【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习:专题二第2讲函数的应用.doc


第2讲

函数的应用

ωx 1 1 1.(2016· 天津改编)已知函数 f(x)=sin2 + sin ωx- (ω>0,x∈R).若 f(x)在区间(π,2π) 2 2 2 内没有零点,则 ω 的取值范围是__________. 1? ?1 5? 答案 ? ?0,8?∪?4,8? 1-cos ωx 1 1 解析 f(x)= + sin ωx- 2 2 2 π? 1 2 = (sin ωx-cos ωx)= sin? ?ωx-4?. 2 2 因为函数 f(x)在区间(π,2π)内没有零点, T π 所以 >2π-π,所以 >π,所以 0<ω<1. 2 ω π π π ωπ- ,2ωπ- ?,若函数 f(x)在区间(π,2π)内有零点,则 ωπ- 当 x∈(π,2π)时,ωx- ∈? 4 4? 4 ? π π k 1 1 <kπ<2ωπ- (k∈Z),即 + <ω<k+ (k∈Z). 4 4 2 8 4 1 1 5 5 当 k=0 时, <ω< ;当 k=1 时, <ω< . 8 4 8 4 1 1 5 所以函数 f(x)在区间(π,2π)内没有零点时,0<ω≤ 或 ≤ω≤ . 8 4 8
?x2+(4a-3)x+3a,x<0, ? 2.(2016· 天津改编)已知函数 f(x)=? ?loga(x+1)+1,x≥0 ?

(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递

减, 且关于 x 的方程|f(x)|=2-x 恰有两个不相等的实数解, 则 a 的取值范围是____________. 1 2? ?3? ? ? 答案 ? ?3,3?∪?4? 解析 由 y=loga(x+1)+1 在[0,+∞)上递减,得 0<a<1. 0 +(4a-3)· 0+3a≥f(0)=1, ? ? 又由 f(x)在 R 上单调递减,则?3-4a ? 2 ≥0, ? 1 3 ? ≤a≤ . 3 4 如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x 的图象. 由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-x 有且仅有一个解.故在(-∞,0)上,|f(x)|=2-x 同
2

2 样有且仅有一个解.当 3a>2,即 a> 时,由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0),得 x2+(4a 3 3 -2)x+3a-2=0(其中 x<0),则 Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得 a= 或 a=1(舍去); 4 1 2 当 1≤3a≤2,即 ≤a≤ 时,由图象可知,符合条件. 3 3 1 2? ?3? ? ? 综上所述,a∈? ?3,3?∪ 4 .
? ? ? ?|x|,x≤m, 3.(2016· 山东)已知函数 f(x)=? 2 ?x -2mx+4m,x>m, ?

其中 m>0,若存在实数 b,使得关

于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________. 答案 (3,+∞) 解析 如图,当 x≤m 时,f(x)=|x|;当 x>m 时,f(x)=x2-2mx+4m,在 (m,+∞)为增函数,若存在实数 b,使方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m2-2m· m+4m<|m|.∵m>0,∴m2-3m>0,解得 m>3. 4.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时 间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位: 76 000v 米/秒),平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当 l=6.05 时,F= = 76 000 ≤ 121 v+ +18 2 v 76 000v v2+18v+121

76 000 76 000 = =1 900. 22+18 121 v· +18 v

当且仅当 v=11 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 1 900 辆/时. 76 000v 76 000 (2)当 l=5 时,F= 2 = 100 v +18v+100 v+ +18 v ≤ 2 76 000 76 000 = =2 000. 20+18 100 v· +18 v

当且仅当 v=10 米/秒时等号成立,此时车流量最大为 2 000 辆/时. 比(1)中的最大车流量增加 100 辆/时.

1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以填空题的形

式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题.

热点一 函数的零点 1.零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)· f(b)<0,那么,函 数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的 图象交点的横坐标. 例1 (1)函数 f(x)=log2(x+2)-x2 的零点个数为________.


