高中数学 1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件 北师大必修4_图文

4.4 单位圆的对称性与诱导公式

问题 1.正、余弦函数的诱导公式是什么?

引航 2.如何利用诱导公式求值和化简?

正弦函数和余弦函数的诱导公式
sinα
-sinα -sinα cosα cosα cosα

sinα -sinα

-cosα -cosα

cosα

-sinα

cosα

sinα

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)终边相同的角的同一个三角函数值相等.( )

(2)若角α 与角β 的终边关于y轴对称,必有β =π -α 成 立.( )

(3)已知A,B,C是三角形ABC的三个内角,则cos(A+B)= -cos C.( )

【解析】(1)正确.结合三角函数线可知,终边相同,三角函数 值相等. (2)错误.当角α与β终边关于y轴对称时,那么角β与π-α终 边相同,故应有β=2kπ+π-α(k∈Z),所以结论错误. (3)正确.在△ABC中,A+B+C=π,所以cos(A+B)=cos(π-C)= -cos C,结论正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)sin 660°的值是_______. (2) cos(-16? ) 的值是_______.
3

(3)在△ABC中,cos A ? C =________.
2

【解析】(1)sin 660°=sin(720°-60°)=sin(-60°) =-sin 60°= - 3 .
3 答案: - 2 2 (2) cos(-16? ) ? cos(- ? -5?) ? -cos(- ? ) ? -cos ? ? - 1 . 3 3 3 3 2 1 答案: - 2 (3)在△ABC中,因为 A ? C ? ? ? B , 2 2 2 所以 cos A ? C ? cos( ? ? B ) ? sin B . 2 2 2 2 答案:sin B 2

【要点探究】 知识点 正、余弦函数的诱导公式

1.对诱导公式的三点说明 (1)在角度制和弧度制下,公式都成立; (2)公式中的角α 可以是任意角; (3)诱导公式的基本思路是将求任意角的三角函数值转化为0°

到90°上的三角函数值求解,体现了化归思想.

2.对诱导公式的记忆

【知识拓展】诱导公式的实质 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函 数之间的关系.换句话说,诱导公式的实质是将终边对称的图 形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系.

【微思考】 (1)利用诱导公式将角转化后,函数值的大小改变吗?函数名 称改变吗? 提示:利用诱导公式将角转化后,函数值的大小不改变,但函 数名称根据所用的诱导公式的不同可能发生变化. (2)诱导公式中的角α 都是锐角吗? 提示:不一定,可以是锐角也可以是任意角.

【即时练】 在单位圆中,角α 的终边与单位圆交于点 P( 8 , 15 ),则sin(π
17 17

-α )=________. 【解析】因为角α的终边与单位圆交于点 P( 8 , 15 ),所以sin α
15 = 15 . 又因为sin(π-α)=sin α,所以sin(π-α)= .

17 17

15 答案: 17

17

17

【题型示范】
类型一 给角求值

【典例1】
(1) sin(- 4? ) =__________.
3

(2)求sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·
sin(-1 050°)的值. 【解题探究】1.题(1)中利用哪个诱导公式把负角转化为正 角? 2.题(2)中对角一般应先如何处理?

【探究提示】1.利用公式sin(-α)=-sin α转化.
2.利用公式先把负角转化为正角,再把角转化到0°~360°内

求解.
【自主解答】(1) sin(-
3 3 2
4? ? ) ? sin(- -?) 3 3

= -sin( ? ? ?) ? sin ? ? 3 .
答案: 3
2

(2)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°·
sin 1 050°

=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)=-sin 120°

·cos 210°-cos 300°·sin 330°=-sin(180°60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°
3 3 1 1 ? ? ? ? ? 1. 2 2 2 2

【方法技巧】求任意角的正弦、余弦函数值的一般步骤

【变式训练】 sin 5? ? cos 2? =________.
6 3

【解析】原式= sin(?- ? ) ? cos(?- ? ) ? sin ? -cos ? ? 1 - 1 ? 0.
6 3 6 3 2 2

答案:0 【误区警示】利用cos(π-α)=-cos α时,容易把“-”漏 掉.

