2016年高考新课标卷理科数学试题(1卷)

1

绝密★启封并使用完毕前 试题类型: A

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分 .第Ⅰ卷 1 至 3 页,第 Ⅱ卷 3 至 5 页 . 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回 . . .

第Ⅰ卷
一 . 选择题:本大题共 12 小题,每小题 .
{ x |2 x 3 0} ,则 A B

5 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的
( 1 )设集合

A { x| x
3 2 1 )

2

4 x 3 0} , B
3 ( 3, ) ( B) 2

( A) ( 3, ( 2 )设 (1

3 (1, ) ( C) 2

3 ( ,3) ( D) 2

i) x

yi ,其中 x, y 是实数,则
( B)

x

yi = 3
( D) 2

( A) 1 ( 3 )已知等差数列 ( A) 100 ( 4 )某公司的班车在

2

( C)

{ an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 =
( B) 99 ( C) 98 ( D) 97

7:00 , 8:00 , 8:30 发车,小明在

7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 10 分钟的概率是

且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过
(A)

1 3

( B)
2 2

1 2

(C)

2 3

(D )

3 4
4 ,则 n 的

( 5 )已知方程

x m
2

y n 3m
2

n

1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为

2

取值范围是 ( A ) (– 1,3) ( B) (– 1, 3) ( C) (0,3) ( D ) (0, 3)

( 6 )如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条相互垂直的半径 面积是( ) ( B) 18π ( D) 28π .若该几何体的体积是

28 3

,则它的表

( A ) 17π ( C) 20π ( 7 )函数

y

2x

2

e 在 [– 2,2] 的图像大致为

|x|

(A )

( B)

(C)

( D)

( 8 )若 a

b

1, 0
c

c 1 ,则 b
c

(A ) a

( B ) ab

c

ba

c

( C ) a log b c

b log a c

( D)

log a c log b c

( 9) 执 行 右 面 的 程 序 图 , 如 果 输 入 的

x

0, y

1, n
(A ) y (C) y

1 ,则输出 x, y 的值满 2x 4x
( B) y ( D) y

3x 5x

(10) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 |DE|=

C 于 A、 B 两点,交 C 的准线于 D 、 E 两点 .已知 |AB|= 4 2 ,

2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为

3

(A)2 (C)6

(B)4 (D)8

(11)平面 a 过正方体 ABCD -A1B1C1D 1 的顶点 A, a// 平面 CB 1D 1, 面 ABA 1B 1=n ,则 m 、 n 所成角的正弦值为 (A)

a

平面 ABCD =m , a



3 2

(B )

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3
为 y

12.已知函数

f ( x)

sin( x+

)(

0,

2

), x

4

为 f ( x ) 的零点, x

4

f ( x)

图像的对称轴,且 ( A ) 11

f (x) 在

5 , 18 36
( B) 9

单调,则

的最大值为 ( C)7 ( D) 5

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 ( 13) 题 ~第 ( 21) 题为必考题, 每个试题 . 考生都必须作答 . 第 ( 22) 题 ~第 ( 24) 题为选考题,考生根据要求作答 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题
2 2

5分
2

(13) 设向量 a =(m, 1), b=(1 , 2) ,且 |a + b| =|a| +|b| ,则 m=_________ 。 (14) (2 x
5 3 (用数字填写答案) x ) 的展开式中, x 的系数是 _________ 。

( 15 )设等比数列

满足 a1+a 3=10 , a 2+a4=5 ,则 a 1a 2… an 的最大值为 ___________ 。 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲

( 16 )某高科技企业生产产品 3 个工时,生产一件产品

材料 1.5kg,乙材料 1kg ,用 5 个工时;生产一件产品 甲材料 150kg ,乙材料 90kg ,则在不超过 之和的最大值为 _________ 元。

B 需要甲材料 0.5kg ,乙材料 0.3kg,用 B 的利润为 900 元。该企业现有 A 、产品 B 的利润

A 的利润为 2100 元,生产一件产品

600 个工时的条件下,生产产品

三 . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
( 17 ) (本题满分为 12 分) a , b, c ,已知

.