(2)函数 f(x)=3 x+x2-4 的零点个数是________. 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)令 f(x)=log2(x+2)-x2=0,log2(x+2)=x2,分别画出左右两个图象如图所示,由 此可知这两个图象有两个交点,也即原函数有两个零点.

(2)f(x)=3 x+x2-4 的零点个数,即方程 3 x=4-x2 的根的个数,即函数
- -

1 1 - y=3 x=( )x 与 y=4-x2 图象的交点个数.作出函数 y=( )x 与 y=4-x2 3 3 的图象,如图所示,可得函数 f(x)的零点个数为 2. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有:(1)函数零点值大致存在区间的确 定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题 的常用方法有解方程法、 利用零点存在的判定或数形结合法, 尤其是方程两端对应的函数类 型不同的方程多以数形结合法求解. 跟踪演练 1 (1)函数 f(x)=x2-4x+5-2ln x 的零点个数为________.
?x2+2x,x≤0, ? (2)已知函数 f(x)=? 则函数 g(x)=f(1-x)-1 的零点个数为________. ?|lg x|,x>0, ?

答案 (1)2 (2)3

1 解析 (1)由题意可得 x>0,求函数 f(x)=x2-4x+5-2ln x 的零点个数,即求方程 ln x= (x 2 1 1 1 -2)2+ 的解的个数,数形结合(图略)可得,函数 y=ln x 的图象和函数 y= (x-2)2+ 的图 2 2 2 象有 2 个交点, 则 f(x)=x2-4x+5-2ln x 有 2 个零点. (2)函数 g(x)的零点个数,即函数 y=f(1-x)的图象与直线 y=1 的交点个数.令 t=1-x,则
?(1-t)2+2(1-t),t≥1, ? f(t)=? ?|lg(1-t)|,t<1. ?

作出函数 y=f(t)的图象,与直线 y=1 有 3 个交点, 故 g(x)有 3 个零点.

热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题, 关键是利用函数方程思想或数形结 合思想,构建关于参数的方程或不等式求解. 例2
? ?a-|x+1|,x≤1, (1)已知函数 f(x)=? 函数 g(x)=2-f(x) ,若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 2 ?(x-a) ,x>1, ?

个零点,则实数 a 的取值范围是________.
?ex,x≤1, ? (2)已知函数 f(x)=? g(x)=kx+1,若方程 f(x)-g(x)=0 有两个不同的实根, ?f(x-1),x>1, ?

则实数 k 的取值范围是________. e-1 答案 (1)(2,3] (2)( ,1)∪(1,e-1] 2 解析 (1)由题意当 y=f(x)-g(x)=2[f(x)-1]=0 时,即方程 f(x)=1 有 4 个解. 又由函数 y=
?a-|x+1|,x≤1, ? a-|x+1|与函数 y=(x-a)2 的大致形状可知,直线 y=1 与函数 f(x)=? 的 2 ? ?(x-a) ,x>1

左右两支曲线都有两个交点,如图所示.

(1-a) >1, ? ? 那么,有?f(-1)>1, ? ?f(1)≤1, a>2或a<0, ? ? 即?a>1, ? ?a-2≤1,

2

解得 2<a≤3.

(2)画出函数 f(x)的大致图象如下:则考虑临界情况,可知当函数 g(x)=kx+1 的图象过 A(1, e-1 e),B(2,e)时直线斜率 k1=e-1,k2= ,并且当 k=1 时,直线 y=x+1 与曲线 y=ex 相 2 e-1 切于点(0,1), 则得到当函数 f(x)与 g(x)图象有两个交点时, 实数 k 的取值范围是( , 1)∪(1, 2 e-1].