【补偿训练】cos(-1 440°)+sin 390°=________.

【解析】原式=cos 1 440°+sin 390°
=cos(4×360°+0°)+sin(360°+30°)=cos 0°+

sin 30°= 1 ? 1 ? 3 .
3 答案: 2 2 2

类型二

给值求值

【典例2】 (1)(2014·无锡高一检测)若cos(5π +α )= 1,则 sin( ? ? ?)
3

2

=___________.
(2)已知 sin ? ? 1 , cos(α +β )=-1,则sin(α +2β )的值为
5

__________.
(3)已知sin(α -75°)= ? 1 , 求sin(105°+α )的值.
3

【解题探究】1.题(1)中 sin( ? ?) 与cos α有什么关系? 2.题(2)中由cos(α+β)=-1,能得出α+β的值吗? 3.题(3)中“α-75°”与“105°+α”有什么关系? 【探究提示】1. sin( ? ? ?) =cos α.
2

? 2

2.能.α+β=π+2kπ(k∈Z). 3.(105°+α)-(α-75°)=180°.

【自主解答】(1)cos(5π+α)=cos(π+α)=-cos α= 1 . 所以 cos ? ? - 1 . 又因为 sin( ? ? ?) ? cos ?,
3 2

3

所以 sin( ? ? ?) ? - 1 .
2 3

1 答案: -

3

(2)由cos(α+β)=-1得α+β=2kπ+π(k∈Z).

则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z),
所以sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)= -sin β= ? 1 .
5
1 答案: ? 5

(3)sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)] =-sin(α-75°)= 1, 所以sin(105°+α)的值为 1 .
3
3

【延伸探究】题(3)中条件不变,求sin(225°-α )的值. 【解题指南】寻求255°-α与α-75°的关系,利用诱导公式 求解. 【解析】由于255°-α=180°-(α-75°), 所以sin(255°-α)=sin[180°-(α-75°)] =sin(α-75°)= ? 1 .
3

【方法技巧】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形 向已知式转化.

【变式训练】已知 cos ? ? 2 ,则 sin(?- ? )sin( 3? ? ?) =_______.
3
2 2

【解题指南】先化简 sin(?- ? )sin( 3? ? ?),再求值. 【解析】sin(?- ? )sin( 3? ? ?) = -sin( ? -?)sin[? ? ( ? ? ?)]
2 2
2 2

2

2

= cos ?sin( ? ? ?) ? cos 2? ? 4 .
2 9 4 答案: 9

【补偿训练】已知cos(α +15°)= , 求cos(165°-α )+ cos(195°+α )的值. 【解析】165°-α=180°-(α+15°), 195°+α=180°+(α+15°), 所以cos(165°-α)+cos(195°+α) =cos[180°-(α+15°)]+cos[180°+(α+15°)] =-cos(α+15°)-cos(α+15°)= ?2 ? 1 ? ? 2 .
3 3

1 3

类型三

三角函数式的化简与求值
sin ?1 440? ? ? ? cos ? ?- 1080? ?

【典例3】 (1)(2014·聊城高一检测)化简 =___________. (2)(2014·泰安高一检测)已知α 为第三象限角,f(α )=
? 3? sin(?- )cos( ? ?) 2 2 sin(-?-?)

cos ?- 180?-? ? sin(-?- 180?)

①化简f(α ); ②若 sin(?- 3? ) ? - 1 ,求f(α )的值.
2 5

【解题探究】1.题(1)中1 440°和1 080°分别与360°有何关 系? 2.题(2)中α为第三象限角,则sin α,cos α的符号如何? 【探究提示】1.1 440°=4×360°,1 080°=3×360°. 2.sin α<0,cos α<0.

【自主解答】(1)原式=

sin(4 ? 360? ? ?) cos ? 3 ? 360?-? ? cos ?180? ? ? ?[-sin(180? ? ?)]