ABC 的内角 A , B, C 的对边分别别为
( I )求 C; ( II )若

2cos C ( a cos B+b cos A )

c.

c

7, ABC 的面积为
12 分)

3 3 2

,求

ABC 的周长.

( 18 ) (本题满分为

如图,在以 A, B , C, D , E , F 为顶点的五面体

4

中, 面 ABEF 为正方形, AF=2FD , AFD ( I )证明平面 ABEF ( 19 ) (本小题满分 某公司计划购买 EFDC ;

90 , 且二面角 D -AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 .

( II )求二面角 E-BC -A 的余弦值. 12 分) 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰 200 元 . 500 . 机器有一易损零件,在购进机

器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个

元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更 1 台机 2 台机器 换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 器更换的易损零件数发生的概率,记 三年内共需更换的易损零件数, 的同时购买的易损零件数 ( I )求 X 的分布列; ( II )若要求 P ( X .

X 表示 2 台机器

n 表示购买

n)

0.5 ,确定 n 的最小值; n 19 与 n 20 之中选其一,应选

( III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 用哪个? 20(本小题满分 设圆 12 分)

x

2

y

2

2x 15 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B( 1,0 )且与 x 轴不重合, l 交圆 A

于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. ( I )证明

EA

EB 为定值,并写出点

E 的轨迹方程; A 交于

( II )设点 E 的轨迹为曲线 P,Q 两点,求四边形 ( 21 ) (本小题满分 已知函数 12 分)

C 1,直线 l 交 C 1 于 M ,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆

MPNQ 面积的取值范围 .

f ( x)

(x

2) e

x

2 a ( x 1) 有两个零点 .

(I) 求 a 的取值范围; (II) 设

x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点,证明:

x1

x2

2 ,做

请考生在

22 、 23、 24 题中任选一题作答

,如果多做 ,则按所做的第一题计分

答时请写清题号
( 22 ) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ OAB 是等腰三角形, ∠ AOB=120 ° .以 ⊙ O 为 圆心, OA 为半径作圆 . (I) 证明:直线 AB 与 O 相切; (II) 点 C,D 在 ⊙ O 上,且 A,B,C,D 四点共圆, 证明: AB ∥ CD .

5

( 23 ) (本小题满分 在直线坐标系

10 分)选修 4— 4 :坐标系与参数方程

xoy 中,曲线 C 1 的参数方程为

x y

a cost 1 a sin t

。在以坐标原点 ( t 为参数, a> 0)

为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ( I )说明 C1 是哪种曲线,并将 ( II )直线 C 3 的极坐标方程为 在 C 3 上,求

C2:

4 cos

C 1 的方程化为极坐标方程;
0

,其中

0

满足

tan

0

2 ,若曲线 C1 与 C 2 的公共点都

a
10 分) ,选修 4 — 5:不等式选讲

( 24 ) (本小题满分 已知函数 f ( x )

|x

1|

| 2x

3| y f ( x) 的图像;

( I )在答题卡第( 24)题图中画出 ( II )求不等式 | f ( x ) | 1 的解集。

2016 年新课标 I 高考数学(理科)答案与解析
(答案仅供参考)
1.

A

xx

2

4x

3 0

x1 x

3 ,B

x 2x

3

0

xx

3 2



故 A

B

x

3 2

x

3 .故选 D .

2. 由 1 i x 1

yi 可知 x

xi

1

yi ,故

x x

1 y

,解得

x y

1 1



所以 x

yi

x

2

y

2

2 .故选 B .
S9 9 a1 2 a9 9 2 a5 2 9a5 27 ,故 a5

3. 由等差数列性质可知: 而 a10

3,

8 ,因此公差 d

a10 a5 10 5

1

∴ a100

a10

90d

98 .故选 C.

