一条直线和平面 内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 ②平面与平面平行的定义 ①平面与平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线平 行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ②推论: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条直线,则这两个平面平行。 ①勾股定理 ②等腰三角形三线合一 ③线面垂直定义 ①直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线与平面内的两条相交 直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。 ②平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面过另一个平面的一条垂 线,则两个平面互相垂直。

线线平行证明 平 行 线面平行证明

面面平行证明

线线垂直证明 垂 直 线面垂直证明 面面垂直证明 十、平面解析几何 斜率
k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 ) =

=
l 1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

l1 : y ? k 1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b 2

平行 垂直 平面 解析 几何 初步

l 1 // l 2 ?

l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
l 1 // l 2 ?

l1 ? l 2 ?

l1 ? l 2 ?

点斜式 直线 方程 两点式 一般式
A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) 两点间距离: AB ?
? By ? C ? 0 的距离: d ?

距离 点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 l: Ax
d ?

两条平行直线 l 1: Ax ? By ? C 1 ? 0, l 2: Ax ? By ? C 2 ? 0 距离:

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圆与 方程
x

方程
(x ? a) ? ( y ? b)
2 2 2

圆心
? r
2

半径

? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

①直线与圆的位置关系:相离、相切和相交。

直线 与圆

? d ? r ? 相交 ②判断方法:圆心到直线的距离 ? d ? r ? 相切 ? ? d ? r ? 相离 ?

③弦长及切线长:构造直角三角形解决

定义 标准方程 椭圆

图形

离心率 定义 标准方程 双曲 图形 线 圆锥 曲线 与方 程 渐近线 离心率 定义 标准方程 抛物 图形 线 焦点 准线 直线 与圆 锥曲 线
①直线与圆锥曲线联立方程组 ②消去 x (或 y )得到一元二次方程, 四步曲 ③求出 ? ,根据 ? 判定直线与圆锥曲线的位置关系 ④韦达定理: x 1 ? x 2 ? ? 弦长公式
AB ?
共 8 页(第 8 页)

b a

, x1 ? x 2 ?

c a

共 8 页(第 9 页)


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