= sin? cos ?-? ? ? cos ? ? -1.

?-cos ? ? sin ?

-cos ?

答案:-1

? ? -sin( -?) cos[? ? ( ? ?)] 2 2 (2)①f(α)= ?sin(? ? ?)

? -cos? [-cos( ? ?)] ?cos? sin ? 2 = ? ? ?cos ?. sin? sin ?

②因为 sin(?- 3? ) ? -sin[? ? ( ? -?)] ? sin( ? -?)

=cos α,所以 cos ? ? - 1 ,即 f ? ? ? ? 1 .
5 5

2

2

2

【方法技巧】化简三角函数式的策略 (1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数)的绝对 值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值. (2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公式 变角.

【变式训练】化简: sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin(??) =_______.
sin ? 2? ? ? ? cos ? 2? ? ? ?

【解析】原式= sin? (?cos?) ? ?sin ? ? ? sin ?.
sin? cos?

答案:sin α

? ? sin ? ? ? 5? ? cos( ? ?)sin( ? ?) 2 2 【补偿训练】化简: . 3? cos ? 3? ? ? ? cos( ? ?)sin ? ?4? ? ? ? 2

【解析】原式=

cos ? ? ? ? ? sin ?[ ? sin ? 4? ? ? ?]

?sin ? 5? ? ? ? sin ?cos ?

= ?sin ? ? ? ? ? sin ?cos ? ? ?sin ? ? ?1.
?cos ?sin ? ? ?sin ? ? sin ?

拓展类型

三角复合函数的求值问题
2

【备选例题】1.若 f ? sin x ? ? cos( ? ? x), 则f(cos x)=_______.
2.已知函数f(x)满足f(cos x)=cos 2x,则f(sin 15°)=

______.
3.已知函数f(x)满足f(cos x)= 1 x (0≤x≤π ),求 f (cos 4? )
2
3

的值.

【解析】1.因为f(sin x)= cos( ? ? x) =sin x ,
2

所以f(cos x)=cos x. 答案:cos x 2.f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°) =-cos 30°= ? 3 . 答案:? 3
2 2 3. f (cos 4? ) ? f (cos( ? ? ? )) ? f ( ?cos ? ) 3 3 3 = f (cos 2? ) ? 1 ? 2? ? ? . 3 2 3 3

【方法技巧】三角复合函数求值的一般思路 三角复合函数是特殊的函数,是函数f(外函数)与三角函 数(内函数)的复合函数,需注意自变量是角,解题的关键是利 用诱导公式将角转化到定义域中.

【易错误区】利用诱导公式求值时忽略符号致误
【典例】(2014·天津高一检测)若 cos( ?-?) ? 3 , 则 cos( 5? ? ?)
6 3
6

=__________.

【解析】因为 ( 5? ? ?) ? ( ? -?) ? ?, 所以 ( 5? ? ?) ? ?-( ? -?),
6 6 6 6

所以 cos( 5? ? ?) ? cos[?-( ?-?)] ? -cos( ?-?) ? - 3 .
6 6 6 3
3 答案: - 3

【常见误区】
错解
3 3

错 因 剖 析

诱导公式记忆不清,在阴影处出现符号错误,
即得cos(π-α)=cos α而出现错误.

【防范措施】

1.已知条件的充分挖掘
探寻所求式中的角与已知条件中的角之间的联系,如本例中
( 5? ? ? ?) ? ( -?) ? ?. 6 6

2.诱导公式的准确记忆 在运用公式时特别注意符号,如本例中cos(π-α)=-cos α.

【类题试解】已知 cos( ? ? ?) ? 1,则 cos( 4? ? ?) =________.
3 3 3

【解析】因为 ( 4? ? ?)-( ? ? ?) ? ?,所以 ( 4? ? ?) ? ? ? ( ? ? ?),
3 3 3 3

所以 cos( 4? ? ?) ? cos[? ? ( ? ? ?)] ? -cos( ? ? ?) ? -1 .
3 3 3 3 1 答案: - 3


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