基本初等函数图像及其性质表


函数名 解析式

一次函数

二次函数

反比例函数

指数函数

f ( x) ? ax ? b(a ? 0)
a>0

f ( x ) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0)

f ( x) ?

k (k ? 0) x

f ( x) ? a x ( a>0且a ? 1)

图像

a>0

k>0
1

定义域 值域 必过点

R R

R

?x | x ? 0?

R

(0, b)
不是周期函数 在 R 上单增

4ac ? b 2 ,??) 4a (0,c) [

(- ?, 0) ? (0, ? ?)(0, ? ?)
(k ,1) ( ? k ,?1)

(0,1)
不是周期函数

周期性 单调性

不是周期函数

不是周期函数

?b (- ?, ) 为减 2a ?b ( ,??) 为增 2a
开口向上有最小值

(- ?, 0)为减 (0, ? ?)为减
不存在最大最小 值

a ? 1为增, 0 ? a ? 1为减
在 R 上不存在最大最 小值

最大最小 值

在 R 不存在最大最小值

ymin ?
奇偶性

4ac ? b 2 4a

b ? 0为奇函数 b ? 0非奇非偶函数

b ? 0为偶函数, b ? 0为非奇非 偶函数

奇函数

非奇非偶函数

对称性

关于图像上 任何一点对称; 函数图像关于直线 1 x ? t对称, a t为常数。 y?-

函数图像关于 直线x ? ?b 对称 2a

函数图像关于原 点对称;

既不成中心对称也不 成轴对称。

图像关于 直线y ? x对称, 和关于 直线y ? ? x对称。

渐近线





直线x ? 0或者 直线y ? 0.

直线y ? 0.

y? (0 ?

函数名 解析式

对数函数

幂函数的一个例子

双钩函数

含绝对值函数

y ? log a

x

y?

x

( a ? 0且a ? 1)

( x ? 0)

图像

定义域 值域

?0, ? ??
R

?0, ? ??

?0, ? ??
?1,1?

必过点

(1,0)

yy
{x | x ? 0}

b y ? ax ? (a ? 0) x 中学研究方便通常 只了解b ? 0的情况

y ? x ?a ? x ?b 为了研究方便 设a ? b

R

?- ?, - 2 ab ?? ?2 ab, ? ??
b ,2 ab) a (?

?b ? a,?? ?
(a, b ? a) (b, b ? a)



b ,?2 ab ) a

周期性 单调性

不是周期函数

不是周期函数

不是周期函数
? b? ? - ?, ?递增, ? a? ? ? ? ?? ? b ? ,0 ?递减, a ? ? ? ?递减, ? ?

不是周期函数

a ? 1, 单调递增。 0 ? a ? 1, 单调递减。

定义域内 为增函数

?- ?,a ?为减函数。 ?b,?? ?为增函数。
[a, b]上为常值 函数。

? b ? 0, ? a ?

最大最小值

无最大最小值









? b ? ? ? ? a ,?? ?递增。 ? ? 无最大最小值

ymin ? 0 , 无 最
大值 奇偶性 对称性 非奇非偶 既不是轴对称也 不是中心对称 直线 x=0 非奇非偶 既不是轴对称也不 是中心对称 奇函数 关于原点成中心对称

ymin ? b ? a

a ? b ? 0为偶函数
关 于 直 线

x?

a?b 对称。 2

渐近线

y ? ax 和 x ? 0

函数名 解析式

正弦函数

余弦函数

正切函数

余切函数

y ? sin x

y ? cos x

图像

定义域 值域 必过点 周期性

R

R

?? 1,1?
?k? ,0?
2?

?? 1,1?
(k? ?
2?

?
2

,0)

yy y
{x ? k? ?

y ? tan x

?

y ? A sin(?x ? ? )

2

, k ? z}

( A ? 0, ? ? 0)

{x | x ? k? ?

?

2

, k ? z}

R

R

?- A, A?

?k? ,0?

?

2?

?
单调性

? ?? ? 2k? ? ? ?2k? ? 2 , 2? ? 为增函数 ? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? ? 为减函数

?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ?2k? ,2k? ? ? ?
为减函数 为增函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? 为增函数

最大最 小值 奇偶性 对称性

y max ? 1 y min ? ?1
奇函数 即是中心对称又是轴 对称。对称中心为

ymax ? 1 ymin ? ?1
偶函数 即是轴对称又是中 心对称。对称中心 为 (k? ?

无最大最小值

奇函数

是中心对称, 对称中心 为 (

(k? ,0) 对称轴为直线

,0) 2 对称轴为直线 ? {x | x ? k? ? , k ? z} {x | x ? k? , k ? z} 2
无 无 直

?

k? ,0) 2

1
ymax ? A, ymin ? ? A
不确定 求解 线

求解

渐近线

{x | x ? k? ?

?
2

, k ? z}

?



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