思维升华 (1)方程 f(x)=g(x)根的个数即为函数 y=f(x)和 y=g(x)图象交点的个数;(2)关于 x 的方程 f(x)-m=0 有解,m 的范围就是函数 y=f(x)的值域. 跟踪演练 2 (1) 已 知 函 数 f(x) = ex - 2x + a 有 零 点 , 则 a 的 取 值 范 围 是

______________________.
x ? ?2 -a,x≥3, (2)已知函数 f(x)=? 若函数 f(x)在 R 上有三个不同的零点,则 a 的取值范围 ?ln|x-1|,x<3, ?

是__________. 答案 (1)(-∞,2ln 2-2] (2)[8,+∞) 解析 (1)f′(x)=ex-2, 当 x∈(-∞, ln 2)时, f′(x)<0; 当 x∈(ln 2, +∞)时, f′(x)>0, 所以 f(x)min =f(ln 2)=2-2ln 2+a.由于 a≤2ln 2-2. (2)当 x<3 时,令 ln|x-1|=0,求得 x=0 或 x=2, 即 f(x)在(-∞,3)上有两个不同的零点. 由题意,知 f(x)=2x-a 在[3,+∞)上有且仅有一个零点,则由 f(x)=0,得 a=2x∈[8,+∞).
a a f ( ) ? e 2 ? 0, 所以 f(x)有零点当且仅当 2-2ln 2+a≤0,所以 2

热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步

骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2) 数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式; (3)解函数模型:利用数 学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作 出解答. 例 3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场调研发现以下规律:当每台净化器 的利润为 x(单位:元,x>0)时,销售量 q(x)(单位:百台)与 x 的关系满足:若 x 不超过 20, 1 260 则 q(x)= ;若 x 大于或等于 180,则销售量为零;当 20<x<180 时,q(x)=a-b x (a,b x+1 为实常数). (1)求函数 q(x)的表达式; (2)当 x 为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值. 解 (1)当 20<x<180 时,

?a-b· 20=60, 由? ?a-b· 180=0,
1 260

?a=90, 得? ?b=3 5.
0<x≤20, 20<x<180, x≥180.

? ? x+1 , 故 q(x)=? 90-3 5· x, ?0, ?
(2)设总利润 f(x)=x· q(x), 126 000x

? ? x+1 , 由(1)得,f(x)=? 9 000x-300 ? ?0,

0<x≤20, 5· x x, 20<x<180, x≥180.

126 000x 126 000 当 0<x≤20 时,f(x)= =126 000- , x+1 x+1 f(x)在(0,20]上单调递增, 所以当 x=20 时,f(x)有最大值 120 000. 当 20<x<180 时,f(x)=9 000x-300 5· x x, f′(x)=9 000-450 5· x, 令 f′(x)=0,得 x=80. 当 20<x<80 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 80<x<180 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以当 x=80 时,f(x)有最大值 240 000. 当 x>180 时,f(x)=0. 答 当 x 等于 80 元时,总利润取得最大值 240 000 元.

思维升华

(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之

间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法. 跟踪演练 3 (1)国家规定个人稿费纳税办法为:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超 过 4 000 元的按超过部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全稿酬的 11%纳税.某人出版了一 本书共纳税 420 元,则他的稿费为________元. (2)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出.当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应 定为________元. 答案 (1)3 800 (2)4 050 解析 (1)假设个人稿费为 x 元,所缴纳税费为 y 元,由已知条件可知 y 为 x 的函数,且满足 y=错误! 共纳税 420 元, 所以有 0.14(x-800)=420? x=3 800. x-3 000 (2)设每辆车的月租金为 x(x>3 000)元,则租赁公司月收益为 y=(100- )· (x-150)- 50 x-3 000 x2 1 × 50,整理得 y=- +162x-21 000=- (x-4 050)2+307 050. 50 50 50 所以当 x=4 050 时,y 取最大值为 307 050,即当每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公 司的月收益最大为 307 050 元.

