24.1.2《垂径定理》(第2课时)_图文

赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱 的半径(精确到0.1m).

垂直于弦的直径 ———(垂径定理)

1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相 重合,那么这个图形叫轴对称图形。

2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180?,如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。

3、圆是不是轴对称图形?

演示

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴。

A

问题:左图中AB为圆O的直径, CD为圆O的弦。相交于点E,当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊位置关系?

O C E B D

直径AB和弦CD互相垂直

运动CD

想一想:

条件

结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD

CD为⊙O的直径
CD⊥AB

C

.O
A
E D

垂径定理:
B

垂直于弦的直径平分弦,

并且平分弦对的两条弧。

1.垂径定理知二推三
? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C

A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
CD为直径 CD平分弦AB 结论 CD平分弧 AB CD平分弧ADB

D

条件

CD⊥AB

2、垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C

A





B
O
?

M


由 ① CD是直径 ③ AM=BM

②CD⊥AB,
可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC,

⌒ ⌒ ⑤AD=BD.

D

2018年10月23日9时9 分

欢迎同学们!注意听课,积极思考 呵!

C

A D
O A D E B

B

A

O D C B

O

C

A
O C B

C D O

B

A

在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等
练习1

的线段或相等的圆弧.
D

A

B

E O

A

O

C B

E

O

A A

E C

B C D O E O D B A E D B A E

D

O
B C

C

练习 2
1.半径为4cm的⊙O中,弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 O A E O A E O A
E

B

2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的 距离为3cm,则弦AB的长是 8cm 。

B

3.半径为2cm的圆中,过半径中点且

垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。

B

A

. O

B A C

O E

.

D

B

方法归纳:
解决有关弦的问题时,经常连结半径; 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线,为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。

讲解 垂径定理的应用 例1 如图,已知在⊙O中, A 弦AB的长为8cm,圆心O到 AB的距离为3cm,求⊙O的 半径。
解:连接OA,作OE ?AB于E. 1 ?AE= AB=4 2 ?OA= AE2+OE2 =5
E

B

. O

赵州桥原名安济桥,俗称大石桥,建于隋 炀帝大业年间(595-605年),至今已有 1400年的历史,是今天世界上最古老的石 拱桥。上面修成平坦的桥面,以行车走人. 赵州桥的特点是“敞肩式”,是石拱桥结 构中最先进的一种。其设计者是隋朝匠师 李春。它的桥身弧线优美,远眺犹如苍龙 飞驾,又似长虹饮涧。尤其是栏板以及望 栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件 精美的艺术珍品,称得上是隋唐时代石雕 艺术的精品。1991年被列为世界文化遗产.

再逛赵州石拱桥
如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是AB 的中点,CD就是拱高. 37 C 由题设知 AB ? 37, CD ? 7.23,

1 1 AD ? AB ? ? 37 ? 18.5, 2 2 OD ? OC ? DC? R ? 7.23.

7.23
A

18.5
R

D

B

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

R-7.23

OA2 ? AD2 ? OD2 , R2 ? 18.52 ? ( R ? 7.23)2 .

O

解得 R≈27.3(m). 答:赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.

课 堂 小 结

请围绕以下两个方面小结本节课: 1、从知识上学习了什么?
圆的轴对称性;垂径定理

2、从方法上学习了什么?
(1)垂径定理和勾股定理结合。 (2)在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线

——过圆心作垂直于弦的线段; ——连接半径。

已知:如图1,在以O为圆 心的两个同心圆中,大圆的 弦AB交小圆于C,D两点。 求证:AC=BD。
A C

O
E

.

D

B

图1


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