4. 如图所示,画出时间轴:

6

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B
AC 或 DB 时,

小明到达的时间会随机的落在图中线段 才能保证他等车的时间不超过 故选 B . 5. x m
2 2

AB 中,而当他的到达时间落在线段 P

10 分钟。根据几何概型,所求概率

10 10 40

1 . 2

y n 3m
2

2

n

1 表示双曲线,则

m 3m
2

2

n 3m n
2

2

n

0

∴ m

2

n

3m

2

由双曲线性质知: ∴焦距 2c

c

2

m

2

n

4m ,其中 c 是半焦距
n 3 故选 A .

2 2m

4 ,解得 m

1

∴ 1

6. 原立体图如图所示:

是一个球被切掉左上角的

1 8

后的三视图

表面积是

7 8

的球面面积和三个扇形面积之和

S=
7.

7 8

4
8

2 +3
e
2

2

1 4
2.8
2

2 =17

2

故选 A . f 2 8 e
2

f 2

8

0 ,排除 A

8

2.7 1 4

2

1 ,排除 B

x

0 时, f x

2x

2

e

x

f

x

4 x

x

e,当 x

0,

时, f

x

1 0 4 e 4

0

因此 f x 在 0,

1 4

单调递减,排除

C

故选 D.

8 . 对 A : 由于 0 对 B : 由于 ∴ a

c

1 ,∴函数 y

x 在 R 上单调递增,因此

c

a

b

1

a

c

b , A 错误

c

1 c 1 0 ,∴函数 y b 1 a
c 1

x
c

c 1

在 1,
c

上单调递减,

b

c 1

ba

ab , B 错误

对 C : 要比较 a log b c 和 b log a c ,只需比较 需 b ln b 和 a ln a 构造函数 f x x ln x x

a ln c b ln c ln c ln c 和 ,只需比较 和 ,只 ln b ln a b ln b a ln a

1 ,则 f ' x

ln x 1 1

0 , f x 在 1,

上单调递

7

增,因此 f a 又由 0 c

f b

0
0 ,∴

a ln a ln c a ln a

b ln b ln c

0

1 a ln a

1 b ln b a log b c , C 正确

1 得 ln c

对 D : 要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 而函数 y 又由 0 9. 如下表: 循环节运 行次数 运行前 第一次 第二次 第三次 输出 x x x x n 1 2 c ln x 在 1, 1 得 ln c

b ln b ln c ln c ln a


b loga c

ln b a b 1 ln a ln b 0 1 ln a 1 ln b

上单调递增,故 0 ,∴

ln c ln a

ln c ln b

log a c

log b c , D 错误

故选 C .

判断 y y 1 ny x
2

是否 36 输出 / 否 否 是

y

2

n n

n 1 1

0 0

/ 否 否 是

1 2
6 故选 C .

2
3

1 2 3 2
, y 6 ,满足 y 4x

3 2

10. 以 开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为

y

2

2 px p

0 ,设圆的方程为

x

2

y

2

r ,题目条件翻译如图:

2

F

设 A x0 , 2 2 , D

p 2

, 5 ,
2

点 A x 0 , 2 2 在抛物线 y 点D p 2 , 5 在圆 x
2 2

2 px 上,∴ 8
2

2 px0 ……①
p 2 8
2
2

y
y
2

r 上,∴ 5
r 上,∴ x 0
2 2

2

r ……② r ……③ p 4 .故选 B .

2

点 A x 0 , 2 2 在圆 x 联立①②③解得: 11. 如 图所示:

p

4 ,焦点到准线的距离为

8

D α A B

C

D1 A1 B1

C1



∥平面 CB1 D1 ,∴若设平面 CB1 D1

平面 ABCD

m1 ,则 m 1∥ m
平面 A1 B1C1D1

又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1D1 ,结合平面 B1 D1C ∴ B1D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 故 m 、 n 的所成角的大小与 而 B1C 同理可得: CD1∥ n

B1D1

B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 CD1 B1
,即 sin

CD1 B1 的大小.
CD1 B1 3 2 .