1.函数 f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为________. 押题依据 函数的零点是高考的一个热点, 利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方 法. 答案 5 解析 令 2sin πx-x+1=0, 则 2sin πx=x-1, 令 h(x)=2sin πx, g(x)=x-1, 则 f(x)=2sin πx -x+1 的零点个数问题就转化为两个函数 h(x)与 g(x)图象的交点个数问题.h(x)=2sin πx 的 2π 5 5 最小正周期为 T= =2,画出两个函数的图象,如图所示,因为 h(1)=g(1),h( )>g( ),g(4) π 2 2 =3>2,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有 5 个,所以 f(x)=2sin πx-x+1 的零 点个数为 5.

? ?x+2,x>a, 2.已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-2x 恰有三个不同的零点,则实数 ?x +5x+2,x≤a, ?

a 的取值范围是____________. 押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数, 进而确定参数范围, 较好地体 现了数形结合思想. 答案 [-1,2)
? ?-x+2,x>a, 解析 g(x)=f(x)-2x=? 2 要使函数 g(x)恰有三个不同的零点, 只需 g(x)=0 ?x +3x+2,x≤a, ?

恰有三个不同的实数根,
?x>a, ?x≤a, ? ? 所以? 或? 2 ?-x+2=0 ? ? ?x +3x+2=0,

所以 g(x)=0 的三个不同的实数根为 x=2(x>a),x=-1(x≤a),x=-2(x≤a). 再借助数轴,可得-1≤a<2. 所以实数 a 的取值范围是[-1,2). 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对于任意的 x∈[0,+∞),满足 f(x+2)=f(x),若当
2 x∈[0,2),f(x)=|x -x-1|,则函数 y=f(x)-1 在区间[-2,4]上的零点个数为________.

押题依据 结合函数的奇偶性、 周期性等性质考查函数的零点问题, 利用数形结合思想解决 此类问题是关键. 答案 7 解析 ∵偶函数 f(x)满足 f(x+2) = f(x),∴函数 f(x) 的周期为 2.又当 x∈[0,2), f(x) =

|x2-x-1|,∴f(2)=f(0)=1,f(1)=1,∴f(2)=f(0)=f(-2)=f(4)=f(-1)=f(0)=f(3)=1.函
数 y=f(x)-1 的零点的个数等于方程 f(x)-1=0 解的个数. 在区间[-2,4]上, 方程 f(x)-1 =0 的解有:-2,-1,0,1,2,3,4 共 7 个. 4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其 边长 x 为________m.

押题依据 函数的实际应用是高考的必考点,函数的最值问题是应用 问题考查的热点. 答案 20 DE x 解析 如图,过 A 作 AH⊥BC 交于点 H,交 DE 于点 F,易知 = BC 40 AD AF 40 = = ? AF=x? FH=40-x,则 S=x(40-x)≤( )2,当且仅当 40 AB AH 2 -x=x,即 x=20 时取等号,所以满足题意的边长 x 为 20 m.

A 组 专题通关 1 . ( 教材改编 ) 若函数 f(x) = x2 - mx + 3 在 R 上存在零点,则实数 m 的取值范围是 ________________. 答案 (-∞,-2 3]∪[2 3,+∞) 解析 ∵函数 f(x)=x2-mx+3 在 R 上存在零点, ∴x2-mx+3=0 有解,∴Δ=m2-4×3≥0, 解得,m≥2 3或 m≤-2 3. 2.已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表: x y 1 124.4 2 33 3 -74 4 24.5 5 -36.7 6 -123.6

则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有______个. 答案 3 解析 依题意, f(2)>0, f(3)<0, f(4)>0, f(5)<0, 根据零点的存在性定理可知, f(x)在区间(2,3), (3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3 个. 3 .已知 x0(x0>1) 是函数 f(x) = ln x - f(a)________0,f(b)________0. 答案 < > 1 的一个零点,若 a∈(1 , x0) , b∈(x0 ,+ ∞) ,则 x-1

