《投影与直观图》课件14(新人教B版必修2)(27张ppt)_图文

1.1.4投影与直观图

一、投影法 物体在光线的照射下,就会在地面或
墙壁上产生影子。人们将这种自然现象 加以科学的抽象,总结其中的规律,提 出了投影的方法。
太阳光线可以把一个矩形的窗框投射 到地板上,影子是平行四边形,在影子 中,框边的长度以及框边之间的夹角有 所改变,但框边的平行性没有改变。

在立体几何中,一般都 是根据平行投影的性质, 用平面图形来表示空间图 形。
二、投影法分类
1.中心投影法 投影线均通过投影中心的投影法称为
中心投影法。其投影的大小随物体与投 影中心间距离的变化而变化,所以其投 影不能反映物体的实形。

2.平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影
法。其中,投影线倾斜于投影面叫平行斜 投影法;投影线垂直于投影面叫平行正投 影法简称正投影法

平行斜投影

平行正投影

应用正投影法,能在投影面上反映物体 某些面的真实形状及大小,且与物体到投 影面的距离无关,因而作图方便,故在工 程中得到广泛的应用。工程图样就是用正

投影法绘制的。

(1) 点的平行投影:已知 图形F,直线l与平面α相交, 过F上任一点M作直线l’平 行于l,交平面α于点M’,则 M’叫做点M在平面α内关于 直线l的平行投影.
(2)图形的平行投影:如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’,则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影,平面α叫做投射面,l叫做投 射线。

三. 平行投影的性质:
当图形中的直线或线段不平行于投射线时, 平行投影都具有以下性质: 1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直 线; 3.平行于投射面的线段,它的投影与这条 线段平行且等长;

4.与投射面平行的平面图形,它的投影 与这个图形全等; 5.在同一直线或平行直线上,两条线段 平行投影长度的比等于这两条线段长度 的比。

当投射线和投射面成适当的角度或改 变图形相对于投射面的位置时,一个空 间图形在投射面上的平行投影(平面图 形)可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形,叫 做空间图形的直观图。
依据平行投影的性质画直观图的方法, 国家规定了统一的标准,一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法。

先观察一个正方形,如何把它画成水平 放置的直观图呢?我们用一个平行四边形 来表示它。那么这个平行四边形有什么要 求呢? y
Y’

x o

X’
O’

四. 斜二测画法:
斜二测画法是国家规定的统一的画直观

图的一种方法,它的规则是: (1)在已知图形所在的 z D'
空间中取水平平面,作互 A'

C' B'

相垂直的轴Ox,Oy,再作

y

Oz轴,使∠xOz=90°,且 D

C

∠yOz=90°.

A(O)

x B

(2)画直观图时,把Ox、Oy、Oz画成对

应的轴O’x’、O’y’、O’z’,使∠x’O’y’=45°

(或135°),∠x’O’z’=90°,x’O’y’所确

定的平面表示水平D平' 面;
z

C'

A'

B'

y D
A(O)

C
x B

(3)已知图形中,平行于x轴、y轴或z轴 的线段,在直观图中分别画成平行于x’轴、 y’轴或z’轴的线段. 并使它们和所画坐标轴 的位置关系,与已知图形中相应线段和原 坐标轴的位置关系相同;
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段, 在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线 段,长度为原来长度的一半;

(5)画图完成后,擦去作为辅助线的坐 标轴,就得到了空间图形的直观图
所以,画图的关键是正确地画出水平放 置的图形。

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边

形的直观图

(1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x

轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴交于点 O.画对应的x’,y’轴,两轴相交于点O’,使 ∠x’O’y’=45°.

y

F

ME

y'

A

O

D

x

O'
x'

B NC

?2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取

M?N?= 1 MN.以点N?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2
并且等于BC;再以M?为中心,画E?F?平行于x?轴,

并且等于EF.
y

F ME

A

O Dx

y?

F? M? E?

A?

O?

D? x?

B? N? C?

B NC

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y

F ME

A

O Dx

B NC

y?

F? M? E?

A?

O?

D? x?

B? N? C?

y

F ME

A

O Dx

B NC

F?

E?

A?

D?

B?

C?

在画出了水平放置的正六边形的直观 图后,按照斜二侧画法不难画出六棱柱和 六棱锥的直观图。

F? E?

A?

D?

B? C?

F
A
B

E
D
C

P

F?

E?

A?

D?

B?

C?

例2.画水平放置的正三角形的直

y C

观图。

画法按如下步骤完成:

第一步 在已知的正三角形ABC中,

A O

B
x

取AB所在的直线为x轴, 取对称轴

y` C`

CO为y轴. 画对应的x`轴、y`轴,使
使?x`O`y`? 450.

450

第二步 在x`轴上取O`A`? OA,O`B`?

A` O` B` x` OB, O`C`? 1 / 2OC.

C`
第三步 连结A`C`, B`C`, 所得的 三 角

A`

B`

形A`B`C`就是正三角形ABC的直观图.

图1 ?1 ? 29

例3 作一个底面边长为5cm,高为11.5cm 的正五棱锥直观图。

y D

EN o

C x

AM B

y1

E1

N1

·D1 ·

· o1

C1 x1

A1 M1 B1

z

S

S

y1

E1

·D1 C1

E1

·D1 C1

o1

x1

o1

A1

B1

A1

B1

练习题:
1. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,关于
平行投影的性质,下列说法中不正确的是( B )
(A)直线或线段的平行投影仍是直线或线段 (B)平行直线的平行投影仍是平行的直线 (C)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个 图形全等 (D)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投 影的比等于这两条线段的比

2. 直线的平行投影可能是( A ) (A)点 (B)线段 (C)射线 (D)曲线
3. 如图为水平放置的 △OAB的直观图,由图判 断原三角形中AB、OB、 OD、BD由小到大的顺序 为 OD<BD<AB=OB .

4. 两条不平行的直线,其平行投影不可能 是( D ) (A)两条平行线. (B)一点和一条直线 (C)两条相交直线 (D)两个点

5. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图

是一个底角为45°,腰和上底的长均为1

的等腰梯形,那么原四边形的面积是

(C )

(A)2+ 2 (C)1 (2+ 2)
2

(B)1+ 2 (D)1 (1+ 2 )
2

6. 一个四边形的直观图是边长为a的正方 形,则原图形的面积是 2 2a2 。


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