B1 D1

CD1 (均为面对交线) ,因此

3

故选 A . π 12. 由 题意知: 4 π + 4 + k1π k 2π + π 2 则 2k 1 ,其中 k Z

f ( x) 在

π 5π , 单调, 18 36

5 36 18

π T 12
π 4

2

,

12

接下来用排除法



11,

π 4

,此时 f ( x )

sin 11x

, f ( x) 在

π 3π , 递增,在 18 44

3π 5π , 递减, 44 36

不满足 f ( x ) 在

π 5π 单调 , 18 36 π 4 π 5π 单调递减 , 18 36



9,

π 4

,此时 f ( x )

sin 9 x

,满足 f ( x ) 在

故选 B .

13. 由 已知得: a
2 2

b
2

m 1,3

∴ a

b

a

b

m 1

2

3

2

m

2

1

2

1

2

2 2 ,解得 m

2.
5 k k k 5 5 k 5 k 2

14. 设 展开式的第 k 1 项为 Tk 1 , k 当5 15.由于

0,1,2,3,4,5
4 5 5 4 5 4 2

∴ Tk
3

1

C

k 5

2x

x

C 2

x



k 2

3 时, k

4 ,即 T5

C 2 a1 q

x

10x

故答案为 10.

an 是等比数列,设

an

n 1

,其中 a1 是首项, q 是公比.

9



a1 a2

a3 a4

10 5

a1 a1 q
3

a1q

2 3

10 5
n 4

a1 ,解得: q
1 n n 7

8 1 .故 an 2
1
2

n 4

a1q

1 2
49 4



2 ...

∴ a1 a 2 ... an

1 2
2

1 2 7 2 49 4

2

1 2

2

n

7 2

1

当n

3 或 4 时,

1 2

n

取到最小值

6 ,此时

1 2

2

n

7 2

2

49 4

取到最大值 2 .

6

所以 a1 a2 ... an 的最大值为 64. 16. 设 生产 A 产品 x 件, B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件, 1.5x x 5x 构造线性规则约束为 0.5 y ≤ 150 3 y ≤ 600 目标函数 z 2100 x 900 y

0.3 y ≤ 90

x≥ 0 y≥ 0 x y N N
* *

作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为

(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)

在 (60,100) 处取得最大值, 17.⑴ 2cos C a cosB

z

2100 60

900 100

216000

b cos A

c 由正弦定理得 2cosC sin A cosB sin B cos A
B C π, A 、B 、C

sin C



2cos C sin A B B sin C
∴C c
2

sin C , ∵ A 0
∴ 2cos C

0 ,π

∴ sin A ∵C

1 , cosC

1 2

0 ,π

π 3
2

⑵ 由余弦定理得:

a

b

2

2ab cos C

7

a

2

b

2

2ab

1 2

2

a

b

3ab

7

10

S

1 2

ab sin C

3 4

ab

3 3 2

∴ ab

6

∴ a

2

b

18

7

a

b

5

∴ △ ABC 周长为 a 18.⑴ ∵ ABEF 为正方形 ∵ DF

b

c

5

7 EF
∵ AFD 90 ∴ AF

∴ AF

DF
平面 EFDC

EF = F , ∴ AF

面 EFDC , AF

面 ABEF , ∴平面 ABEF

⑵ 由⑴知

DFE

CEF AB

60

∵ AB ∥ EF

平面 EFDC

EF

平面 EFDC

∴ AB ∥ 平面 ABCD ∵面 ABCD 面 EFDC

AB

平面 ABCD

CD ∴ AB ∥ CD ∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 FD a 2 a 3 2

以 E 为原点,如图建立坐标系,设

E 0 ,0 ,0

B 0 ,2a ,0

C

,0 ,

a

A 2 a, a 2, 0

EB

0 ,2 a ,0 , BC

a 2

, 2a ,

3 2

a , AB

2 a ,0 ,0

设面 BEC 法向量为 m

x ,y ,z .