1 解析 由题意得 f(x0)=0,又 y=ln x 在(1,+∞)上单调递增,y=- 在(1,+∞)上单调递 x-1 增,故 f(x)在(1,+∞)上单调递增.又 1<a<x0<b,所以 f(a)<f(x0)<f(b),即 f(a)<0<f(b).
?|ln x|-1,x>0, ? 4.函数 f(x)=? 2 的零点的个数为________. ? ?-x +2x+3,x≤0

答案 3 1 解析 当 x>0 时,令 f(x)=|ln x|-1=0,解得 x=e 或 ,均满足题意; e 当 x≤0 时,令 f(x)=-x2+2x+3=0,解得 x=-1(x=3 舍去).所以函数 y=f(x)的零点的个 数为 3. 1 ? ?|x-1| (x≠1), 5.已知定义域为 R 的函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 3 ? ?1 (x=1),
2 2 个不同的实根 x1,x2,x3,则 x2 1+x2+x3=________.

答案 5 解析 作出 f(x)的图象,如图所示.

由图象知,只有当 f(x)=1 时有 3 个不同的实根; ∵关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 3 个不同的实根 x1,x2,x3, ∴必有 f(x)=1,从而 x1=1,x2=2,x3=0,
2 2 故可得 x2 1+x2+x3=5.

?2x-a,x≤0, ? 6.若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. ?ln x,x>0 ?

答案 (0,1] 解析 当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1. 因为函数 f(x)有两个不同的零点, 则当 x≤0 时,函数 f(x)=2x-a 有一个零点, 令 f(x)=0 得 a=2x, 因为 0<2x≤20=1,所以 0<a≤1,

所以实数 a 的取值范围是 0<a≤1. 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①图象关于(1,0)点对称;②f(-1+x)=f(-1-x);③当 x∈[ - 1,1] 时 , f(x) = 错误! 则 函 数 y ? f ( x ) ? ( ) 在 区 间 [ - 3,3] 上 的 零 点 的 个 数 为
x

1 2

________. 答案 5 解析 因为 f(-1+x)=f(-1-x),所以函数 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,又函数 f(x) 的图象关于点(1,0)对称,如图所示,画出 f(x)以及 g ( x ) ? ( ) 在[-3,3]上的图象,由图可
x

1 2

知,两函数图象的交点个数为 5,所以函数 y ? f ( x ) ? ( ) 在区间[-3,3]上的零点的个数
x

1 2

为 5.

b 8. 我们把形如 y= (a>0, b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字, 故生动地称为“囧 |x|-a 函数”,若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|的交点个数为 n,则 n=________. 答案 4 解析 由题意知,当 a=1,b=1 时,

?x-1(x≥0且x≠1), 1 y= = |x|-1 ? 1 ?-x+1(x<0且x≠-1).
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数 y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有 4 个交点.

1

9.某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中的酒精含量 f(x)(毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近

?5x ?2 ,0 ? x ? 1, ? 似满足表达式 f ( x ) ? ? 3 1 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: .( ) x , x ? 1, ? ?5 3

驾驶员血液中酒精含量不超过 0.02 毫克 / 毫升.此驾驶员至少要过 ______ 小时后才能开 车.(不足 1 小时部分算 1 小时,结果精确到 1 小时) 答案 4 解析 因为 0≤x≤1,所以-2≤x-2≤-1, 所以 5 2≤5x 2≤5 1,而 5 2>0.02,
- - - -

3 ?1?x 1 又由 x>1,得 · ≤ , 5 ?3? 50 1?x 1 得? ?3? ≤30,所以 x≥4. 故至少要过 4 小时后才能开车. 10 .随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a 人 (140<2a<420,且 a 为偶数),每人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下, 每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 3 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 ,为获得最大的经济效 4 益,该公司应裁员多少人? 解 设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则 y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx b =- [x2-2(a-70)x]+2ab. 100 3 依题意得 2a-x≥ · 2 a, 4 a 所以 0<x≤ . 2 又 140<2a<420,即 70<a<210. a ①当 0<a-70≤ ,即 70<a≤140 时,x=a-70,y 取到最大值; 2 a a ②当 a-70> ,即 140<a<210 时,x= ,y 取到最大值. 2 2 故当 70<a≤140 时,公司应裁员(a-70)人,经济效益取到最大; a 当 140<a<210 时,公司应裁员 人,经济效益取到最大. 2