m EB m BC

0 0

2 a y1 ,即 a 2 1 x1

0 2ay1 3 2 a z1 0

x1

3 , y1

0 ,z1

1

m

3 , 0,

设面 ABC 法向量为 n

x 2 , y 2 ,z 2

n BC =0 n AB 0

a .即

2 2ax2

x2

2ay2 0

3 2

az2

0

x2

0 ,y 2

3 ,z2 BC

4

n .

0 , 3, 4

设二面角 E

A 的大小为

11

cos

m n m n BC 3 1

4 3 16

2 19 19 2 19 19 7 个零件 i 7 个零件 i

∴二面角 E

A 的余弦值为

19.⑴ 每台机器更换的易损零件数为 记事件 Ai 为第一台机器 记事件 Bi 为第二台机器 由题知 P A1

8, 9 , 10, 11

3 年内换掉 i 3 年内换掉 i

1,2,3,4
1,2,3,4

P A3

P A4

P B1

P B3

P B4

0.2 , P A2

P B2

0.4
16, 17,

设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 18, 19 , 20, 21, 22 P X 16 P A 1 P B1 0.2 0.2 0.04

X ,则 X 的可能的取值为

P X P X
P X

17 18
19

P A 1 P B2 P A1 P B3
P A1 P B4 0.24

P A2 P B1 P A2 P B2
P A2 P B3

0.2 0.4 0.4 0.2 0.16 P A3 P B1
P A3 P B2

0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24
P A4 P B1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.2

0.2 0.4

P X
P x

20
21

P A2 P B4
P A3 P B4

P A3 P B3
P A4 P B3

P A4 P B2
0.2 0.2

0.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2
0.08

0.2

0.2 0.2

P x

22

P A4 P B4 X P
16 0.04

0.2 0.2 0.04
17 0.16 0.04 18 0.24 0.16 19 0.24 0.24 20 0.2 0.5 , 0.04 21 0.08 0.16 22 0.04 0.24 0.24 ≥ 0.5

⑵ 要令 P x ≤ n ≥ 0.5 , 则 n 的最小值为 19

⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件 不足时额外购买的费用 当n 当n 19 时,费用的期望为 20 时,费用的期望为 19 x 1
4

19 200 20 200

500 0.2

1000 0.08 1500 0.04 4080

4040

500 0.08 1000 0.04

所以应选用 n 20.⑴ 圆 A 整理为

2

y

2

16 , A 坐标

1,0 ,如图,

3

2

C
1

A
4 2

x

B
1

2

4

E

2

3

D
4

BE∥ AC ,则 ∠ C

∠EBD ,由 AC

AD , 则∠D

∠ C ,

∠ EBD

∠ D, 则 EB

ED

AE

EB

AE

ED

AD

4

12

所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ⑵ C1 : x
2

x

2

y

2

4 y
2

3

1 ,( y

0 );

4

3

1 ;设 l : x

my 1 ,

因为 PQ⊥ l ,设 PQ : y

m x 1 ,联立 l 与椭圆 C1

x x
2

my 1 y
2

1

得 3m2

4 y

2

6my 9 0 ;

4

3
2 2 2

则 | MN |

1 m | yM

2

yN |

1

m

2

36m

36 3m 3m
2

4

12 m 3m
2

1 4



4

P

4

3

2

1

N
x

A
4 2

B
1

2

4

M

Q
2 3

4

圆心 A 到 PQ 距离 d

| m

1 1 |
2

| 2m | 1 m 4m 1
2 2
2



1 m

所以 | PQ | 2 | AQ |

2

d

2

2 16

4 3m

2 2

4

m 1 4



1 m 4 3m
2 2

SMPNQ

1 2

| MN | | PQ |

1 12 m 2 3m
2

2

4

24 m 3m
2

2

1 4

24 3

1 1 m
2

12,8 3 1

1 m

21.⑴

由已知得: ① 若a

f ' x

x 1e
0

x

2a x 1
x 2 e
x

x 1 e
0 x

x

2a
x 2 ,不

0 ,那么 f x

2 , f x 只有唯一的零点

合题意; ② 若a 当x 0 ,那么 e
x

2a

e

x

0 ,所以当 x

1 时, f ' x 即:

0 , f x 单调递增

1 时, f ' x

0 , f x 单调递减

13

x

,1

1
0

1,

f ' x f x
故 f x 在 1, 由于 f 2 ↓

极小值 上至多一个零点,在



,1 上至多一个零点 0,

a 0, f 1

e 0 ,则 f 2 f 1

根据零点存在性定理, 而当 x 故 f x 1 时, e x x 2 e
x

f x 在 1,2 上有且仅有一个零点.
2 1
2

e, x a x

1 e x
2

0, 2 a x 1
2

a x 1
2

2

e x 1

e

则 f x

0 的两根 t1

e

e

4ae

2a

1 , t2
2

e

e

4ae

2a e x 1 e 0

1 , t1

t2 ,

因为 a

0 ,故当 x 1且 x

t1 或 x

t2 时, a x 1
0

因此,当 x 又 f 1 e

t1 时, f x

0 ,根据零点存在性定理,

f x 在

,1 有且只有一个零点.

此时, f x 在 R 上有且只有两个零点,满足题意. ③ 若 当x

e 2 ln

a 0 ,则 ln

2a

ln e 1 ,

2a 时, x 1 ln x 1 e 2a
x

2a

1 0 , ex

2a e

ln

2a

2a

0,

即 f ' x 当

2a


0 , f x 单调递增;
, x 1 0 ,

ln x

x 1 x 1
x

e

x

2a

e

ln

2a

2a

0





f'
当x x

e 2 , f ax0 单调递减;
0 , ex 2a

1 时, x 1 ,ln

2a ln

e

ln

2a

2a
ln

0 ,即 f ' x
2 a ,1

0 , f x 单调递增.即: 1
0

2a
0

1,
+ ↑

f ' x

+ ↑



f x

极大值

极小值

14

而极大值
2 2

f ln

2a

2 a ln

2a

2

a ln

2a

1

a

ln

2a

2 f ln

1 2a

0 , 那 么

故 当 x≤1 时 , f x≤ fl n

f x

在 x

ln

2a f x

处 取 到 最 大 值

2 a

恒成立,即 0

0 无解

而当 x

1 时, f x 单调递增,至多一个零点

此时 f x 在 R 上至多一个零点,不合题意. ④ 若a 当x

e 2

,那么 ln

2a

1 0 , ex

1 ln

2 a 时, x 1

2a

e

ln

2a

2a

0 ,即 f ' x

0,

f x 单调递增 当x

1 ln

2a 时, x 1

0, e

x

2a

e

ln

2a

2a

0 ,即 f ' x

0,

f x 单调递增 又 f x 在 x 意. ⑤ 若a 当x 1 处有意义,故 f x 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题

e 2

,则 ln

2a

1

1 时, x

1 0 , ex

2a

e

1

2a

e

ln

2a

2a

0 ,即 f ' x

0,

f x 单调递增 当1

x

ln

2a 时, x 1

0 , ex

2a

e

ln

2a

2a

0 ,即 f ' x

0,

f x 单调递减 当x

ln

2a 时, x 1 ln

2a

1 0 , ex

2a

e

ln

2a

2a

0 ,即 f ' x

0,

f x 单调递增 即: x

,1
+

1
0

1,ln

2a

ln

2a
0

ln

2a ,

f ' x

-

+

15

f x 故当 x≤ ln



极大值



极小值



2a 时, f x 在 x 0 无解

1 处取到最大值

f 1

e ,那么 f x ≤

e

0恒

成立,即 f x 当x

ln

2a 时, f x 单调递增,至多一个零点

此时 f x 在 R 上至多一个零点,不合题意. 综上所述,当且仅当 ⑵ 由已知得: a 0 时符合题意,即 a 的取值范围为

0,



f x1
x1

f x2
2 e
2 x1

0 ,不难发现 x1
x2 x2 2 e 1
x2

1, x2

1,

故可整理得

a

2

x1 1 x 2 e
2 x

2

设 g x

,则 g x1

g x2

那么 g ' x

x x

2
3

1 1

e ,

x

x 1 当 x 1 时, g ' x 设m g 1

0 , g x 单调递减;当 x 1 时, g ' x

0 , g x 单调递增.

0 ,构造代数式 m g 1 m m 1 m
2

e

1 m

m 1 m
2

e

1 m

1 m

m
2

e

1 m

m 1 m 1

e

2m

1

设h m

m 1 m 1

e
2

2m

1, m

0

则 h' m

2m

m 1 因此,对于任意的 由 g x1 有 x1 1 令m 1 而2

2

e

2m

0 ,故 h m 单调递增,有 h m

h 0

0.

m

0, g 1 m

g 1 m .
不妨设 x1

g x2 可知 x1 、 x2 不可能在 g x 的同一个单调区间上, x2 x1 0 ,则有 g 1
1 x1 g 1 1 x1 g 2 x1

x2 ,则必

g x1

g x2

x1 1 , x2 x2

1 , g x 在 1, 2.

上单调递增, 因此: g 2

x1

g x2

2 x1

x2

整理得: x1

16

22.⑴ 设圆的半径为 r ,作 OK ∵ OA OB , AOB 120

AB 于 K ∴ OK

AB , A 30 ,OK

OA sin30

OA 2

r

∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一:假设 CD 与 AB 不平行 ∵ A 、 B 、C 、D 四点共圆 ∵ AK CD 与 AB 交于 F FA FB FK FK
2 2

FC FD ① FK
2

∴ FC FD

AK

BK

BK

∴ FC FD

FK

AK

FK

AK

FK

AK



由①②可知矛盾

∴ AB ∥ CD

方法二:∵ A , B , C , D四点共圆,不妨设圆心为 ∵ OA 同理 OC 23.⑴ x y a cos t 1 a sin t
OB , TA

T,

TB , ∴ O, T 为 AB 的中垂线上, TD , ∴ OT 为 CD 的中垂线,∴
2 2 2

OD , TC

AB∥ CD . ①

( t 均为参数)∴

x

y 1

a

∴ C1 为以 0 ,1 为圆心, a 为半径的圆.方程为 ∵ x
2

x

2

y

2

2y 1 a

2

0

y

2

2

,y

sin

∴ 得 y
2

2

2 sin 4 cos

1 a

2

0 ,即为 C1 的极坐标方程 x
2

⑵ C2 :

4cos y
2

两边同乘
2

2

2

y , cos

2

x

x

2

4x 即 x 2

4



C3 :化为普通方程为

y

2x

由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 ①— ②得: 4 x

C3
∴1 a
2

2y 1 a

2

0 ,即为 C3

0

∴a

1

17

24.⑴ 如图所示:

x ⑵ f x 3x 4

4 ,x ≤ 1 2, 1 x ,x ≥ 4 3 2 1 ,解得 x 5或 x 3 ∴ x≤ 1 x 3 2 f x 1

当 x≤ 1 , x 当 1 当 x≥

x

3 2

, 3x

2

1,解得 x 1 或 x
3

1 3

∴ 1

x

1 3

或1 x 5

3 2

3 , 4 2 1 3

x

1 ,解得 x 5 或 x
x 3或 x , 1 3 5 1,3

3 ∴ ≤x 2

3或 x

综上, x ∴ f x

或1

1 ,解集为

5,


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