B 组 能力提高 11.设定义在 R 上的函数 f(x)满足: (1)对任意的实数 x,都有 f(-x)-f(x)=0; (2)对任意的实数 x,都有 f(x+π)+f(x)=1; (3)当 x∈[0,π]时,0≤f(x)≤1;

π? ?π ? ? π? (4)当 x∈? ?0,2?∪?2,π?时,有?x-2?f′(x)>0(其中 f′(x)为函数 f(x)的导函数). 则方程 f(x)=|sin x|在[-2π,2π]上的根的个数为________. 答案 8 解析 由(1)知,函数 f(x)为偶函数; 由(2)知,f(x+π)=1-f(x), 故 f(x+2π)=1-f(x+π)=1-[1-f(x)]=f(x), 所以 f(x)是周期函数,其周期为 2π. 由(3)知,函数 f(x)的图象在 y=0 与 y=1 之间. π? 由(4)知,当 x∈? ?0,2?时,f′(x)<0, π? 故函数 f(x)在? ?0,2?上单调递减; π ? 当 x∈? ?2,π?时,f′(x)>0, π ? 故函数 f(x)在? ?2,π?上单调递增. 2 综上,当 x∈[0,π]时,f(x)=|1- x|,画出函数 f(x)和 y=|sin x|在[-2π,2π]上的图象,如图 π 所示,两函数在[-2π,2π]上共有 8 个交点,所以方程 f(x)=|sin x|在[-2π,2π]上共有 8 个 零点.

12.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销 售单价与日均销售量的关系如下表所示. 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据分析,这个经营部定价在_________元/桶才能获得最大利润. 答案 11.5 解析 设每桶水的价格为(6+x)元,公司日利润 y 元,则:y=(6+x-5)(480-40x)-200= b -40x2+440x+280,∵-40<0,∴当 x=- =5.5 时函数有最大值,因此,每桶水的价格 2a 为 11.5 元,公司日利润最大.
? ?0,0<x≤1, 13.已知函数 f(x)=|ln x|,g(x)=? 2 则方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为 ?|x -4|-2,x>1, ?

________. 答案 4 解析 令 h(x)=f(x)+g(x),则 h(x)= -ln x,0<x≤1, ? ? 2 ?-x +ln x+2,1<x<2, ? ?x2+ln x-6,x≥2, 1 1-2x 当 1<x<2 时,h′(x)=-2x+ = <0,故当 1<x<2 时 x x
2

h(x)单调递减,在同一坐标系中画出 y=|h(x)|和 y=1 的图象如图所示.

由图象可知|f(x)+g(x)|=1 的实根个数为 4. 14.已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列命题: ①? a∈R,使 f(x)为偶函数; ②若 f(0)=f(2),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若 a2-b≤0,则 f(x)在区间[a,+∞)上是增函数; ④若 a2-b-2>0,则函数 h(x)=f(x)-2 有 2 个零点. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①当 a=0 时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故①正确.②由 f(0)=f(2),得|b|=|4-4a +b|, 而 f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x2+(2-2a)x+1-2a+b|,f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x) +b| =|1-2x+x2-2a+2ax+b| =|x2+(2a-2)x+1-2a+b|. f(x+1)≠f(1-x), ∵|b|=|4-4a+b|不能判定 a=1, ∴f(x)的图象不关于直线 x=1 对称,故②错误.③f(x)=|(x-a)2+b-a2| =(x-a)2+b-a2 在区间[a,+∞)上是增函数,故③正确.④如图所示, 当 a2-b-2>0 时,函数 f(x)的图象与直线 y=2 有 4 个交点,故 h(x)=|(x -a)2+b-a2|-2 有 4 个零点,故④错误.


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